常微分方程第四章知识总结

1、学习必备欢迎下载一 n 阶线性微分方程的一般理论1. n 线性微方程，它的一般形式为：d n xa1 (t ) d n 1x an 1 (t) dxan (t ) f (t)dt ndt n 1dt齐次线性方程d n xa1 (t )d n 1x an 1 (t )dxnn 1an (t) 0dtdtdt非齐次线性方程 : f (t )02. n 阶线性齐次方程的一般理论(1)定理 2( 叠加原理 )如果 x1 (t ), xi (t ), , xk (t ) 是方程 (4.2)的 k 个解，则它们 的 线 性 组 合 c1 x1 (t )c2 x2 (t )cn xn (t ) 也 是 方

2、程 (4.2)的解，这里c1, c2 , , cn是任意常数(2)函数线性相关性定义在区间 a,b 上的函数 x1 (t ), x2 (t )xk (t ) ，如果存在不全为零的常数c1 ,c2 , , ck 使得c1 x1 (t) c2 x2 (t )ck xk (t) 0在 a, b 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。(3)Wronsky 行列式由定义在 a,b 上 k 个 k-1 次可微的函数 x1 (t ), x2 (t )xk (t ) 所作成的行列式x1(t )x2 (t )xk (t)x1(t )x2 (t )xk (t)W x1 (t ), x2 (

3、t) xk (t )x1( k1) (t )x2(k 1) (t )xk(k 1) (t)称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).学习必备欢迎下载(4) 定理3若函数x1(t),x2(t)xn(t )在区间atb 上线性相关，则在 a, b上它们的Wronskian行列式W (t)0 。(5) 定理4如果齐次方程的解x1 (t ), x2 (t )xn (t ) 在区间 atb 上线性无关 ， 则W x1 (t), x2 (t )xn(t )在这个区间的任何点上都不等于零，即W (t0 )0 (atb ).由方程 (4.2)的 n 个解构成的Wronskian行列式或者恒为零或

4、者在方程的系数连续区间上处处不等于零。定理 5 n 阶线性方程 (4.2) 一定存在 n 个线性无关的解。(6) 通解的结构如果 x1 (t ), x2 (t )xn (t ) 是方程 (4.2)的 n 个线性无关的解，则方程(4.2) 的通解可表为xc1 x1 (t)c2 x2 (t )cn xn (t)其中 c1 , c2 , cn 是任意常数，且通解(4.6) 包含了方程 (4.2) 的所有解。3. n 阶线性非齐次方程的一般理论(1) 解的性质性质 1 n 阶线性非齐次方程的通解等于它的对应齐次方程(4.2) 的通解与它本身的一个特解之和.性质 2n 阶线性非齐次方程的任意两个解之差是

5、对应齐次方程(2) 解的求法 ( 常数变易法 )设 y1, y2 , yn 是 (4.1)的 对应 齐 次 方 程 (4.2)的 n 个 线 性无 关 解 ，学习必备欢迎下载C1 (x), C2 ( x), , Cn ( x) 满足下面的非齐次方程组y1 (x)y2 (x)yn ( x)C1( x)0y1( x)y2(x)yn( x)C2 ( x)0y1(n1) (x)y2( n1) ( x)yn(n1) (x)Cn ( x)f ( x)二 n 阶常系数线性方程的解法1. y( n )a1 y( n 1)an 1 y an y 0特征方程 : P( )na1n 1an0单实根： ce x特单根

6、征单复根i ：e x cos x , e x sin x根的情k 重实根：形重根k 重复根i(1) 求常系数齐次方程通解的步骤：第一步：求 (4.21) 的特征方程及特征根1, 2 ,n .第二步：计算方程 (4.21) 相应的解（a）对每一个实单根k ，方程有解 yke k x .（b）对每一个 m>1重实根k ，方程有 m个解 e k x , xe k x , xm 1e k x .（c）对每一个重数是一的共轭复根i，方程有两个解e x cosx, e x sinx .（d）对每一个重数是m>1的共轭复根i，方程有 2m个为以下形式的解：e x cosx, xe x cosx,

7、 xm 1e x cosx,学习必备欢迎下载e x sinx, xe x sinx, xm 1e x sinx.（2）欧拉方程xn d n ya1 xn 1 d n 1 y. an 1 xdyan y 0dx ndxn 1dx其特征方程为 :K ( K1).( Kn1)a1K (K1).( Kn2).an0（a）特征方程有 m重实根 KxK 0 , xK 0 ln x , xK 0 ln 2 x ,., xK 0 ln m 1 x（b）特征方程有 m重复根 K0ix cos(ln x ), x ln x cos( ln x ),., x ln m 1 x cos( ln x )x sin(ln

8、 x ), x ln x sin(ln x ),., xln m 1 x sin( ln x )2. 非齐线性方程d n xd n 1xdxL xdt na1 dt n 1.an 1 dtan x f (t )（1）比较系数法（a）类型f (t)(b0t mb1t m 1.bm 1t bm )e t方程有形如 x t k ( B0t mB1t m1 .Bm 1tBm )e t 的特解；（b）类型f ( t) A(t)costB( t)sint e t方程有形如 xt k P(t )costQ( t)sint e t的特解；（2）拉普拉斯变换法三 高阶微分方程的降阶1. 可降阶的类型学习必备欢迎下载（1) 方程不显含未知数 x，F (t, x( k ) , x( k 1) ,., x( n) ) 0(1k n)解法：令 x( k )y ，则方程即降为关于 y 的 n-k阶方程F (t , y, y' ,., y ( n k ) )0(2) 不显含自变量 t 的方程F ( x, x' ,., x( n) )0解法：令 xy ， x ''y dy ,视 x 为新自变量。则方程可降低一阶 。dxF ( x, y, y' ,., y (