微积分2-4高阶导数ppt课件

1、第四节第四节 高阶导数高阶导数一一 高阶导数的定义高阶导数的定义二二 高阶导数的求法高阶导数的求法三三 莱布尼兹公式莱布尼兹公式四四 小结小结问题：变速直线运动的加速度问题：变速直线运动的加速度 dtdststv )()(则则速速度度为为设设),(tss . )()()( tstvtava，的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度t.)() )()()(lim) )()()(0处的二阶导数在点为函数存在，则称点处可导，即在的导数如果函数 定义xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 一、高阶导数的定义记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或 记作阶导数,的函数阶导数的导数

2、称为的函数一般地,nxfnxf)(1)( .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.称为一阶导数.称为零阶导数相应地,)(;)(xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数, .,),(44)4()4(dxydyxf二、 高阶导数求法举例由高阶导数的定义逐渐求高阶导数由高阶导数的定义逐渐求高阶导数. .解例1., )(2nyyycbxaxy 求求设设. 0 ,2 ,2)( nyaybaxy例2. , )(nxyay求求设设 解.)(ln, ,)(ln ,ln)(2nxnxxaayaayaay

3、 例3.),()(nyRxy求求设设 解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn 则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例4.,sin)(nyxy求求设设 xycos 解)2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例5.),1ln()(nyxy求求设设 解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0,

4、1()1()!1()1(1)( nxnynnn三、莱布尼兹公式则则阶阶导导数数, ,具具有有和和设设函函数数nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 例6 设xeyxcos ,求.)5(y解).cos(sin4 )cos4sin4( )sin5( cos5sin10 )cos(10sin5cos )(cos)(cos)( )(cos)()(cos)( )(cos)(cos)()5()4(4535)3(25)

5、4(15)5(xxexxexxxxxxexexeCxeCxeCxeCxeyxxxxxxxxx 例7.,)20(22yexyx求求设设 解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20 )()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex例8 试以试以导出导出,1ydydx .,3322dyxddyxd解.)(1)( )1()(3222yyyyydydxydxddydxdyddyxd .)()(31)()(3 )()(54232233yyyyyyyyydydxyydxddyxddyddyxd 四、小结