《概率论与数理统计》习题三答案

1、?概率论与数理统计?习题及答案习题三1将一硬币抛掷三次， 以X表示在三次中出现正面的次数， 以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值 试写出X和Y的联合分布律【解】X和Y的联合分布律如表:*012310= 1113C3g2 2 28cfg确定常数k； - -3/82 2 203180011112 2 2 82盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律【解】X和Y的联合分布律如表:0123000Cfgc；3eg2c：35c：3510c3gC2gC求 P Xv 1, Yv 3;6c3gc；e；12c

2、3e；2c：35c：35c：352P(0黑,2红,2白)=4C3£C2 £C26cie； 30cQ/c：c：35c：35353设二维随机变量X，Y的联合分布函数为si nxsiny, 0F(x，y)=0,n -x,02n y 2 其他.求二维随机变量X， Y在长方形域 Ox,：6ny 3内的概率【解】如图P0 Xn nn,Y公式(3,2)：63n nn nnF(-) F(-) F(0,刁 ：3： 63f (0, n6n n n nnnsin-gsinsingsinsin OgsinsinOgsin-434636¥( 3 i).4题3图 说明：也可先求出密度函数，再

3、求概率。4设随机变量X, Y的分布密度f (x, y)Ae (3x4y),x 0,y 0,0,其他.求：1常数A；2随机变量X，Y的分布函数;(3) P0 <X<1 , 0<Y<2.【解】(1)由f(x,y)dxdy °° Ae-(3x 4y)dxdy A 1得 A=12(2)由定义，有y xy y12e(3u 4v)dudv 0 00,F (x, y)f (u, v)dudv(1 e 3x)(1 e4y) y 0,x 0,0,其他 P0 X 1,0 Y 2P0 X 1,0 Y 2012e(3x 4y)dxdy(1 e1 2 3 4 *)(1 e8)

4、0.9499.5设随机变量X, Y的概率密度为f (x, y)k(6 xy), 0x2,2 y 4,0,其他.1,f(x, y)dxdyk(6 x y)dydx 8k0 21故 R -813(2) PX 1,Y3f (x,y)dydx13 -028*(6 x y)dydx PX 1.5 f (x, y)dxdy如图a f (x, y)dxdyx 1.5D11.54127dx (6 x y)dy .02 832 PX Y 4f(x,y)dxdy如图 b f (x, y)dxdyX Y 4D22 4x120dx2 8(6 x y)dy 3.<?|1.5 2xo 24 J(b)题5图6.设X和

5、Y是两个相互独立的随机变量，X在0, 0.2上服从均匀分布,Y的密度函数为fY ( y)=其他.题6图【解】1因X在0, 0.2 上服从均匀分布，所以X的密度函数为5e5y,0,y 0,fx(X)庞 0 x°20, 其他.所以fY(y)5e5y, y 0,0, 其他.f (x, y)X, 丫独立 fx (x)gfY(y)5e5y0,25e5y, 0 x 0.2且 y 0,0, 其他(2) P(Y X)f (x,y)dxdy如图y x0.2 x5dx 25e- ydy0 725e 5ydxdy0-1 =e7设二维随机变量X, YD0 2 ( 5e 5x5)dx0.3679.的联合分布函

6、数为F x，y(10,4x e)(1e2y),x 0, y 0, 其他.求X，Y的联合分布密度【解】f (x, y)2F(x, y)8e(4x0,2y)0,y 其他.0,8设二维随机变量X，Y的概率密度为求边缘概率密度【解】fXXfY(y)f x，4.8y(20,x),1,0y x,其他.f (x, y)dyx0 4.8y(2 x)dy0,f (x, y)dx1y4.8y(2 x)dx0,2.4x2(20,x),0其他.1,2.4 y(3 4y y2),0 y 1,0,其他.题9图f (x,y)=ey0,x y,其他.题8图9设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求边缘概率密度【解】fx(x)f

7、 (x, y)dyfY(y)x0,e ydye x0,f (x, y)dx0, 其他.ye0,y o,其他.ye ydx00,10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为y1y=x'wp.oX题10图y 1,其他(1)(2)试确定常数c； 求边缘概率密度2cx y, f( x，y)=0,【解】(1)f (x, y)dxdy如图 f (x, y)dxdyD1dx-11242cx ydy c 1.x 21214fx(x)f (x, y)dy1 21 21 2 42 x ydy x (1 x ),1 x 1,x 480,0,其他.fY(y)f(x, y)dxy 21y 4x2ydx52y2,

8、0 y 1,0,0,其他.11.设随机变量(X, Y)的概率密度为求条件概率密度【解】fx(X)f (x, y)fYi X (y | x),f (x, y)dyx1dyx0,2x,fx I Y其他.fY(y)1, |y x,0 x 1,0,其他.(x| y).题11图1,f(x, y)dx11dxy11dxy0,y,y,1 y 0,0 y 1,所以fYix(y |x)f(x,y)fx(x)12x0,|y| x 1,其他.,y x 1,fxY(x| y)f(x,y)fY(y)i y亠，y x i,i y0, 其他.12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的

9、号码为X,最大的号码为Y.1求X与Y的联合概率分布；2X与Y是否相互独立？【解】1 X与Y的联合分布律如下表345PX Xi11122336亠3亠310C510C510c510201122310c51010300111210C510PY yi丄2_6_1010106 16 1(2)因 PX 1gPY 3PX 1丫 3,10 10 100 10故X与Y不独立2 X与Y是否相互独立?因 PX 2gPY 0.40.2 0.80.160.15 P(X 2,Y0.4),故X与Y不独立.14设X和Y是两个相互独立的随机变量,fY (y)=X 在(0,1y/22e ,0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为y

10、 0,其他.(1) 求X和Y的联合概率密度；(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.1,0 x 1,【解】(1)因fX(x)©其他；fY(y)1 2e 220,y 1,其他.1 e 故 f(x,y)X,Y独立 fx(x)gfY(y)2y/2x 1,y0,PX2 Yf (x, y)dxdyx2 1e0 21 厂0.1445.1dx0y/2dy(1)(0)15设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) 从同一分布，其概率密度为，并设X和Y相互独立，且服1000f( x) = F0,x 1000,其他.求Z=X/Y的概率密度【解】如图,Z的分布函数Fz

11、(z)XPZ z PX 2(1)当 ZW0寸，Fz(z)0Fz(z)LOGO103z yx=1000 时,y=106) z103 dyz(如图a)yz 106103 2 210 x y2 2x ydxdy103106,z23dy -yzy2(2) 当0<z<1时，(这时当dxx y -zio当Z?1时,Fz(z)题15图沖寸，x=103z)(如图b)106dxdy103 dyzy1062 21032x yx y1031061dy13x y -z(这时当y=1032 dx2103zy2zfz(z)fz(z)1丄2zz20,12z2,12,0,1,z 1,其他.1,z 1,其他.16设

12、某种型号的电子管的寿命 (以小时计)近似地服从N( 160, 202)分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于 180的概率.只,【解】设这四只寿命为Xi(i=l,2,3,4)，那么XiN ( 160, 202),从而Pmin(X!,X2,X3,X4)180Xi之间独立 PXi 180gPX2180PX3180gPX41801 px1 180 g：1PX2 180 g1 PX3 180 g1 PX4 1801PX141804, 180 16012014(1)4(0.158)0.00063.17设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p( k), k=0, 1, 2，,PY=r

13、=q (r), r=0, 1, 2, 证明随机变量Z=X+Y的分布律为iPZ=i= p(k)q(i k) , i=0, 1, 2,k 0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以Z i X Y iX 0,Y i UX1,Y i 1 UL UXi,Y 0于是iPZ i PXk 0ik,Y i kX,Y 相互独立PX kgPY i kk 0p(k)q(i k)k 018设X, Y是相互独立的随机变量,数为2n, p的二项分布它们都服从参数为n , p的二项分布证明Z=X+Y服从参【证明】方法X+Y可能取值为0, 1, 2,，2n.kP X Y k PX i,Y k ii 02n kP(X i)

14、gPY k ik ni n inkinkpq,.p q0 ikk nnk 2n kp q0 ik ii 0k 2n kp q方法二：设俘，/律，为均服从两点分布参数为p,那么X=川+国+ 屮，Y= pi' + +，,X+Y= pi+ p+ p+ p' +' +，,所以，X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【解】(1) PX 2|Y2PX 2,Y2PY 2PX 2,Y25PX i,Y 2i 00.0510.252PY 3|X0PY 3, X 0PX 0PX 0,Y33PX 0,Y jj 00.010.03(2) PV i Pmax( X,Y) i PXi,Y i PX i

15、,Y iPXk 0ii,Y k PX k,Y i,k 0i 0,1,2,3,4,519设随机变量X，Y的分布律为*012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2) 求V=max (X, Y)的分布律；(3) 求U=min (X, Y)的分布律；(4) 求W=X+Y的分布律.V=max(X,Y) 00.040.160.280.240.28(3) PUiPmin( X,Y)iPX

16、 i,Y iPXi,Yi35i 0,1,2,3,PX i,YkPXk,Y ik ik i1于是U=mi n(X,Y)0123P0.280.300.250.174类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点X, Y在屏幕上服从均匀分布(1) 求 PY> 0 | Y> X;(2) 设 M=maxX, Y，求 PM >0.y题20图【解】因X, Y的联合概率密度为1 2 2 2f (x, y)2, x y R , R0, 其他.(1) PY 0|Y XPY 0,Y XPY

17、Xf(x,y)dy 0y xf(x,y)dy xndx/4R 12rdr0 nR25n4 dn412 rdr0 nR23/831/2 4(2) PM 0 Pmax( X,Y) 01 Pmax( X,Y) 01 PX 0,Y0 1 f (x, y)dx 0y o21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e【解】因 PY yjPjPX xi,Y yj,所围成，二维随机变量X, Y 在区域D上服从均匀分布，求X, Y关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少？【解】区域D的面积为 S0e21dx1 xf(x,y)2 e1In2.X,Y的联合密度函数为120,0其他.X, Y关于X

18、的边缘密度函数为fx(X)1/x 10 20,dy丄2x其他.故PY 比PX X1,Y yd PX X2,Y yd,从而 PX x1,Y1241 所以 fX2.422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量X，Y联合分布律及关于 X和Y的边缘分布律中的局部数值.试将其余数值填入表中的空白处y1y2yi 1P X=xi= piX1 x21/81/8P Y=yj= pj1/61而 X与 Y独立，故 px XigPY yj PX Xi，Y yi,从而PX1X1 2 PX6为，丫%124.即：PXX11 1 1 /24 64又PX为PXX1,YydPXX1,Yy2)PXX1,Y1即丄11PX

19、冷丫3,4248从而PX1x1,丫 y3 12同理PYy2)12'PXX2,Yy2 8311 1又PYyj1，故 PYy3)1 -j162 3.同理PXX234.从而PXX2,Y y3 PY y3 PX xnY 3131 112 4故y1y2y3PX X P1111X12481241313X28844PYyjPj111162323设某班车起点站上客人数X服从参数为 久?>0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p 0<p<1，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：1在发车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；2二维随机变量X，Y的概 率分布.【

20、解】1 PYm |XnCmpm1 pn m,0 mn, n0,1,2丄.2 PXn,YmPX ngPY m|Xnmmn m enCn p (1 p) g , n m n,n 0,1,2,L . n!1 224设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为 X，而丫的概率密度为f(y),0.3 0.7求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F (y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u) PX Y u 0.3PX Y u|X 1 0.7PX Y u|X 20.3PY u 1| X 1 0.7PY u 2|X2由于X和Y独立，可见G(u) 0.3PY u 1 0.7PY u 20.3F(u 1) 0.7F(u2).由此，得U的概率密度为g(u) G(u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)0.3f(u 1) 0.7f (u 2)