第4随机量的数字特征

1、第第4章：随机变量的数字特征章：随机变量的数字特征1.数学期望数学期望2.方差方差3.几种重要随机变量的数学期望与方差几种重要随机变量的数学期望与方差4.协方差及相关系数协方差及相关系数5.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数x是一个随机变量是一个随机变量. 如如何定义何定义x的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;27. 11002131001721003

2、01100320统计统计100天天,可得这可得这100天天 每天的平均废品数为每天的平均废品数为此数能否作为此数能否作为x的平均值？的平均值？若另统计若另统计100天天,小张不出废品小张不出废品,出一件、二件、三出一件、二件、三件废品的天数与前面的件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同天一般不会完全相同,这另外这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.当统计天数趋于当统计天数趋于 时，才是时，才是小张每天的平均废品数小张每天的平均废品数 由频率和概率的关系，由频率和概率的关系，用用概率代替频率概率代替频率：32103210pppp以概率为权以概率为权的

3、加权平均的加权平均这个数这个数才才是随机变量是随机变量x的真正的平均值的真正的平均值 .是否合理呢？是否合理呢？ni表示每天出表示每天出i件废品件废品i=0,1,2,3.nnnnnnnn32103210得得n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品假定小张每天至多出三件废品) 一般来说一般来说,若统计若统计n天天,以频率为权以频率为权的加权平均的加权平均把以上问题抽象为摸球模型描述把以上问题抽象为摸球模型描述:2230003111220 0 033111 箱子里面装有箱子里面装有10个大小，个大小，形状完全相同的球，号码如形状完全相同的球，号码如图图. 规定从箱

4、中任意取出一个球，规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验箱中为一次试验. 记记x为所取出的球的号码为所取出的球的号码(对对应废品数应废品数) . x的概率函数为的概率函数为2 . 02 . 03 . 03 . 03210x我们采用我们采用计算机模拟计算机模拟.请看演示请看演示随机变量均值的确定随机变量均值的确定nnnnnnnnnm32103210)(输入试验次数输入试验次数(即天数即天数)n,计算机对小张的生产计算机对小张的生产情况进行模拟情况进行模拟,统计统计他不出废品，出一件、二他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数件、三件废品的

5、天数n0,n1,n2,n3 , 并计算并计算与与32103210pppp进行比较进行比较. 看计算机模拟的结果看计算机模拟的结果.22300031111. 数学期望数学期望 例例1.观察放射性物质观察放射性物质7.5秒放出秒放出 粒子数粒子数x。 共观察共观察2608次。次。 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10频数频数 k 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16算得平均值算得平均值x3.87当试验次数当试验次数n+ 时时,才能得到真正的平均值。才能得到真正的平均值。设观察设观察n次次,有有 k次放出次放出k个个 粒子粒子.则：则： 11kk

6、knx 11kknknmli 1kxpkk 当当n+ 时时: 设设x是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x200 y 0fy (y)= 02212)2(2ydyy dyyyyey121)(20 )23(2 )21(212 =12. 几个重要随机变量的期望几个重要随机变量的期望(1). 二项分布二项分布x的概率分布为：的概率分布为：nkqpckxpknkkn,2 , 1 , 0， knkknnkqpckxe 0)(knknkqpknknk )!( !1)1()1(11)!1() 1()!1()!1( knknk

7、qpknknnp解：解： dyyyfyey)()(rmrmrrmnmkrqpcnp 011令令= np(2). poisson分布分布x的概率分布为：的概率分布为：，2 , 1 , 0! kkkxpk !)(0kkxekk 11)!1(kkk 01!rrkrr 令令= (3). 几何分布几何分布x的概率分布为：的概率分布为：，2 , 1)1 (1 kppkxpkpqkxekk11)( 0)(kqxkxpqxkkxp 0令令:q=1-pqxxp 11qxxp 2)1(p1 (4).均匀分布均匀分布x的密度函数为：的密度函数为： ,0,1)(baxbaxabxf dxxxfxe)()(2ba (5

8、).正态分布正态分布x的密度函数为：的密度函数为： xxfx222)(21)( dxxxfxe)()(dxxx222)(2 dxdxxxx22222)(2)(22 = 3. 期望的性质期望的性质:(1). e(a)=a(2). e(ax)=ae(x)(3).e(x+y)=e(x)+e(y)(4).当当x与与y相互独立时：相互独立时： e(xy)=e(x)e(y)(其中其中x，y为随机变量；为随机变量；a为常数。为常数。) 例例5.某机器有某机器有3个部件个部件,各部件需要调整的概率分各部件需要调整的概率分别为别为0.1, 0.2, 0.3记记x为需要调整的部件数为需要调整的部件数.求求e(x)

9、.解法解法1：先求：先求x的概率分布：的概率分布：px=0=p(a1a2a3)=0.90.80.7=0.504px=1=p(a1a2a3)+p(a1a2a3)+p(a1a2a3)设：设：ai为第为第i个部件不需要调整个部件不需要调整=0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398px=3=p(a1a2a3)=0.10.20.30.006px=2=1px=0px=1px=30.092故：故：e(x)=00.504+10.39820.092+30.006=0.6解法解法2：令：令：xi1 第第i个部件需要调整个部件需要调整0 第第i个部件不需要调整个部件不需要调整 i=1、2、3

10、则：则：e(x1)=0.1e(x2)=0.2e(x3)=0.3且且x= x1 + x2 + x3故：故：e(x)=e(x1 + x2 + x3)=e(x1)+e(x2)+ e(x3 )=0.6定理：定理：设随机变量设随机变量x的连续函数的连续函数yg(x)，e(y)存在存在(1).对离散型随机变量对离散型随机变量x，若，若px=xk=pk k=1, 2, 则：则：e(y)=e(g(x)=kkkpxg 1)( dxxfxgxgeye)()()()(则则：(2).对连续型随机变量对连续型随机变量x，若，若x的密度函数为的密度函数为:f(x)定理定理：设二维随机变量：设二维随机变量(x, y)的连续

11、函数的连续函数zg(x,y)， e(z)存在。存在。(1).对离散型随机变量对离散型随机变量(x, y), px=xi, y=yj=pij i, j=1, 2, 则：则：e(z)=e(g(x,y)=ijijjipyxg 11),(2).对连续型随机变量对连续型随机变量(x, y)，有密度函数为，有密度函数为:f(x, y)dxdyyxfyxgyxgeze),(),(),()( 则则：例例6：国家出口某商品，设国外对此商品的需求量为：国家出口某商品，设国外对此商品的需求量为x，x服从服从(2000,4000)单位单位t上均匀分布，出售上均匀分布，出售1t得外汇得外汇3万元，万元，若售不出则若售不

12、出则1t的保养费为的保养费为1万元，问每年应准备多少商品万元，问每年应准备多少商品才使国家收益的期望值最大？最大值是多少？才使国家收益的期望值最大？最大值是多少？解：设每年准备解：设每年准备st商品商品, 收益为收益为y. 则：则：2000 s 4000yg(x)3s x s 3x(sx) xq,p+q=1.为了补偿为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为等，甲为 a, 乙为乙为b, ab. 现在的问题是：现在的问题是：a究究竟应比竟应比b大多少，才能做到公正？大多少，才能做到公正？解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为x，乙赢的钱数为，乙赢的

13、钱数为y，依题意依题意,qpabx,pqbay解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为x，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为y，为对双方公正为对双方公正,应有应有依题意依题意,qpabx,pqbaye(x)=bp+(-a)q, e(y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0, qbpa 故故 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果x用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a

14、 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近2. 方差方差 1. 定义定义:设设x为随机变量为随机变量, 若若e(xe(x)2存在存在.则称其为随机变量则称其为随机变量x的方差的方差.记为：记为：d(x)=e(x-e(x)22. 计算方差的简算公式：计算方差的简算公式： d(x)=e(x2)-e(x)2 证：证：d(x)=ex-e(x)2=ex2-2xe(x)+e(x)2=e(x2)-2e(x)2+e(x)2=e(x2)-e(x)2称为称为 d(x) 随机变量随

15、机变量x的标准差的标准差3.几个常见分布的方差几个常见分布的方差(1).二项分布二项分布nkqpckxpknkkn,2 , 1 , 0， e(x)=npknkknnkqpckxe 022)(knknkqpknknkk )!( !) 1(1)2()2(222)!2()2()!2()!2() 1( knknkqpknknpnn+np+nprmrmrrmnmkrqpcpnn 0222)1(令令+np =n(n-1)p2+npd(x)=e(x2)e(x)2= np(1-p)(2). poisson分布分布，2 , 1 , 0! kkkxpk !)(022kkxekk)(!) 1(1xekkkkk 02

16、2!rrkrr令令= 2+ e(x)= d(x)=e(x2)e(x)2= (3). 几何分布几何分布，2 , 1)1 (1 kppkxpk令令:q=1pe(x)=1p d(x)=e(x2)e(x)2 1122)(kkpqkxe 1112)1(kkkkkqpqkkpqqxkkxqp 1)(+e(x)pxxqpqx1)1( pqqp1)1(23 22pp22pp21p21pp(4).正态分布正态分布 xxfx222)(21)( 2)()(xexexd dxxx222)(22)( e(x)= dtttxt2022222 令令)23(22= 24.方差的性质方差的性质 (x、y为随机变量，为随机变量，

17、c为常数为常数)： 1). d(x)=0 px=c=1. 2). 若若c是常数是常数,则则d(cx)=c2 d(x); 4). 若若x、y 独立独立,则则d(x y)= d(x)+d(y);3).d(x y)=d(x)+d(y) 2e(xe(x)(ye(y);证明：证明：3). d(x y)=e(x y) e(x y)2e(xe(x) (ye(y)2= d(x)+d(y) 2e(xe(x)(ye(y);2).d(cx)=ecxe(cx)2=ec2(xe(x)2=c2d(x)=e(xe(x)2+(ye(y)2 2(xe(x)(ye(y) 例例8.某人打靶，命中率为某人打靶，命中率为 p,到击中到

18、击中r枪为枪为止，需要射击止，需要射击x枪，求枪，求e(x)，d(x). 解：设解：设xi 为自击中为自击中i1 枪起到击中第枪起到击中第i枪枪止需射击次数。止需射击次数。i=1、2,r. x1 x2 xr则：则：x1 、 x2 , xr相互独立同分布。相互独立同分布。都服从参数为都服从参数为p的几何分布。的几何分布。e(xi )=1/p d(xi )=q/p2;x=x1+x2+xr故：故：e(x)=e(x1+x2+xr) =r/pd(x)=d(x1+x2+xr)=rq/p2 随机变量随机变量x和和y的协方差的协方差,记为记为cov(x,y), 定义为定义为 cov(x1+x2,y)= cov

19、(x1,y) + cov(x2,y) cov(x,y)= cov(y,x)一、协方差一、协方差2.简单性质简单性质 cov(ax,by) = ab cov(x,y) a,b是常数是常数cov(x,y)=e x-e(x)y-e(y) 1.定义：定义：3 协方差与相关系数协方差与相关系数 cov(x,y)=e(xy) e(x)e(y) 若若x与与y独立则：独立则：cov(x,y)= 0，反之不成立，反之不成立.3. 协方差的简算公式协方差的简算公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得cov(x,y)=e x-e(x)y-e(y) =e(xy)e(x)e(y)e(y)e(

20、x)+e(x)e(y) =e(xy)e(x)e(y)即即 协方差在一定程度上反映了协方差在一定程度上反映了x和和y相互系，相互系，但受但受x与与y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：cov(kx, ky)=k2cov(x,y) 为克服此缺点，对协方差标准化，这就引为克服此缺点，对协方差标准化，这就引入了入了相关系数相关系数 .二、相关系数二、相关系数为随机变量为随机变量x和和y的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设d(x)0, d(y)0,)()(),(ydxdyxcovxy 称称在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .xy 定理：定理：；且且1| 11| baxy

21、p (a、b是常数是常数) 引理：设引理：设 、 是随机变量，是随机变量，e( 2)+ 、e( 2) + ，则：，则：|e()|2 e( 2) e( 2) 等号成立等号成立 存在常数存在常数t0使使:p =t0 =1证明：定义函数：证明：定义函数：q(t)=e(t )2 则：则：0 q(t)=e(t )2 + 22tt2 e( 2)+e( 2)2te()故：故：q(t)=0有唯一实根或无实根有唯一实根或无实根4e()24e( 2)e( 2) 0即：即：|e()|2 e( 2)e( 2) |e()|2e( 2) e( 2)q(t)=0有唯一实根有唯一实根存在常数存在常数t0使使:e(t0 )2=0p =t0 =1定理证明定理证明： 令令 xe(x) =ye(y)代入引理：代入引理： |e(xe(x)(ye(y)|2 exe(x)2eye(y)2 即即: | | 1 ；1baxyp| | 1 存在常数存在常数t0使使:pye(y)=t0xe(x)=1令令: a = t0 ,b=e(y)t0 e(x)若若(x,y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则 x与与y独立独立x与与y不相关不相关2. x和和y独立时独立时: =0