不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

1、实用文案不定积分和微分-J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的应用 dxdx注意：f(x)的不定积分为F(x)c= F(x)是f (x)的原函数二f (x)是F(x)的导数,即f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求导得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，则 x =，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)f(x)dx=x2 c，求 xf(1-

2、x2)dx解：对 f(x)dx=x2 c 求导得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x2222 2x2则 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 xcdx，即 f(x)二 1(2) .xfgdxrgx C,求.帀解：对.xf (x)dx 二 arcsinx c两边求导得 xf (x) 口fir x -壮“冷-xQ-x2)2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令：(xt，则 X=，(t)，即 F，(t) = f ("(t)，/ 2 2例 2( 1) f (sin x)二 tan x，求 f (

3、x)cos2 x 1 -t解：令 sin2 x = t，则 cos21 = 1 -t， tan2 x = sin x t即f/(t)诂两边积分的 f (t)二dt二-t1 t_ ln |t _11 c(2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令- X "，则上式为f/二_tf/(-t)-1，即2x由上面两式得 f /(x) = 2x +12x2两边积分得 f (x)二 2dx = 1 n(x 1) c' x +1f(0) =0,f (inx：,x0 : x _1，求f(u)(3)设 f (u)在-：:U

4、：: :内可导，且标准文档解：令 In x =t得 x = £，0 : et < 1et 1f/(t)1te2t< 0当 t 乞0 时，f/(t)=1，两边积分得f(t)当 t 0 时，f (t) = e，两边积分得tf (t) = e2dt =2e2c2又因为设f (t)在:U v内可导，所以f (t)在-:：u ；： ?宀内连续t而 lim f (t)lim(2e2c2) = 2 c2，limf (t) = lim (tc1c1tj 0t )0t )0-因为 f (t)在 t =0 处连续，则 2 c2 = q = 0，即 & = 0 , c2 = -2

5、9;tt 兰 0故f (t)二 丄2e2 -2 t >0(4)设 y = f (x)在 x处的改变量为:y厶x o(x)(厶Xr 0)，y(0) =1，求 y/(1)1 + x解：由.：yx 0(. ：x)知 y/1 x1 x两边积分得理=得 In y = In(1x) cy 1 x而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=1解：o f (x)dx =xf (x) |°xf(5)设 f(x)订半dt，jr0 f(x)dxn si nx ,(x)dx 二二dx -0兀-xjsi nxdx = 2二、已知F(x)是f (x)的原函数二F，(x)= f(x)，求被积函数中含有j !

6、f (x)dx = F (x) cf ( ：(x)的积分1、由f (x) =f/(x)求出f(x)，代入积分计算2、把积分转化为.f (x)d(x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函数，a = 0，求x解：因为s是f (x)的原函数，所以f(x)dx =xta xf (ax) dx asin xcx(2) e"是 f (x)的原函数，求x2 f (In x)dx解：因为 f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x贝V x2 f (In x)dx - - xdxc2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有f( ;：(x

7、)的积分1、由f (x)求f(：(x)，再把f(x)的表达式代入积分计算实用文案2、由f(x)先求.f(x)dx，把含有f(：(x)的积分转化为.f (：:(x)d ：:(x)的形式处理例 4( 1)f (sin2 x) sin x，求j x f (x)dxL - x2标准文档I解：在(f (x)dx中，令 x=sin . 2 2解：因为(e“)/ 二 f (x)，所以 f (x)二-2xe , f (x)dx 二 e心 cx(x)dx 二 xd f (x) = xf (x) - f (x)dx =-2x2e_x -e" c(4) f(x)二 xex，求 f/(x) ln xdx解：

8、.(x) Inxdx 二 In xd f (x) = f (x) Int得.sin21 1 - sin 211 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t) = 2 sin t f (sin t)dt=2 tsintdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因为 sin t = x , cost = 1 - x , t = arcs in . x所以f(x)dx = 2丁1x arcsi门依+2依+。1 -x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22t +1解：令 x2 -1 =

9、t,则 f (t) = In ，而 f (x)H ln xt 13(x)+1x+1则 ln-21 = Inx 即(x) =®(x) 1x Tx +1(x)dxdx = x 2In | x -11 cx T2(3) (e")/=f(x)， f / (x)连续，求 xf/(x)dxX - x tX .x=xe lnx_ e dx = xe Inx-e c(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dx'f(x)xf (x)解：dx 二 xd|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x

10、c(6)设 f(x)二2x sintdt t1求 0 xf (x) dx解：因为f (x)二，所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二12-xsin x dx1 122sin x dx2 0cosl 1解:1令 2x±1212/oxf (2x)dx 二-0tf (t)d- 0tdf (t)二tf /(t).2h|01 2 /-4 0f(t)dt1 2 .1cosx Io 二2 2 2四、利用凑微分法求积分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)

11、f (2)f(2) -f(0)2(2)设f (x)二阶可导,解:b / /af (x)f (x)dxf /(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)设 q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)实用文案/解:0 f" (x)sin xdx = ° sin xd f (x) = - o f； (x) cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)-打 f (x) sin xdx因为 0【f(x) f(x)sinxdx =5

12、，所以f(0) - f(二)=5 而 f(J =2，故 f(0) = 7五、已知 F / (x)二 f (x)，且 f (x) F (x)二 g (x)，求 f(x)方法：两边积分F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得号刃二 g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函数，且x_0时，有f (x) F(x) =sin2 2x，又 F(0) =1，F(x) - 0,求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以F，(x)二f (x)，由于 f(x) F(x)二si n22x故 F，(x) F(x)二si n22x，/ 2 1两边积分得 F (x)F(x)dx 二

13、 sin 2xdx dx-1 cos 4xdx =-2 -x sin 4x2 8c1而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故 F 2 (x) = x sin 4x c，又 F (0) =1 得 c=14而 F(x) 一0，所以 F(x)=x-sin4x 1 f(x)41 -cos4x,4 x si n 4x 4(2)f (x)连续，且当x * -1时,xf(x) 0f(t)dt 1二xxe + 2，求 2(1 x)2f(x)解:x/令 g(x)二 0 f(t)dt，g (x)x= f(x)，由于 f(x) .0f(t)dt Xxxe2(1 x)2g/(x)g(x) 1=xxe2(

14、1 x)2标准文档两边积分得g/(x)g(x) 1dx =x xe2(1 x)2dxx xe葩盹2(1 Fdx Jdx - dx2 1 x 2 (1 x)g(x) 12 二因为g(x)二 o f (t)dt 令 x = 0得 g(0)=0，代入上式c = 0故 g(x二-1，f/(x) =x ex2(1 x)2(3)已知f (x)为非负连续函数，且x 0时,X3°f(x)f(x-t)dt =x3，求 f (x)令 x-t=ux提示：因为 0 f (x) f (x-t)dt =六、变上限积分的导数运算f (x) J0 f (u)du，令 g(x) = Jo f (u)du 处理bx/注

15、意：(1)如 F(x)二 * f(t)dt,x a,b，则 F(x)二 b f (t)dt，则 F，(x) = -f(x)如F(x) = fx)f (t) dt，则由复合函数的求导法则有b aF/(x F(u) dU = f(u) "(x)二 f :(x)k ：/(x) dxdxWx)c如 F (x) = J 如)f (t)dt，可得成 F (x)=打X)f(t)dt + f9x) f(t)dt，则F，(x)二 f(x) "(x)- f (x)/(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)满足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)解：两边求导得 f

16、(x) xf/(x) = x2 f (x)即ff(x)1(x )dxx(2)求一个不恒等于零的连续函数f (x)，使它满足f2(x)x sin t0f(t)dt2 cost实用文案解：两边求导得 2f(x)fLx)二 f(x) sinx2 + cosx/sin x 、小f(x) (2f (x)=0sin x2 + cosx因为f (x)是不恒等于零的连续函数，故f/(x)二1两边积分得f (x)=4 + 2cosxsin x 1 ,、dx ln(2 cosx) c ' '2 2 +cosx 2得f (0) = 0代入上式有c二丄In 322x sin t在 f 1因为 f(1)

17、=1，上式中令 x =1 得 2 f(u)du-f(1) =1223所以 f (x)dx 二M41(2) 求可导数 f(x)，使它满足.°f(tx)dt 二 f(x) xsinx(X)二 f (t)dt 中令 x =0,、02 + cost11故 f (x) In(2 cosx) In 32 2注意:(1)上题要充分利用已知条件确定初始条件f(0) = 0x标准文档(2)定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变 量，然后再求导例8( 1)已知f (x)连续，解：令 2x -t 二 u，则xtf (2x -t)dt =-0x0tf (2x-t)dt 二-

18、arcta nx222f (1) = 1 求 J f (x)dxx2x2x(2x-u)f(u)du =2x f(u)du- uf (u)du'2x' x' x两边求导得：2xx2 x f(u)duXf(x)=1x4即1解：令 tx =u，则 p f (tx)dtx0f W)du2x2x122x f(u)du - uf (u)du arctanx2 xx1x2因为 o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf(x) + x sinx两边求导得 f/(x)=-2sinx-xcosx实用文案由方程.0et dty +2x2si ntt两边

19、积分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsinx cdt = 1 ( x 0)确定y是x的函数，求3dx标准文档解:2对x求导得eyy/ 2sinx0，故 3吋dxey(4)y =y(x)是由 xy x .2/e1 dt = 0确定的函数，求y /xd3解:对 x 求导得 1 _y x)2(y/1) =0故 ye(y'x)2 -1y “X2e dt = 0中令x =0时，有1注意：此题确定y的方法(5)设f (x)为已知可导奇函数,g (x)为f (x)的反函数，则 dxx(x)xg(t -x)dtx -f (x) 解：令t -x = u，

20、贝U-f (x)xg(t _x)dt = x 0 g(u)dudx_f(x)所以乔-f (x)/xg(tx)dt 二 0 g(u)du-xf (x) g-f(x)x-f (x)/令 h(x)二 0 g(u)du，则 h (x)二-f (x) g-f (x)=xf/(x)两边积分得 h(x) = xf/(x)dx = xf (x) - f(x)dxdx-f(x)2 /故xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dxdx vx d(6)设函数 f(x)可导，且 f(0)=0, g(x)°tn'f(xn-tn)dt，求lim弩x >0 x2n解：令 xn -

21、tn =ux 11，则 g(x)=J0tn f (xn tn)dt =匚 f (u)duxn由于 g / (x xn4 f (xn)故 g(x) g/(x) 故!叫丁巳叫齐严1f(xn)=2 丁二丄 limf(xn) f(0)2n x Qnx -0f/(0)2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数F(x)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。如果f (x)在分段点x0处连续，则F (x)在x = X。处连续，X +1X 兰 1例 9( 1) f(x) =，求f(x)dx2x x >1x2 解：当 x _1 时， f(x)dx 二(x 1)dx

22、x C122当 x 1 时，f(x)dx 二 2xdx = xC23 11因为 f (x)dx在x =1处连续，故1 c2c1，即c2Cic2222x一 + X +c X 兰1所以 f(x)dx 二 22 1XC X 11 2(2) max(1,x2)dx"1一 1兰x兰1解：maX 1, x2) = * x2 x a 12 . X X £ T当 一1 _x 一1 时，max(1,x2)dx = dx = x y2 2x3当 x 1 时，ma"1,x)dx= x dxC23x3 当 x -1 时，ma"1,x )dx = x dxc33求满足F(1) =

23、1的原函数1 2 由于 1 = F =lim F (x)，即 1-1 C1C2 得 0=0，C2 =i3312又由于 F (-1) = lim F (x)，即 TC3 得 C3 :xt332 X3 max(1,x2)dx = < 33x(3)xdx ( x_0)解：分别求出在区间n,n 1 ( n二0,1,2,3)上满足F (0) = 0的原函数在n, n 1上，xdx = nx cn , F (n 1) - F (n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1， F (x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T2 3 n (n 1

24、)(x - n -1) c = (n 1)(x-1) c2八、分段函数的变上限积分cosx例 10( 1)f (x)=!cJI0 二 x 二一2Ttx - 2x求(x o f (t)dt，并讨论(x)在0,二的连续性解：当Xx近时,xxit当 x乞二时,2(x) = ° f(t)dt 二 °costdt =sinxX二兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I . cdt =12(x)在0, ),(，二上连续，在x 处，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 15x2xj xj故(x)在x 处连续2(2)

25、f(x)二解:COSX0 _ x _ 2x，求 °tf (x -t)dt令 X -t =u ,则 °tf (x-t)dt = x 0 f (u)du - ouf (u)du此时此时ji-x 时,2XX0 f (u) du 二 o cosudu 二 sin xXouf (u)du 二 o u cosudu 二 xsin x cosx -1XJf (x t)dt =1 - cosxji时，2x0f(u)duX0uf(u)duX30tf(x-t)dtU-X:!二 72cosudu 亠 I , (u - /du2Xx228JI二 02ucosudu 亠 i ,(u - -)udu&

26、quot;1 1)x 848Tt12n n14482九、积分估值b估计积分.f (x)dx的值a方法：(1)令 y = f (x), x a,b(2) 求y/ = f / (x)，确定f / (x) = 0和f/ (x)不存在的点(3) 在a,b上确定y = f (x)的最值b(4) 利用 m(b - a)" f (x)dx _ M (b - a)估计积分值a2 2例11估计积分值ex心dxs实用文案1令 y/ =0，得 x =21 丄2因为 f (0) = 1 , f( )=e 4 , f =e2，故 e 4 辽 y 乞 e22丄 222所以2e 4 乞 ex dx < 2e

27、20bb十、形如 f (x) = g(x) h(x) f (x)dx 的等式，求 f (x)和f(x)dx aL ab方法：(1)令 f (x)dx 二 AL abbb(2)两端积分 & f(x)dx = A g(x)dx 亠 I Ah(x) dxbb得 A g(x)dx A h(x)dx,求 A的值 aa(3)把A的值代入原式求 f(x)1 2例 12 设 f (x)二 x x2 ° f (x)dx x3 ° f (x)dx，求 f (x)解：令1 2of(x)dx=a,°f(x)dx=b则f (x) = x ax2 bx3两边积分f (x)dx(x a

28、x2 bx3)dx =丄 -00234即8a -3b =6两边积分22238ao f (x)dx(x ax2 bx3)dx = 24b3即8a 3b =62 3x23故 a ，b = 1，即 f (x)二 x - x88十一、已知函数 f (x)在a,b上的形式，求f (x)(2)对(X)两边积分得f (xF(x) c方法：(1)求 f/(x)标准文档实用文案(3)取d a, b，由已知条件求f(d)的值确定c例13( 1 )设0沁 ，求f(x)二2sin2 xarcs in tdt+ o2cos xarccos tdt解：两边求导得f/(x) =XS in 2x XS in 2x =0，所以

29、f (x) =c( c为常数)又因为当x = 0时,1厂f (x) = J0 arccos Jtdt1 t0.1tdt4所以 f(x)=43(2)设 x 0，dt+ xJ n1 t2dt ，求 f(x)解：两边求导得f/(x)二 11 x2 -0，所以f(x) =c( c为常数)12x又因为当x =1时,1 1f(x) =2.,01 t2dt(4标准文档所以f(x)v231 y十二、例 14 已知(dx 亠 I ydx 亠 I y dx 亠 i y dx)ydx = -1，求 x = f (y).1 y解：因为(dx 亠 I ydx 亠 I y2dx 亠 i y3dx) -_ dx 二-1 1

30、 y所以 dx 亠 iydx 亠 iy2dx 亠 i y3dx1 -y1/两边对x求导得1 y y y1 -y41 -y4dx)2故(严dx)2)2 即1 - y1 - y1 -y1 -y1-y4实用文案当1 - V ,人1 - y/4时，令u(x)4,则f(x)二u(x)，此时两边积分得1 - y1 - yu(x)二Cex 而 u(x),即 x - -In(1y y y ) c同理（略）十三、计算 b1、如果I令x -a b2I f1(x)f2(x)dx 二 A- a4 所以 Cexl-V41 - y1 - y23C(1 y y y )b=2(x)dx232例 16.02标准文档例15 I解

31、:(1 xp)(1 x2)dxX = 1,即卩 dx =! dttt2(1 xp)(1X2)dx =1 -V(V)dt 丄) t2)t2所以2I2形如.02-be(1 xp)(1X2)dx-boxp(1 xp)(1 x2)dx 一 :dx :01x22dx1 tan 一 x的积分，令n-x，然后相加处理2005cos x dx2005 丄.2005 cos x s in x实用文案解：令tx，则 dx = -dt2cos20052005门cos X 102005dx = Jx sin x2005COSdt2005 /兀 4、丄2005 兀cos ( t) sin ( t)2 22005丄sin

32、 tcos2005 tsin 2005 1 dtcos2005 xdx 2sin 2005 x2005 丄2005cos x s in xjidx =2故1兀_ 43、形如Asin x Bcosx , dxCsin x D cosx所以-02005 亠2005cos xs inx22I工令 Asin x Bcosx 二 a(Csin x D cosx) b(C sin x D cosx)确定 a, b例 17 (1)3sin x -4cosx , dx sin x 2cosx解：令 3sin x -4cosx 二 a(sin x 2cosx) b(sin x 2cosx)/比较上式两端得丿3即

33、 a1，b22a + b = -43sin x -4cosxsin x 2cosx(sin x 2cosx)/ ,dxdx - 2dxsin x 2cosxsinx 2cosxsinx 2cosx=-x -2 ln | sin x 2cosx | c标准文档(2)sin x3sin x 4cosxdx解：令 sin x 二 a(3sin x 4cosx) b(3sin x 4cosx)/比较上式两端得3" 即a，b 彳冷a+3b=02525实用文案1 x(4)42标准文档sin x3sin x 4cosx,3 3sinx+4cosxdx 二4 (3sin x 4cosx)/dx -2

34、5 3sin x 4cosx 25 3sin x 4cosx 34x In 13sin x 4cosx | c2525dx4、利用公式a sin 2 x bcosdxxsec2 xdta nx处理atan2 x b例182 ndx3sin 2 x 4 cos2 xdx解: 02 3sin2x 4cos2x7122sec x4 3ta nxdV=23n 2 0d V3ta nx/J3tanx1 ()2dta nx彳丄/3tanx、?1 ( )= arctan(“穿乂)临2、323:125、利用竽dx e1 xk1 -k的分母次数降低一次例19x/八 xe ,(1)2 dx(1 x)2解:因为x

35、xe(1 x)2dx1 -kkdx计算，每用一次分部积分法，被积函数xdx-1 x (1 x)dx2 dx (1 x)2exd（亠二xe1 xx xe2 dx (1 x)2-sin x esin 2x , dx4： xsin ()实用文案JI1 -COS( _x)“ 2解: sin4(x)=22 Jsinx)4224_sin xes雪d(s inx) Sin xesi n2x则dx =： 8sin 4(二-x)(1si nx)3 2t t令-sinx = t，则原式=8edt'(1+t)2ttsin x由上式知8丄Ldt生，原式=竺，(1+t)21+t1 -si nx6、当f (x)在

36、_a,a上可积，则a=0 f(x) f (-x)dxa1 af (x)dx f (x) f (-x)dxaa例 20 (1)4dx胃 1 +si nx解：匚1#1 +sin xdx=1.+21 sinx 1 -sinxdx71-4 - sin2 dxx标准文档=24n iit4 三 tan x|4二 4 cos x1-(ex 1)(1x2)dx解:1x厂dxJ(ex 1)(1 x2)7、积分(ex 1)(11 x2)1 12dx T x2o f (x)dx，作变量替换t=b-x得I1 bb= 1.0f(x)dx .0f(b-x)dx+(e1)(1 x2)1 arctanx |2b=0 f (b

37、 -x)dxdx例 21 (1)n xsin2n xsin2n2nx cos-dxx解:xsin2n x2nsin x cos.2n sin x2nIt2*2n2n sin x cos x所以兀xsin2n xdx2n2nsin x cos x(2)ln(1 tan x)dx解:2n7. xsin x0+ 伍-x)sin2n (兀 _x)2n2n2n2nsin x cos x sin (二-x) cos (二.2n sin x2n2nsin x cos xdx 二.2n sin x2n2 sin丄2nx cosdxdx2ncos x2n2nsin x cos xsin 2n x2n2nsin

38、x cos xdxJTcos2n xdx 二sJx Zxdxo4l n(1 tan x)dx4 In(1 tan x) ln(1 tan(；-x)/x1 21In 24 In(1 tan x) In()dx 41n 2dx =2 01 ta nx 2 048、利用被积函数的奇偶性求积分aa如果f (x)是-a,a上的偶函数V .(x)dx = 2 ° f (x)dxa如果f (x)是-a,a上的奇函数，贝y f(x)dx=0-a迟例 22 2-：(x3 sin2 x) cos2 xdx2解：因为函数x3s in2x是奇函数，故.2二x3 cos2 xdx = 0_2JI1 所以 2

39、(x3 sin2x)cosdxxdx= 2sin'xcofxdx 2_ (1 -cos4x)dx一228 27189、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式dx =d(1x2)"1=2 )13 dx - -d()(1x2)°3dx(1 -X2)21八rx"=)(1 -x2)2二 dln( x . 1 x2).xdx = d (J1 + x2)1 x2dx = -d(、1 - x2)1 -x2例23(1)xx(1 lnx)dx解:xln xxln xxed(xl n x) = e c = x c(2)e2x解:sin 2x 2 e sin xe

40、2xdxr sin 2x-2x 2.二 esin xdxsin 2x 2x id (sin 2x 2x)sin 2x 2e sin x ,丄 esin2x/x . c4(3)2x dxx6 32解:xd(x3)3 (x3)233、2*3)3arcta n() c 1310、分段函数的定积分2 -TT ,例 24 (1)1 sin xdx$0解:1 sin xdx = 2 X 小.x x2 x .sin : 2sin cos : cos dx2 2 2 2(2)解:1 1 1。()dx 0 x x令 1 二t,xdx 二xxL 2兀 X 兀0 |sin 2 cos2d 2 0 |sin(2 7)

41、|3 :02 sin(f 4)d ;:sin(l -)dxdx= 2.22-2=4x = 1,t =1 ；则(1 -1)dx0 x xJ( +)dtoOn注意：J 1 =1心k且 lim n = 0 n j： noQ=Z L (f 壬)水=瓦ln(n +1) n Alnn沽1 1= nimln(n o"1 3) n 11 = c Inn ；n，其中c =0.577216称为欧拉常数,n n嘉xi|dxn n解：J |x - i 0xi :n=11i =1n0lx - i |dx . 0(i _ x)dx 亠 i (x _ i)dxn八(i2i =1-in2n3 n6(4)a /0xf

42、 (x)dx解:a .a k 1/a/9xf (x)dx k kf (x)dx aaf (x)dxk=0二af(a 1) af(a) 一 a f (a) 一 f (1) 一 f (2)一 f(a)(5)x cos2 x - cos4 xdx0 解:0 x cofx-cos4xdx1 x | si空 xsin2xdx 2 s02 J02-xs in 2xdx2jijiji+ 884330sgn(x -X )dx解:3 3osgn(x _x )dx 二1dx3-dx = -12(7)0exdx1解：令 ex =t , dx dt,t2二e；当 x=0 时，t = 1所以"【eg半dt6=

43、11k *解:当 sin (In x) 0,得2n 二e 一 ：x ： e '匚，其中 n = 1,2,3,当 sin(ln x) ： 0，得e小"x：e*乞，其中 n =1,2,3,故 osgnsin(ln x)dx 气3二2 二：dx- .e»；dx=(2e：-e2：-1)' e n J-2n 二2e二-e2二-1e2 二-1100 兀；(8)0“ - coxdx实用文案100 兀. l解：0C0S2xd100 二099| sin x |dx = . 2、Jsinxdx令 x_k 注 99 二.=2 v | (-1) sin 11 dtk z00-198

44、.2n -(9) q x|sinx|dxn :n .1解： x | sin x |dx = '?0心k-:k 二：二x | sin x dx' (k：tgntdtkAn -1例25(1)迴*dx2m (2k1) = n 二k=011、利用第二换元法求积分e2(1ex)解:令 arctane2=t，贝y x =21 ntant, dxdtsin t cost2arcta nedxe2(1ex)一 tant (1 tan2t)- dt =2 t cot2 tdt sin t cost=2 t esc2tdt -2 tdt = 21n | sin11 -21 cott - 2t cx

45、xx= x-| n(ex 1)-2e 2 arcta ne2-2 arcta ne2 c11 /(2)绅 |cos(l n- Wpx (n 为自然数)ex解：因为|cos(ln丄)/円泌凹|xx则.：| cos(In 丄)/ 0x 二：2n | sin(ln x) | dxexex令 In x = u，贝U x = eu， dx 二 eudu标准文档实用文案所以1e|cos(l nxpx Ss inupu1e.ncos(ln -)/,nsin u g 二 0 |sint |dt再令U = -t2n 二2nd八 k_ |si ntptk卫=4n令t _k2n-sin vdv -ok卫(3)dxl

46、n(x 1)x1 (x 2)x2 (x 2)(x 1)解:dxln(x1)xd (x 2)x2 (x 2)(x1)inmndxx 2 x 1二 ln(x 1)dln(x 2)皿习dx x + 1In(x 2), dxx 1=ln(x 1)ln(x 2)-=ln(x 1) ln(x 2) c12、被积函数中含有x22(x a )的形式，一般作代换1x 二一 t1例26 x2 dx (1 x )解：令x81(1 x2-dx )1dttt8dt1 t2t7 t5二+ 5丄5x5dx =-,(tt4 t2 -113、杂题1)解：令7_ 17x7-t arcta nt c13x311arcta n cxx二 tant，则 1dx0 1+x2迟=。行 n(1 tan t)dt标准文档1兀°4ln(1tant)dt 4In(1 tant) In(1 tan(： -t)dt(2)xe_2 c°sx-sinxdxsin x解:xe/osxsxdxsin x=2 e 2d ( . sin x)；e7I n2dtJ n二 In 2x刁 cosx e2-sin x2 sin xdxdx - e 2 . sin xdx=2e 2 i si