药学高数21(应用)

1、一、微元法一、微元法 二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用 第四节第四节 定积分的应用定积分的应用三、定积分在物理学上应用三、定积分在物理学上应用 四、定积分在其他方面的应用四、定积分在其他方面的应用 回忆回忆 曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法一、微元法一、微元法 (1) 分割分割(2) 近似近似(3) 求和求和(4) 取极限取极限iinixfs )(lim10 badxxf)(ox y y=f (x) a biixx ix分析分析 dxxfa)(lim.)( badxxfda面积元素面积元素ox y y=f (x) a bdxx x 若用若用a 表示任一小区间表示任一小区

2、间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，则上的窄曲边梯形的面积，则 aa，并取，并取dxxfa)( dxxfa)( 于是于是一般解决实际问题的基本步骤一般解决实际问题的基本步骤(1) 确定积分变量确定积分变量 x 及其变化范围及其变化范围 a, b. (2) 确定被积表达式确定被积表达式. 在在 a, b 的任一小区间的任一小区间 x, x+dx 上以上以“不变代变不变代变”, 求出所求量求出所求量 q 的微的微元元( )qf x dx (3) 求定积分求定积分 ( )bbaaqdqf x dx用定积分解决实际问题的方法称为用定积分解决实际问题的方法称为微元法或元微元法或元素法素法(element

3、method).xdxx 1. 直角坐标系下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积 由由 、 和直线和直线 、 所围成的平面图形所围成的平面图形.( )y f x( )( ( )( )yg x f xg xax )(babxxyoab()y fx( )y gx二、定积分在几何学中的应用二、定积分在几何学中的应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积 微元法微元法: 在在 a, b 内任取一小区间内任取一小区间 x, x+dx , 相相应的窄条面积为应的窄条面积为 (以直代曲以直代曲) 故微元故微元 ( ( )( )f xg x dx ( )( )daf xg x dx ( )( )baaf

4、 xg x dx因此因此同理同理, 由曲线由曲线 、 与直线与直线 、 所围成的平面图形所围成的平面图形的面积为的面积为( )xy( )( ( )( )xyyycy )(dcdy( )xyxyocd( )xyydyy ( )( )dcayy dy解：解方程解：解方程21yxyx122011321011lnln233sx dxdxxxx 例例4-13 求由抛物线求由抛物线 和和 ，直线，直线 x=2 及及 x 轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积.1yx2xy 得交点得交点: x=1解解 解方程组解方程组得两曲线的交点得两曲线的交点 422xyxy 例例4-14 求抛物线求抛物线 和直线和直

5、线 所所围成的图形的面积围成的图形的面积. xy224 xy),(48),(22 12aaa选选 为积分变量为积分变量x解法一解法一1a2a2802 2(2 ) 2(4)axx dxxxdx 280222 24xdxxxdx2338222204 22 21(4 )332xxxx163818331a2a选选 为积分变量为积分变量y42224dyyya)(解法二解法二246142132yyy18例例4-15 求椭圆求椭圆 的面积的面积 .a12222byax 解解 由椭圆的对称性由椭圆的对称性, 所求面所求面积等于第一象限面积的积等于第一象限面积的 4 倍倍.面积元素面积元素dxxaabds22d

6、xxaabsa0224taxsintdttabcossin20214dttab2024cosabttab024224)sin(b-ba-aox y22byaxaxdxx tbytaxsincos椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：00244sin( cos )asydxbtd ata xyb22200201 cos24sin42sin24()24tabtdtabdtttabab一般地，曲边梯形的曲边一般地，曲边梯形的曲边 f(x) 由由参数方程参数方程 给出给出, 如果如果 x= (x) 适合适合 ( ) = a , ( ) =b , (x) 在在 , 上具有连续导数上具有连续导数，y= (t)

7、连续，连续，则该曲边梯形的面积：则该曲边梯形的面积：( )()( )xttyt ( )( ) ( )baaf x dxtt dt2.极坐标系下平面图形的面积 当曲线由极坐标方程当曲线由极坐标方程 r =r( ) 表示时，表示时，求由该曲线与向径求由该曲线与向径 = , = ( ) 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。在在 , 内任取一个区间内任取一个区间 , +d , 曲边扇形曲边扇形的面积用圆弧扇形的面积近似。的面积用圆弧扇形的面积近似。 ada=1/2 r( )2d 21( )2ard d xo( )rr若曲线由若曲线由 r1=r1( ) ，r2=r2( ) r1( )r2( )和和向

8、径向径 = , = ( ) 所围成所围成, 则面积则面积22211( )( )2arrdr2()r1()若若 由由 0 变到变到 2 ， 则则2201( )2ard若曲线过极点，则若曲线过极点，则21( )2ardxa2ottadcos82042例例4-16：计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02a02ad2cos44(利用对称性利用对称性)2t令28a43212223a心形线心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)xyao2222yxaxayx即即)cos1 ( ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画

9、开始或暂停 尖点尖点:)0,0( 面积面积:223 a参数的几何意义参数的几何意义 弧长弧长:a8( (二二) ) 立体的体积1. 已知平行截面面积的几何体的体积 用平面用平面 x=a, x=b 截曲面得到截曲面得到一个几何体一个几何体. 若此几何体与垂若此几何体与垂直于直于 x 轴的平面相截轴的平面相截, 其截面其截面面积为面积为 x 的连续函数的连续函数 a(x) (axb)( )bava x dx把薄片看成直柱体把薄片看成直柱体, 则则 vdv=a(x)dx例例4-174-17 一平面经过一平面经过半径为半径为 r 的圆柱体的底圆直径的圆柱体的底圆直径, 且且与底面交角为与底面交角为 .

10、 求这平面截圆柱体所得立体的体积求这平面截圆柱体所得立体的体积解: 取这平面与圆柱体的底面的交取这平面与圆柱体的底面的交线为线为 x 轴轴, 立体中过任一点立体中过任一点 x 且且垂直于垂直于x 轴的轴的截面为直角三角形截面为直角三角形.yx222331( )()tan2112tan()tan233rrrrrrva x dxrxdxr xxr22211( )tan221()tan2a xyhyrx若以若以 y 为积分变量为积分变量, 则垂直于则垂直于 y 轴的平面与圆轴的平面与圆柱楔的截面为一矩形柱楔的截面为一矩形, 其面积为其面积为:2200322320( )2tan22tan ()tan3

11、3rrrva y dyy ry dyryr22a( )2tan2tanyxyyry xy 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体的体积旋转体的体积 如如:曲线曲线 y=f(x), 直线直线 x=a, x=b,(ab), y=0 围成的图围成的图形绕形绕 x 轴旋转而成立体轴旋转而成立体.在在 a, b 内任取内任取 x, x+dx, 过点过点 x 及及 x+dx 并垂直并垂直于于 x 轴的两个平面截得旋转体上一个小薄片轴的两个平面截得旋转体上一

12、个小薄片, 近近似看成为圆柱体似看成为圆柱体, 则体积微元为则体积微元为: dv= y2dx= f 2(x)dx22( )bboxaavy dxfx dxxyy=f(x)ab 由曲线由曲线 x=g(y), y=c, y=d (cd) 与与 y 轴所围成的平轴所围成的平面图形绕面图形绕 y 轴旋转一周所轴旋转一周所得立体的体积得立体的体积22( )ddoyccvx dygy dyyxcdx=g(y) 例例4-18 求由椭圆求由椭圆 绕绕 轴旋转而成的轴旋转而成的椭球体的体积椭球体的体积.x12222byax解解 将椭圆方程化为将椭圆方程化为)1(2222axby 由公式由公式得出所求的体积为得出

13、所求的体积为dxyba 2 dxaxbvaa )1(222 dxxaaba 02222)(2 23222340)3(2abaxxaab b-ba-aox y221axby 例例4-19 求由曲线求由曲线 与直线与直线 、 轴围成的轴围成的图形绕图形绕 轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积.3yx2x xy820(4)vx dy解解 由公式由公式820 x dy得出所求的体积为得出所求的体积为8230(4)ydy538364(4)055yy例: 求抛物线求抛物线 y2=2px 与与 x2=2py 所围的平面图形所围的平面图形绕绕 x 轴旋转一周而成的旋体的体积轴旋转一周而成的旋体的体积解解: 解方程组解方程组 得交点得交点 (0, 0), (2p, 2p).(2p,2p)22