五种方法求二面角与练习题

1、五种方法求二面角及练习题-、定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这两个半平面叫做二面角的面,线所成的角的大小就是二面角的平面角O1.如图，在棱长为a的正方体ABCDA)BiCiD,这条直线叫做二面角的棱,二面角 Bl BC1 D在棱上取点,(1)二面角C BD C的正切值(2)2.如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD , ADDC SD 2，点M在侧棱SC上，(1)求二面角S AM B的余弦值。ABM=60, M在侧棱SC的屮点二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,BB那么它也和这条斜线垂直.通常当点

2、P在一个半平面上则通常用三垂线定1.如图，在直四棱柱ABCD-A1 Bl Ci Di 中，底面ABCD为等腰梯形，AB111111图，在四棱锥pABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB 3, AD 2, PA2, PD£2, PAB60(I )证明AD 平面PAB ；理法求二面角的大小。(II)求异面直线 PC与AD所成的角的大小;(III)求二面角 P BDA的大小.三. 补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线 (称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1

3、.已知斜三棱柱 ABCAiBiC.的棱长都是a,侧棱与底面成60°的角，侧面BCC.Bi丄底面ABC。(1) 求证：AC丄BC；CB1(2) 求平面ABiCi与平面ABC所成的二面角(锐角)的大小。2：如图5, E为正方体ABCD- AB CD的棱CC的中点，求平面ABE和底面1111 1 1AiBiCiDi所成锐角的余弦值.3如图所示，四棱锥 P- ABCD的底面 ABCD是边长1的菱形，Z BCD= 为60° , E 是 CD 的中 PA丄底面 ABCD, PA= 2.i' j* （I ）证明：平面 PBE丄平面PAB;（II）求平面PAD和平面PBE所成二面角

4、（锐角）的大小图5角的平而角（锐角）分析 平面AB.E与底面A.C.D.交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角,四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解， 用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写岀各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。11如图，在五面体 ABCDEF44, FA 平面ABCD, AD 2 (I )求证：AB BC ；（II）若直线 AC与平面AiBC所成的角为，二面角AiABC Ai BiCi ABC Ai ABBiBC A的大小为，试判断与的大小关系,AB

5、3. 如图，在棱长为a的正方体ABCDAiC.Di中，求:（1）二面角C>BDC的正切值（2）二面角B14. 过正方形ABCD的顶点A作PAA平面ABCD,设PA=AB=a, (1)求二面角PC - D的大小；(2) 求二面角 C-PD-A1的菱形，Z BCD= 60° , E是CD的 中5. 如图所示，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是边长 为点，PA丄底面ABCD, PA= 3.(1)证明：BE丄平面PAB；(2) 求二面角A- BE- P的大小(3) PB与面PAC的角6如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD/BC, ABC 90 ,PA 平而 ABCD, PA 3, AD 2, AB 2 3 ,BC=6(1)求证：BD平面PAC;(2)求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7.如图，直二面角 D ABE中，四边形 ABCD是边长为2的正方形，AE=EB, F为CE ±的点，且BF丄平面ACE.(I )求证AE丄平面BCE；EA (II )求二而角BACE的大小;(III) 求点D到平面ACE的距离.AD8.如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩