第7讲习题第一章

1、陈世华陈世华 2011-8-29department of physicssoutheast university第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析课后习题讲解课后习题讲解 1.1 10.5; 21.5, combg xxfbgxbbb 已知线性不变系统的输入为系统的传递函数为三角形函数。若 取：求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。 ,gxg xh xgfg fhf解： 对于线性不变系统，有 两边同时傅立叶变换，根据卷积定理，得 combng fg xffnfhfb 根据已知条件，知， 传递函数 f nfgfg fhffnb因此，函注意数：这里已用到的筛选性质。nnfnb/

2、0nbn b显然，根据根据 函数定义，当，时。 0 0.5nngffnbffbb(1)当时，我们有 111gxgff所以，ff 101 1+11.51.51.5 51. nngffnbffbf(2)当时，我们有 111 1 11 3gffgffx所以，fff 1111.5fff 1113fff21cos 23x 输出函数及其频谱的图形见黑板。1.2111, ,1 sinsin, 11,fx ylwxyccfx yfx yababablwablw 若限带函数的傅立叶变换在长度为 、宽度为的矩形之外恒为零，则（ ）如果，试证明（2）如果，还能得出以上结论吗？, ,222,2xyxyfffllwwf

3、ffx y 解： 设,则根 据题意知，,f：若要证明空域等式成立，可以先证明其频谱是思路否相等。 1sincsinc,rectrect,xyxyxyfx yafbffffabab(1） 显然，左边取傅立叶变换，得f11, ,xyxyffabffwfl矩形函数在上的宽度分别为 和 包含了的取值域，因此1sincsinc,xyxyfx yfffababf1 sincsinc, qed. xyfx yfx yabab两边取逆傅立叶变换，很容易得出1,1xyfffablw（2）显然，当时，矩形函数在之内，故不能得出上述等式成立的结论。 1234,7sinc 7,cos4,cos4rectrect757

4、5,1cos8rect75,combrect12.3 r,iih x yxyfx ygx yfx yxxyfx yxxfx yxfx yxx 对一个线性空间不变系统，脉冲响应为 试用对下面每一个输入求其输出（1） （2）频域分析方 （3。（4法） ） ect 2y ,7sinc 7 7sinc 7rect1rect77,xxyxhfh x yxyffxfy 解： ffff111,cos4, xyxyfx yxgfffx yhff（1） 由于输入函数为则输出函数频谱为 f1111 ,1222 4 cosxyxxygx ygfffffx所以， ff cos41 rectcos41 rect7712

5、2rect27xxxxxyffxxfffffff1222xxyfff矩形函数包含了 两个 函数22,cos4rectrect7575,cos4rectrectrect75757 xxyxyfx yxxyfgffx（2） 同样，当输入函数为时，输出函数频谱为 fcos4rectrectrect75757xxyfxff212275 sinc 75sinc 75rect27xxxyxyffffff275sinc 752sinc 752sinc 75rect27xxxyffff1sinc 752275rect7xxff中心位于，宽度只有，故认为包含在内，因此，我们可以由于近似地得出275sinc 75

6、2sinc 752sinc 752xxyfff221,cos4rectrect7575xyxygx ygffx所以， fcos4rectrect7575xyxf 3,1cos8rect1 rect7571cos8rect1 rect75714475sinc 75rect27xxyxxxxxxyxfgffxxfxffffffffff3,1cos8rect75 xfx yx（3） 对于输入函数，其输出频谱为1175 sinc 75sinc 754sinc 75422 rect7xxxxyfffff75 sinc 75rect7xxyfff75 sinc 75rect75xyxfff331g,rec

7、t75xyxx ygff所以，f 44,combrect 2rect 2,combrect 2rect 2rect7combrect 2rect 2rect71combsincsincrect421 27xxyxyxyxxfx yxxyfgffxxyfxxyfffff（4） 对于，有fff1sincsincrect4227yxxxnyffffnf1sincrect427nyxxfnffn01sincsinc1142223sinc22sinc3322 yxxxxxxxffffffff22113343yxxxxxffffff144g,1441cos2cos643111 cos2 cos643 xy

8、x ygffxxxx所以，f 1combrect,3350rec1.4 t2rectrect42ixxgxxfhfffhf 给定一个线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波 对下述传递函数利用图解法确定系统的输出。（1） （2） 1comb rect33501 rect335 0inxxgxxxxnx：先化简一何为下输分析（）入函三角？数： 波 33rect50nnxnx 883nxnx 883nxnx883nxn（有限延伸的三角波用图形表示如下：共含17个,三角形） 888882833 sincexp23innngfxnxnfjf n故输入频谱为（利用到位移定理）ff 828sincexp2

9、3nfjf n 821sinc1+2cos 6nffn，输出频谱等于输入频谱与传递函数的乘积，然后做逆傅立叶变换，即可以求出输常规上出函数。有限延伸三角波的输入频谱如下： rect2fhf(1) 当时，仅的频蓝色框内谱通过。 rectrect42ffhf绿色框(2) 当时，仅的内频谱通过。尽管输入频谱经过滤后，依然很复杂（），但主要谱峰还是很突出的。因此，我们可以近似求有许多解输精细结构出函数。 1combrect33501 combrect3350ixxgfxxxx：入频谱解输为ffff 222 comb 350sinc 50sinc 350sinc 50sinc50 sinc 50sinc

10、33nnffffnffnfff 22250sinc 50sinc3350 sinc 50sinc3350 sinc 50sinc33innnngffffnffnff 2222rect250sinc 50sincrect33250 sinc 50sinc353ooinnnfhfgfnfgfgf hfffnff(1) 当时，输出频谱为 (有 个峰) 222121sinc 50-,-,0,350331 2, 3 350sinc 50sinc333nonnffnngff由于函数的宽度只有中心位于因此可以近似把它看作 函数。，2250222 sincsinc 50sinc 5033335011150si

11、ncsinc 50sinc 50sinc 5033333fffff22 22522 sinc 50sinc 508332251150sinc 50sinc 50sinc 502333 fffff2222944 rectexpexp1650339221rectexpexprect4503335094921 rectcoscos508 3233 xjxjxxxjxjxxxx 12121122522sinc 50sinc 508332251150sinc 50sinc 50sinc 50233 3ooogxgxgffffff对上式做逆傅立叶变换，可以求出输出函 数，即ffff 421rect0.11

12、4cos0.456cos50333oxgxxx或 525222rectrect4250sinc 50sinc33350 sinc 50sinc3323onoinnnffhfgfnngfgf hffnnf(2) 同理，当时，输出频谱为 (两边各有 个峰)22 50555 sincsinc 50sinc 50333350444sincsinc 50sinc 503333ffff 222212510248 rectsinccossinccos5033333391098 rectcoscos50503323ooogxgxgfxxxxxx故最终的输出函数为 f 108rect0.018cos0.028c

13、os5033oxgxxx或 2,sinc1.5h x yaax若对二维函数抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。2,sinc0h x yaaxa解：只要确定被抽样函数的频谱宽度，即可知道最大的抽样间隔。显然，二维函数 的频谱为：2,sinc1xyxyhffaaxffa f,22 , 200 xxyyfa fbab可以看出，被抽样函数在 方向上的频半宽为方向上的频半宽为 ，即全宽为 。maxmax111 ,222xyxybab 奈奎斯特抽因此最大的抽样间样间隔 隔（即）为 抽样方法见课本，这里略。 ,combcombrectre1 6t.c, sxyxygx yg x yabxyabg x y若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即试说明，即使采用奈奎斯特间隔抽样，也不能用一个理想的低通滤波器精确恢复。,combcombrectrect ,rectrect ,snmnmxyxygx yg x yxyabxyg x yabxyg x yxynmxyxxn yym 解：在空域中化简抽样函数：rectrectxyab,rectrect,nmxnymxyg x yxxn yymab , 22abnmxy显然，根据矩形函数的性质，当时，上式等于零。,22,nmsnn mmabnmxygx yxyg x