《椭圆的几何性质》ppt课件

1、复习：1.椭圆的定义:在同一平面内，到两定点F1、F2的间隔和为常数大于|F1F2 |的点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的规范方程是：22221(0)xyabab22221(0)yxabab3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由12222byax即即byax和阐明：椭圆位于矩形之阐明：椭圆位于矩形之中。中。112222byax和二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性)0(12222babyax在在之中，把之中，把-换成换成-，方程不，方程不变，阐明：变，阐明：椭圆关于椭圆关于-轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于-轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于-点对称；点对称

2、；故，坐标轴是椭圆的对称轴，故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心原点是椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心 oxy三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，阐明椭圆与？，阐明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？阐明椭圆与？阐明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。 oxyB2(0,b)B1(0,-b)A1A2*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭

3、圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：1e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就就越小，椭圆就越扁越扁由于由于 a c 0，所以，所以1 e 02离心率对椭圆外形的影响：离心率对椭圆外形的影响：2e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，椭圆就就越大，椭圆就越圆越圆3特例

4、：特例：e =0，那么，那么 a = b，那么，那么 c=0，两个焦点重，两个焦点重合，椭圆方程变为？合，椭圆方程变为？标准方程图 象范 围对 称 性顶点坐标焦点坐标半 轴 长焦 距a,b,c关系离 心 率22221(0)xyabab22221(0)yxabab|x| a,|y| b|x| b,|y| a关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。轴成轴对称；关于原点成中心对称。 a ,0 ,(0, b) b ,0 ,(0, a)( c,0)(0, c)长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.焦距为焦距为2c;a2=b2+c2cea例1知椭圆方程为16x2+25y2=400,并

5、用描点法画出它的图形 它的长轴长是： 。短轴长是： 。焦距是： 。 离心率等于： 。焦点坐标是： 。顶点坐标是： _。 外切矩形的面积等于： 。 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80例例2 2过适宜以下条件的椭圆的规范方程：过适宜以下条件的椭圆的规范方程：1 1经过点经过点 、 ；2 2长轴长等于长轴长等于 , ,离心率等于离心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :1 1由题意，由题意， , ,又又长轴在长轴在轴上，所以，椭圆的规范方程为轴上，所以，椭圆的规范方程为 3a 2b x22194xy2 2由知，由知， ， ， ， ，所以椭圆的规范方程为所以椭圆的规

6、范方程为 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx例例3.3.知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P3 3，0 0，求椭圆的方程。求椭圆的方程。答案：答案：2219xy22198 1xy分类讨论的数学思想分类讨论的数学思想22121222211,75 ,45 ,.xyPF FPFFabPF Fe例4: 为椭圆上一点,为焦点,求 的范围22121222211,cos2,.cos2xyPF FPFFabPF Fe推广: 为椭圆上一点,为焦点

7、,求证课堂练习：课堂练习： 3:2():()3:2acac2311ee625e1知椭圆的一个焦点将长轴分为 两段，求其离心率解：由题意，,即解得 22221(0)xyabab22222a btab22224a bab F E D C B A B 2 B 1 A 2 A 1 x O y2如图，求椭圆 内接正方形ABCD的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设Bt,t)代入椭圆方程求得即正方形ABCD面积为练习3： 知椭圆的方程为x2+a2y2=a2 (a0且 )1a 它的长轴长是：它的长轴长是： ;短轴长是：短轴长是： ;焦距

8、是：焦距是： ; 离心率等于离心率等于: ;焦点坐标是：焦点坐标是： ;顶点坐标是：顶点坐标是： ; 外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于： ; 当当a1时：时： 。 。 。 。 。 。 。当0a1时小结：根本元素小结：根本元素 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A21根本量：根本量：a、b、c、e共四个量共四个量2根本点：顶点、焦点、中心共七个点根本点：顶点、焦点、中心共七个点3根本线：对称轴共两条线根本线：对称轴共两条线请思索：根本量之间、请思索：根本量之间、根本点之间、根本线根本点之间、根本线之间以及它们相互之之间以及它们相互之间的关系位置、数间的关系位置、数量之间的关系量之间的

9、关系课后作业：课后作业：P43 3、4、5 与与齐名的齐名的 公元前三世纪产生了具有完好体系的欧几里得的。半个世纪以后，古希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著8卷以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的一切研讨圆锥曲线的著作中，没有一本到达象那样对圆锥曲线研讨得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创建的。自从有了解析几何，圆锥曲线的研讨才开辟了新的纪元。小知识小知识1.2.1椭圆的简单几何性质(二) 椭圆的第二定义标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的的关系关系22221(0)xy

10、abab|x| a,|y| b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a,a,短短半轴长为半轴长为b. abb. abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前复习复习例例1：点：点P与定点与定点F2，0的间隔和它到定直线的间隔和它到定直线x=8的间隔的比为的间隔的比为1/2，求点，求点P的轨迹方程，并阐的轨迹方程

11、，并阐明轨迹是什么图形。明轨迹是什么图形。辨析辨析直接法：直接法：设动点设动点Px,y，那么，那么化简得：化简得：所以动点所以动点P的轨迹方程为：的轨迹方程为：轨迹轨迹 为椭圆为椭圆22(2)1|8|2xyx2211612xy2211612xy推行、点推行、点Mx,y与定点与定点Fc,0的间隔与它到定直的间隔与它到定直线线l：x=a2/c的间隔的比是的间隔的比是常数常数c/aac0，求点，求点M的轨迹。的轨迹。(椭圆的第二定义椭圆的第二定义)22221(0)xyabab设设P(x0,y0)是椭圆是椭圆 上的一上的一点点,F1(c,0), F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点分别是椭圆的左焦

12、点、右焦点,我我们把线段们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径焦半径.22221(0)xyabab 2100|()aPFe xexac 1120|()PFPFeeaPMxc 2100|2|2()PFaPFaexaaex 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为左加右减，即在左加右减，即在a与与ex0之间，之间，假设是左焦半径那么用加号假设是左焦半径那么用加号“+衔接，假设是右焦半径用衔接，假设是右焦半径用“号衔接号衔接练习、椭圆上恣意一点与焦点所在的线段叫做这练习、椭圆上恣意一点与焦点所在的线段叫做这点的焦半径，设椭圆点的焦半径，设椭圆b2x2+a

13、2y2=a2b2(ab0)上三上三点点P1、P2、P3，F1、F2为左右焦点，求证：假设为左右焦点，求证：假设P1、P2、P3三点的横坐标成等差数列，那么对应三点的横坐标成等差数列，那么对应三点的焦半径也成等差数列。三点的焦半径也成等差数列。例例2、知点、知点A1，2在椭圆在椭圆3x2+4y2=48内，内，F2,0是焦点，在椭圆上求一点是焦点，在椭圆上求一点P，使，使|PA|+2|PF|最小，求最小，求P点的坐标及最小值。点的坐标及最小值。PFPF变式:(1)求 PA的最大值及点P的坐标.(2)求 PA的最值.max4:(6,2),27.3PPAPF解max32 12 5 1224 5(1)(

14、)5, (,)191932 12 5 1224 5(,).1919PFAFPP解:PA或(2)813813PFPA1、假设椭圆的长轴长为、假设椭圆的长轴长为200,短轴长为短轴长为160,那么椭那么椭圆上点到焦点间隔范围是圆上点到焦点间隔范围是A、40,160B、0,100C、40,100D、80,1002、P是椭圆是椭圆 上点上点,F1、F2是两焦点是两焦点,那那么么|PF1|PF2|的最大值与最小值的差是的最大值与最小值的差是 。22143xy练习练习3、椭圆、椭圆 的离心率为的离心率为A、1/25B、1/5C、1/10D、无法确定、无法确定4、椭圆长轴长为、椭圆长轴长为10,短轴长为短轴

15、长为8,那么椭圆上点到椭那么椭圆上点到椭圆中心间隔的取值范围是圆中心间隔的取值范围是A、8,10B、4,5C、6,10D、2,822|348|(2)(2)25xyxy目的目的1、进一步了解和掌握椭圆的第一定义、第二定、进一步了解和掌握椭圆的第一定义、第二定义及其运用。义及其运用。2、能利用椭圆的几何性质处理问题。、能利用椭圆的几何性质处理问题。椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质( (三三) )-直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法) 经过解直线方程与椭圆方程组

16、成的方程组，对解的个数进经过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进展讨论通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变展讨论通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程量的一元二次方程 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只需一个公共点；有且只需一个公共点； (3)0)的参数方程的参数方程:2.圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程的参数方程:其中参数的几何意义为其中参数的几何意义为:猜测猜测椭圆椭圆 的参数方程为的参数方程为:22221(0)xyababcos()sinxryr为参数cos()

17、sinxarybr为参数为旋转角为旋转角参数方程的本质参数方程的本质: :三角换元三角换元例题例题例例1.如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a,bab0为半径为半径作两个圆作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作ANOx,垂足为垂足为N,过点过点B作作BM AN,垂足为垂足为M,求求当半径当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.xOyAMNBcos()sinxayb为参数此即为椭圆的参此即为椭圆的参数方程数方程,其中的几何其中的几何意义为意义为离心角离心角.xOyAMNB阐明阐明1.离心角离心角xOA与旋转角

18、与旋转角xOM的区别的区别;2.由图形可知由图形可知:椭圆上到中心间隔最远的点椭圆上到中心间隔最远的点为两长轴端点为两长轴端点,最长间隔为了最长间隔为了a; 最近的点为最近的点为短轴两端点短轴两端点,最短间隔为最短间隔为b.圆和椭圆的参数方程的比较圆和椭圆的参数方程的比较名称方程参数的意义圆椭圆(a,b)为圆心为圆心,r为半径为半径cos()sinxa ryb r 为参数cos()sinxayb为参数a为长半轴长为长半轴长,b为短为短半轴长半轴长; 为离心角为离心角练习练习把以下参数方程化为普通方程把以下参数方程化为普通方程,普通方程化为参普通方程化为参数方程数方程.3cos(1)()4sin

19、xy为参数22(2)1259xy22416(3)1259xy例例2.P(x,y)为椭圆为椭圆 上恣意一点上恣意一点,(1)求求x+y的取值范围的取值范围;(2)求求x2+y2的最值的最值.3求求 的取值范围的取值范围221916xy52yx:(1)5,5解2222maxm(2)16,7;imxyxy51455145(3)22.2525yyxx 或例例3.在椭圆在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P,使使P到直线到直线l:x-y+4=0的间隔最小的间隔最小,并求出最小值并求出最小值思索思索:假设四边形假设四边形ACBD内接于椭圆内接于椭圆 ,且且A点横坐标为点横坐标为5,B点纵坐标为点纵坐标为

20、4,求四边形求四边形ACBD的最大的最大面积面积.2212516xy例例4.知椭圆知椭圆 ,点点B(0,b),点点P是椭圆上是椭圆上动点动点,求求|PB|的最大值的最大值.22221(0)xyabab思索思索:知点知点M(1,0),动点动点P在椭圆在椭圆x2/25+y2/9=1上上,求求|PM|的最大值与最小值的最大值与最小值?当当M(m,0)时时,|PM|的的最值又如何最值又如何?(此时需分类讨论此时需分类讨论)小结小结(1)椭圆的参数方程及椭圆的参数方程及a,b,的几何意义的几何意义.(2)椭圆的参数方程的运用椭圆的参数方程的运用.作业作业1.在椭圆在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P

21、,使使P到直线到直线l:x-y+4=0的间隔最大的间隔最大,并求出最大值并求出最大值2.求椭圆求椭圆 内接矩形面积的最大值内接矩形面积的最大值.22221(0)xyabab目的目的1、了解椭圆的参数方程、了解椭圆的参数方程,了解参数方程中了解参数方程中系数系数a、b和参数和参数的几何意义的几何意义;2、会用椭圆参数方程处理有关问题、会用椭圆参数方程处理有关问题.椭圆的简单的几何性质椭圆的简单的几何性质第五课时习题课例例1.如图如图,F1、F2是椭圆是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的左、右焦点的左、右焦点,当离当离心率在什么范围内取值时心率在什么范围内取值时,椭圆上总有点椭圆上总有点

22、P使使PF1PF2.PxyOF1F22212222222222222222:1(0)(1),( , ),(2)(2),(1)(2)20,012,12xyabPFPFP x yabacaxycxccaxace 解,设由得又01221121212121200:,90 ,sinsinsin90sinsinsin9012,122sin()cos()22PFFPF FFPFPFPFFFPFPFFFceea 解2 设由正弦定理得0121200222:9090 ,90 .122,12FPFPFFPcbce 2解3 由于满足的动点 的轨迹是以为直径的圆.圆内的点与直径的张角大于圆外的点与直径的张角小于所以满足

23、条件的点在圆内或圆上. bc,e变题变题1.椭圆椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)与与x轴正方向轴正方向交于点交于点A,假设在此椭圆上总存在点假设在此椭圆上总存在点P,使使OPPA,求椭圆离心率的范围求椭圆离心率的范围.3222222:0,2,1 .2axa xaabxxaxacababcec22222解点P横坐标满足的方程为(-b )b解得又且点P与点A不能重合,即则变题变题2.过椭圆过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的右焦点的右焦点F作作x轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交椭圆于点A、B,假设假设 , 求椭圆离心率求椭圆离心率.0OA OB 222,51,.2bA Fcaaca ce 解:O AO B = 0 , 得O F即解得例题例题2.椭圆椭圆 的焦点为的焦点为F1,F2,点点P为其上的为其上的动点动点,当当F1PF2为钝角时为钝角时,求点求点P横坐标的取值范围横坐标的取值范围.221164xy22212422220,24 64 60,33FPFacxxce