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1、向量知识点归纳总结向量知识点归纳与常见题型总结 (与向量概念有关的问题 1?向量不同于数量，数量是只有大小的量(称标量)，而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“,”错了，ab而|,|才有意义. ab?有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(大小和方向)，故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ?平行向量(既共线向量)不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. 22?单位向量是模为1的向量，其坐标表示为(),其中、满足 ,1yxyx,yx，,ab(可用

2、(cos,sin)(0?2)表示).特别:表示与同向的单位向量。 ab,|abacab例如:向量所在直线过的内心(是的角平分线所在,()(0)，,abc，bac|abac直线); abac例1、o是平面上一个定点，a、b、c不共线，p满足opoa,，,，,()0,).|ab|ac则点p的轨迹一定通过三角形的内心。 ?abacabac1?(变式)已知非零向量ab与ac满足( + )?bc=0且 ? = , 则?abc为( ) 2?|ab|ac|ab|ac|a.三边均不相等的三角形 b.直角三角形c.等腰非等边三角形 d.等边三角形 (06陕西) ?的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0

3、仅仅是一个无方向的实数. 0?有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. (7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是,。) aa2(与向量运算有关的问题 ?向量与向量相加，其和仍是一个向量.(三角形法则和平行四边形法则) ?当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且|,|，|; a，a，abbabbab?当两个向量和共线且同向时，、的方向都相同，且; |a，b|,|a|，|b|a，abbab?当向量和反向时，若|,|，与 方向相同 ，且|=|-|; ababa，baa，bab若|,|时,与 方向相同，且|，|=|-|. aba，bbabba?向量与向量相减

4、，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 ; ab，bc,acab,ac,cb1 ,例2:p是三角形abc内任一点，若，则p一定在( ) cbpapbr,，,a、内部 b、ac边所在的直线上 c、ab边上 d、bc边上 ,abc2例3、若，则?abc是:a.rt? b.锐角? c.钝角? d.等腰rt? ab?bc，ab,0特别的:, a,b,a,b,a，b、已知向量，求的最大值。 例4a,(cos,sin,),b,(3,1)|2a,b|分析:通过向量的坐标运算，转化为函数(这里是三角)的最值问题，是通法。

5、22解:原式= (2cos,3)，(2sin,，1)|(2cos,3,2sin,，1)|,5,=。当且仅当时，有最大值 8，8sin(,),2k，(k,z)|2a,b|4.,36评析:其实此类问题运用一个重要的向量不等式“”就显得|a|,|b|,|a,b|,|a|，|b|简洁明快。原式=，但要注意等号成立的条件(向,|2a|，|b|2|a|，|b|,2，1，2,4量同向)。 ?围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)的和为零向量. 如，,(在?abc中) .(?abcd中) ab，bc，ca,0ab，bc，cd，da,0?判定两向量共线的注意事项:共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b?

6、0 )，a?b,存在实数使a=b( 如果两个非零向量，使=(?r)，那么?; ababab反之，如?，且?0，那么=. abbab这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与的方向规定为平行. aab?数量积的8个重要性质 ?两向量的夹角为0?.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向,量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ?设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则 abe,abe,a,a,e,|a|,cos,.(？|e|,1)?(?=90?， cos,0)a,b,0a,b,?在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中=或=是错

7、误的，,aaba,b,a00b0或是=0的充分而不必要条件. 故a,0a,bb,0?当与同向时=(=0,cos=1); |a|,|b|a,bab,当与反向时，=-(=,cos=-1)，即?的另一个充要条件是|a|,|b|a,bab,ab.当为锐角时，,0，且不同向，是为锐角的必要|a,b|,|a|,|b|ab、 ab,0,ab,非充分条件;当为钝角时，,0，且不反向，是为钝角的必要非充ab、 ab,0,ab,分条件; ,例5.如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是a,(,2,)b,(3,2)ab,2 41_(答:或且); ,033例6、已知,为相互垂直的单位向量，。且与的夹角为锐角，ja,

8、i,2jb,i，,jiab求实数的取值范围。 ,分析:由数量积的定义易得“”，但要注意问题的等价性。 ,a,b,a,b,01解:由与的夹角为锐角，得有 ,.aba,b,1,2,0.2,1t,而当即两向量同向共线时，有得此时其夹角不为锐角。 a,tb(t,0),2.,t,2,1,故，. ,2,2,2,评析:特别提醒的是:是锐角与不等价;同样是钝角与,a,b,a,b,a,b,0a,b,0不等价。极易疏忽特例“共线”。 22222特殊情况有=。或=. x，y|a|a|a,aaa,a,a如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,),则yxyxa121222= (x,x)，(y,y)|a

9、|1212?。(因) cos,1|a,b|,|a|,|b|?数量积不适合乘法结合律. 如(因为与共线，而与共线) (a,b),c,a,(b,c).(a,b),ca,(b,c)ca?数量积的消去律不成立. 若、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，ba,baca,c,b,c1即是无意义的. ca,b(6)向量b在方向上的投影,b,cos, a,a,(7) 和是平面一组基底,则该平面任一向量(,唯一) ,eea,e，,e11122122特别:. ,则是三点p、a、b共线的充要条件. ,，,1op,oaob，1212注意:起点相同，系数和是1。基底一定不共线 1例7、已知等差数列,a,的前n

10、项和为s，若，且a、b、coaaoc，,boa,nn12002三点共线(该直线不过点o)，则s,( ) 200a(50 b. 51 c.100 d.101 例8、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,b(,1,3),若点满足a(3,1)oc,其中且,则点的轨迹是_(直线ab) ,r,，,1,oa，,obcoc,1212123 t,t例9、已知点a,b,c的坐标分别是.若存在实数, (3,1),(5,2),(2,2),使,则的值是:a. 0 b. 1 c. 0或1 d.不确定 oc,oa，(1,)obt例10下列条件中，能确定三点不共线的是: a,b,p(2222a( b( mp,sin20:

11、ma，cos20:mbmp,sec20:ma,tan20:mb2222 c( d( mp,sin20:ma，cos70:mbmp,csc31:ma,cot31:mb分析:本题应知:“共线，等价于存在使且a,b,p,r,mp,ma，,mb”。 ,，,11(8)?在中，为的重心，特别地,abcg,abcpgpapbpc,，()3,1为的重心;则过三角形的重心; ad，,papbpcp，,0,abcabbcad2例11、设平面向量、的和。如果向量、，满足，baaaaaa，,0bbba,2123123123iio且顺时针旋转后与同向，其中，则(d)(06河南高考) bai,1,2,330iia( b

12、,，,bbb0bbb,，,0123123c( d( bbb，,0bbb，,0123123?为的垂心; papbpbpcpcpap,abcacab?向量所在直线过的内心(的角分线所在直线); ,()(0)，,abc，bac|abac?的内心;(选) |0abpcbcpacapbp，,abc1?s,; ?aobxy,xyabba2例12、若o是所在平面内一点，且满足，则abcobocobocoa,，,2abc的形状为_(答:直角三角形); 例13、若d为的边的中点，所在平面内有一点p，满足,abcbc,abc|ap，设，则的值为_(答:2); pabpcp，,0,|pd例14、若点是的外心，且，则

13、内角为_(答:); o?abcoaobco，,0c120(9)、 p分的比为,则=,0内分;,0且?-1外分. pp,pp,pp11221,，opop12,;若,1 则,(+);设p(x,y),p(x,y), op111opopop1221，,，xx，xx,x，x，x,1212123,x,xx,1，23p(x,y)则;中点重心 222,y，y，y，y，yyy1231212,y,.,.yy,.,3,21，,说明:特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。 ,例15、已知a(4，-3)，b(-2，6)，点p在直线ab上，且，则p点的坐|3|abap,4

14、 标是( )(2，0)，(6，-6) ,x,x，h,(10)、点按平移得,则, 或 函数按p(x,y)a,(h,k)p(x,y)y,f(x)ppa,y,y，k,平移得函数方程为: a,(h,k)y,k,f(x,h)向量按向量平移，前后不变; 说明:(1(2)曲线按向量平移，分两步:?确定平移方向-与坐标轴的方向一致; ?按左加右减，上加下减(上减下加) 2例16、把函数的图象按向量平移后得到的解析式是_。yx,2a,(2,2)2 yxx,，286,例17、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则y,sin2xy,cos2x，1aa,_(答:) (,1)4结论:已知,过的直线与交于点,则分

15、ppa(x,y),b(x,y),l:ax，by，c,0a,bl1122ax，by，c11所成的比是,若用此结论,以下两题将变得很简单. ab,ax，by，c22例18、已知有向线段的起点p和终点q的坐标分别是，若直线的方程是(,1,1),(2,2)pql，直线与的延长线相交,则的取值范围是_. x，my，m,0pqmlax，by，c1,2m11,解:由得,因为直线与的延长线相交,故,pq,1,l2，3max，by，c222,3,m,解得 3变式:已知点a(2,-1),b(5,3).若直线与线段ab相交,求的范围. l:kx,y，1,0kax，by，c22k，211提示: 由 得:及直线过端点得

16、 ,1,k,0,5ax，by，c5k,222(11)对空间任一点o和不共线的三点a、b、c，满足， opxoayobzoc,，则四点p、a、b、c是共面(注意:(1)起点相同 (2)系数和是1。 xyz，,1,ababab，112233(12) 空间两个向量的夹角公式 cosa，b=(a,，(,)aaa123222222aaabbb，123123b,). (,)bbb123(13)空间两点间的距离公式 若a，b，则 (,)xyz(,)xyz111222222 =,，,，,()()()xxyyzz. d|ababab,ab,212121122p(14)点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量qh

17、abab,(|)()lll|apaa=，向量b=). pqabc(15)正弦定理 (r是三角形的外接圆半径) ,2rsinsinsinabc5 说明:正弦定理可直接进行边角转换; cosbb:在中，分别是角的对边，且，求b的大小。 例15abc,abc,abc,cos2cac，cossin2bbb,提示: ,b，cos22sinsin3cacac例16:在中，若，则此三角形必是_三角形(等腰) ,abcsin2cossincab,222bca，,22提示: cabcbab,2cos22bc(16)余弦定理 222222222; . abcbca,，,2cosbcacab,，,2coscabab

18、c,，,2cos111(17)面积定理?(分别表示a、b、c边上的高). hhh、sahbhch,abcabc222111?. sabcbcacab,sinsinsin2221122?=(为的夹角) soaoboaob,oaob,oaobtan(|)(),oab22(18)三角形内角和定理 在?abc中，有 cab,，. ,，222()cab,abccab()，,，,222说明:(1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件) ?:两边之和大于第三边;?:斜边大于直角边;?:正(余)弦定理; 0?:面积公式;?:内角和是;?:大角对大边 180?: tana，tanb，tanc,tana,tanb,ta

19、nc?:正弦、余弦函数的单调性; ,锐角三角形中有: abababb，,sinsin()cos222,钝角三角形中有(c是钝角): abababb，,sinsin()cos222例17:定义在r上的偶函数，且在上是减函数，是锐角三fxfx(1)()，,3,2,角形的两个角，则( )a、 b、 ff(sin)(cos),ff(sin)(cos),c、ff(sin)(sin), d、ff(cos)(cos), (19)平面两点间的距离公式 22=,，,()()xxyy(a，b). d(,)xy(,)xy|ababab,ab,11222121,(20)向量的平行与垂直 设a=(,)xy,b=(,)x

20、y，且b0，则 1122a?bb=a ,xyxy0. ,1221,ab(a0)a?b=0,，,xxyy0. ,1212pp(21)线段的定比分公式 设pxy(,)，pxy(,)，pxy(,)是线段的分点,是实数，,11122212且，则 pppp,126 xx，,12x,opop，,1,1，,12(). opoptoptop,，,(1),t,12yy，1,，1,12,y,1，,(22)平面向量的综合问题 向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形

21、的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。 一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始(一般需先平方)，而共线，共点问题多由数乘向量处理。 ,3113例19(设平面向量，若存在不同时为0的两个实数及实数a,(,),b,(,)s,t2222,2，使。 k,0x,a，(t,k)b,y,sa，tb且x,y(1)求函数关系式; s,f(t)(2)若函数在是单调函数，求的取值范围。 s,f(t)1,，,)k分析:由数量积的坐标运

22、算，不难得出的解析式，含参数必引起讨论，运用“整s,f(t)''体思想”可简化计算;在是单调函数，等价于“或在1,，,)1,，,)f(t)f(t),0f(t),0上恒成立”。 ,3113解:(1)，又 ？a,(,),b,(,)？|a|,|b|,1,且a,b,0？x,y2222,23即由此得: ？x,y,0a，(t,k)b,(,sa，tb),0s,t,kt'2(2)，又是单调函数， ？f(t)f(t),3t,k'2若是增函数，则，恒有， f(t)f(t),03t,k,而t,1,，,)？0,k,3'2若是减函数，则，恒有，这样的不存在 f(t)f(t),03

23、t,k,而t,1,，,)k125.145.20加与减（三）4 p68-74综上. 0,k,3评析:本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。 （1) 与圆相关的概念：ab,ac1ba,bc3,例20、在abc中，,， ，又e点在bc边上，且满足,22|ab|ba|4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3，以a、b为焦点的双曲线经过c、e两点.求此双曲线的方程. be,2ec分析:遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。 解:以线段ab的中点o为原点，直线ab为x轴建

24、立平面直角坐标系， ?a(-1，0)，b(1，0) 周 次日 期教 学 内 容ab,ac111,ad作cd?ab于d，由已知， ?|cosa=，即|=， ac222|ab|6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，oa、ob、oc、od的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。7 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。ba,bc33同理又? ，?|=， bd,22|ba|5.二次函数与一元二次方程22xy1设双曲线的方程为 (a>0,b>0),c(-,h), e(x,y) ,111222ab2,x,1 3，? 又?e、c两点在双曲