第三章-向量与线性方程组补充习题答案

1、精品资料欢迎下载第三章向量与线性方程组补充习题答案1设有三维列向量111011, 2 1, 31,1112问取何值时，（ 1） 可由 1, 2 , 3 线性表示，且表达式惟一；（ 2） 可由 1, 2 , 3 线性表示，且表达式不惟一；（ 3） 不能由 1 , 2, 3 线性表示【解】 设 x11x22x33，得线性方程组111x10111x2，111x32其系数行列式111A1112 (3) 111（1）若0且3 ，则方程组有惟一解，可由1, 2 , 3 惟一地线性表示（2）若=0 ，则方程组有无穷多个解，可由1, 2,3 线性表示，但表达式不惟一（3）若=-3，则方程组的增广矩阵21100

2、3-318A121303312112911290006033121129可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而不能由1, 2,3线性表示精品资料欢迎下载2设向量组1(a,2,10)T ，2( 2,1,5)T ，3( 1,1,4) T ,(1, b, c)T . 试问：当 a,b,c 满足什么条件时，（ 1） 可由 1 , 2 , 3 线性表出，且表示唯一？（2）不能由1,2, 3 线性表出？（ 3） 可由 1 , 2 , 3 线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。【解】 设有一组数 x1 , x2 , x3 ，使得x1 1x22x33，ax12x2x31即2x1x2

3、x3b10 x15x24x3ca21该方程组的系数行列式A211a 4.1054（ 1）当 a4 时，行列式A0，方程组有唯一解，可由1, 2 , 3 线性表出，且表示唯一；（ 2）当 a= 4 时，对增广矩阵作行初等变换，有4211210b1A211b0012b11054c0003b c 1若 3b-c1，则秩 r(A)秩 r( A ),方程组无解，不能由1, 2 , 3 线性表出；（ 3）当 a=-4且 3b-c=1时，秩r(A)= 秩 r( A )=2<3 ，方程组有无穷多组解，可由1 ,2 ,3 线性表出，但表示唯一。解方程组，得x1C ， x22Cb1， x32b1 （C 为任

4、意常数） 。因此有C 1(2Cb1)2(2b1)3 .3设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t).（ 1）问当 t 为何值时，向量组1 ,2 ,3 线性无关？精品资料欢迎下载（ 2）问当 t 为何值时，向量组1 ,2 ,3 线性相关？（ 3）当 1, 2,3 线性相关时，将3 表示为1 和2 的线性组合 .111【解】 因为 1,2,3 123t5 ，13t故当 t5时，向量组1,2 ,3 线性无关； 当 t=5 时，向量组1, 2 , 3 线性相关。当 t=5时，令3x11x2 2 ，得方程组x1x21,x12x23,解得 x11, x22.x13x25,故3122 .4设向量

5、1,2 ,t 是齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系，向量不是方程组Ax=0 的解，即 A0 试证明：向量组,1 ,2 , ,t 线性无关【解】 设有一组数 k, k1 , k2 , kt ，使得t即tt，kkii0,kkikiii1i 1i1上式两边同时左乘矩阵A, 有ttkkiAkiA i0 i1i1因为 A0 ，故tkki=0，i1t从而，由式得i1kii=0，由于向量组1 ,t 是基础解系，所以k1k2kt0 因而，由式得k=0精品资料欢迎下载因此，向量组,1,t 线性无关5 设向量组1 ,2 , 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)12 ,23 ,31 (B)12 ,23

6、 ,1223 (C)122 ,2233 ,331 (D)123 , 2132223,3152 53【】【解】(A):(B) :1223310,122312230,可见（ A）、（ B）中向量线性相关， （ C）、（ D）不能直接观察得出，对于（C），令k112 2k2 2 23 3k3 3 310,即k1k312k1 2k223k2 3k330 ，由于1, 2 , 3 线性无关，故k1k30,2k12k20,3k23k30.101因上述齐次线性方程组的系数行列式220120，故方程组有惟一零解，即033k1 k2k3 0，故（ C）中向量组线性无关，应选（C）6设 1, 2,s 均为 n 维列

7、向量， A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是(A)若 1 ,2 ,s线性相关，则A1, A2 , A s 线性相关 .(B)若 1 ,2 ,s线性相关，则A1, A2 , A s 线性无关 .(C)若1,2 ,s线性无关，则A1, A2 , As 线性相关 .(D) 若 1, 2,s 线性无关，则 A 1, A2 , As 线性无关 .【】【解】记B(1 ,2 , , s ) ，则 ( A1,A 2, As ) AB .精品资料欢迎下载所以，若向量组1,2,s 线性相关，则r (B)s ，从而 r ( AB)r (B)s ，向量组A1 , A2 , As 也线性相关，故应选().7. 设41a

8、,1,1,1T2,2 a,2,2T,T维向量组1,233,3,3 a,3 ,4,4,4,4aT1,2 ,3 ,4 线性相关 ?当1 ,2 ,3,4 线性相关时 ,4，问 a 为何值时求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【解】记以1,2 ,3 ,4 为列向量的矩阵为A ，则1a234A12a334(10a)a3 .12a41234a于是当 A0,即 a0或 a10 时，1,2 ,3 ,4 线性相关 .当 a0时，显然1是一个极大线性无关组，且221,331,441 ；当 a10 时，12349234A1834，12741236923由于此时 A 有三阶非零行列式183

9、400 0，所以1, 2 , 3 为极大线性无127关组，且 12340，即4123 .8 设齐次线性方程组x1x2x30,x1x2x30, 只有零解，则应满足的条件是.x1x2x30,【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0 只有零解的充分必要条件是A0.而精品资料欢迎下载1111(1) 2 ，所以应有1.1119 k 为何值时，线性方程组x1x2kx34x1kx2x3k 2 ，x1x22x34有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解【解】用初等行变换化增广矩阵为阶梯形11k411k4A1 k 1k 20 2k 28112401k(4k)4)02k(k当 k 1和

10、 4时，有100k 22k11k41kA0 1k 240 1 0k 22k 4 21k0012k0012k1 k1k这时方程组有惟一解：x1k 22k , x2k 22k 4 , x212k 1k1kk当 k=1 时， r ( A)2r ( A)3 ，方程组无解当 k=4 时，有11441030A01140114，00000000r ( A)r ( A)2n3 ,故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为：x13x3,x2x34.令 x3c ，得方程组的全部解：精品资料欢迎下载3c03x 4 c 或 x4c 1，其中 c 为任意常数c0110 设线性方程组x12x13x12x2x2x22x3x3

11、x30,0,0,的系数矩阵为A，三阶矩阵BO ，且ABO 试求的值【解】令B(b1 ,b2 , b3 ) ，则由题设ABA(b1, b2 ,b3 )(Ab1, Ab2 , Ab3)O ，即Abj0( j1,2,3) 又 BO ，所以b1 ,b2 , b3 不全为零，说明齐次线性方程组Ax=0 有非零解，所以必有秩(A)<3 ，从而A =0，即122210311解得1 11.设 A 是 mn 矩阵， Ax0 是非齐次线性方程组Axb 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(A) 若 Ax 0 仅有零解，则 Ax b 有唯一解(B) 若 Ax 0 有非零解，则 Ax b 有无穷多个解(C

12、) 若 Ax b 有无穷多个解，则 Ax 0 仅有零解(D) 若 Axb 有无穷多个解，则 Ax0 有非零解【】【解】由解的判定定理知，对Axb ，若有秩 ( A)秩 ( A) r ，则 Axb 一定有解进一步，若 r=n ，则 Ax b 有唯一解；若 r<n ，则 Axb 有无穷多解而对 Ax0 一定有解，且设秩(A)=r ，则若 r=n ，Ax0 仅有零解；若r<n ， Ax0 有非零解因此，若 Axb 有无穷多解， 则必有秩 ( A)秩(A)r <n，从而秩 (A)=r<n， Ax 0有非零解，所以 (D) 成立但反过来，若秩 (A)=r=n( 或 <n)

13、，并不能推导出秩 (A)= 秩 ( A) ，所以 Ax b 可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解12非齐次线性方程组 Ax b 中未知量个数为n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r ，则精品资料欢迎下载(A) r=m 时，方程组(B) r=n 时，方程组(C) m=n 时，方程组(D) r<n 时，方程组Axb 有解Axb 有唯一解Axb 有唯一解Axb 有无穷多解【】【解】Axb 有解的充要条件是：rAr A b 题设A 为 mn 矩阵，若rA m ，相当于 A 的 m个行向量现行无关，因此添加一个分量后得A b 的 m个行向量仍线性无关，即有rA rA b ，所以 Axb 有解故（ A）成立对于（ B）、（C）、（ D）均不能保证 rArA b，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解13设1 ,2 ,3 是四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解向量，且秩r(A)=3 ，1(1,2,3,4)T ，23(0,1,2,3)T ， C表示任意常数，则线性方程组AX=b 的通解 X=1110(