交大硕士研究生必修基础数学数值分析-插值与拟合方法

1、5 章 插值与拟合方法插值与拟合方法 是用有限个函数值f(xi),(i 0,1, ,n)去推断或表示函数f(x)的方法，它在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。 对应的方法有lagrange插值 ， newton 插值 ， hermite 插值 ， 分段多项式插值和 线性最小二乘拟合。1实际案例2问题的描述与基本概念先获得函数(已知或未知)y f(x)在有 限个点x0,xl, xn上的值xx0xi .xnyvoy1vn由表中数据构造一个函数p(x)作为f (x)的近似函数，去参与有关 f (x)的运算。科学计算中，解决不

2、易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。1)插值问题的描述已知函数y f(x)在a,b上的n+1个互 异点""1，xn处的函数值v ”3,求f (x) 的一个近似函数 p (x),满足p(x)f(x) (i 0,1, ,n)(5.1)p (x)称为f (x)的一个插值函数；f (x)称为被插函数；点xi为插值节点；p(x) f(x) (i 0，1,，n)称为插值条件；r(x) f x p(x)称为插值余项。当插值函数p (x)是多项式时称为代数 插值(或多项式插值)。一个代数插值函数p (x)可写为p(x)pm(x)若它满足插值条件(2aoaix0 82x02ao

3、aixa22m2ao aixna2xnmakxk 区 r) k 05.1),则有线性方程组mamxovomamxivi(5.2) m am xnyn当m=n ,它的系数行列式为范德蒙行列式2 x x2 x1x1nxon x0jin（x xj）xn2 xnn xn因为插值节点互异,d 0,故线性方程组(5.2)有唯一解，于是有定理5.1当插值节点 互异时，存在一个满足插值条件p(xi) f(xi) (i 0,1, ,n)的n次插 值多项式。定理 满足插值条件(5.1)的n次插值多 项式是唯一的。证明 设p(x), q(x)是两个满足插值条件 (5.1)的n次插值多项式，于是有p(x)q xf(%

4、) (i 0,1, ,n)令 h x p(x) q(x)显然有h x是次数w n的多项式，且h x p(x) q 为 f(x) f(x) 0 (i 0,1, ,n) 说明h x有n+1个零点，由代数基本定理有h (x) 0,由此得p(x) q(x)插值的一个目的是对函数作近似计算。假设 a, b 是包含插值点x0,x1,l ,xn 的最小闭区间， 当用插值函数p(x) 来近似计算x在 a, b 的函数值时，称为 内插计算 ，否则称为 外插 或 外推 计算。2)拟合问题的描述已知y f(x)在a,b上的n+1个(互异或 不互异)点x0" xn处的函数值v f(xj,求 f (x)的一个

5、近似函数 (x),满足拟合条件| | min这里 是n+1维向量，m是某种范数，(0, 1,n)t , if (xi)(xi)。求出的(x)称为拟合函数。3）插值函数和拟合函数的几何解释1）插值函数图示2）拟合函数图示5.3插值法1.lagrange 插值lagrange 插值是 n 次多项式插值。基本思想将待求的 n 次多项式插值函数pn(x) 改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式， 再利用插值条件和函数分解技术确定n+1 个待定 n 次多项式形式求出插值多项式。1）构造原理 已知数表(5.3)0,1, ,n)设n次插值多项式nln(x) y010n(x) y111

6、n(x) lynlnn(x)yin(x)i 0式中1jx)(i 0,1l ,n)是与y无关的n次多项式。由插值条件(5.1),有nln(xk) yklkn(xk)yilin(xk)yki 0(ki k由于yk与lin x (i 0，1,2,l ,n)无关，可得1 i klin xkik n . , i，k 0,1,2,l ,n (5.4)0 i k为确定lin x ,注意到lin x是n次多项式，由 式（5.4）可知lin xna xk 0k ixk式中a为待定常数，由lin为1确定，于是有i 0,1,2l ,n(5.5),n xxklin xk 0 x xk k i代入式（5.3）,有yko

7、(5.6)由n次插值多项式的唯一性，可知ln x 就是所求的n次插值多项式。式（5.6）称为n次lagrange插值多项 式，而lin x称为lagrange插值基函数。2)分析定理3.设函数y f(x)在a,b上有n+1阶 导数，巳(x)是满足插值条件的n次插值多项 式，则有对任何x a, b成立f n 1rn x f x pn x n 1 x ,(a,b)n 1 !n式中 n 1(x) k o x xk，xk a，b。证明因为ex) "xk),故有rn xk0, k 0,1,l ,n于是rn(x)可分解为 为求出k(x),做辅助函数rn x k x n 1 x(5.8)g t f

8、tpn t k x n i t (")则有在t x°,x1,l名/时，g(t)=0,即g(t)在 a,b上有n+2个零点。显然 g在由xo,xi,l ,xn,x组成的 n+1 个小闭区间上满足 rolle中值定理，故g'（t） 在a,b上有n+1个零点。类似的有g在a,b上有n个零点， 反复运用rolle中值定理，有gn1 t在a,b 上有1个零点，设为，则有gn10。在式（5.9）两边对t求n+1阶导数，有|gn1 t f n 1 t 0 n 1 !k x 将t =代入上式，解得k x f n 1/ n 1 !代入式（5.8）,即得定理结果。定理3中若能算出fn1

9、 x|在a,b上的最 大值m- ma小n1 xl,则有余项估计式rn x i n n11 !l n 1 x l x a,b（在一点的误差估计）若想估计函数在插值 区间a,b上的误 差，要计算出tn i max n i x i,此时有区间a,b 上的误差估计为|rn x |* a，bn 1 !由n次插值多项式的唯一性及式(5.7),得到有如下重要结果定理4 若函数f ( x )在但,均上有n+1阶 导数，则f ( x )可表示为nf (n 1)()f x0 f(x) lin(x) n 1(x) x a,bi 0(n 1)!对n=1的插值多项式，称为 线性插值；n=2的插值多项式称为 抛物线插值或

10、辛 普森插值.例1已知f(x) lnx的函数表为3.03.13.23.33.4y=f(x1.098611.131401.163151.193921.22377试用线性插值和抛物线插值分别计算f(3.27)的近似值，并估计相应的误差。解 线性插值需要两个节点，内插比外推好，因为3.27 (3.2,3.3),故选 x。3.2,为 3.3 ,由 n 1 的lagrange 插值公式，有l(x)1.163151x 3.33.2 3.31.193922x 3.23.3 3.20.30771cx0.178479所以有in 3.27 l1(3.27) 1.1846907为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点

11、为xo 3.2,xi 3.3,x2 34 由 n=2 的 lagrange 插值公式，有l2(x)(x 3.3)( x 3.4)1.1631511.193922(x 3.2)(x 3.4)(3.3 3.2)(3.3 3.4)(3.2 3.3)(3.2 3.4)1.223775 (x 3.2)(x 眨 (3.4 3.2)(3.4 3.3)0.0459x2 0.60606x 0.306225故有ln3.27 l2(3.27) 1.18478709 ,1 一考虑误差.当x 3.2,3.3时,有1f (x)l 2 ,所以 3.2线性插值计算ln3.27的误差估计为旧(3.27)| 2! 1|(3.27

12、 3.2)(3.27 3.3) 0.103 10 3_ -2而当x 3.2,3.4时，1f (x)行，故抛物线插值计算3.2ln3.27的误差估计为i2i5r2(3.27)3(3.27 3.2)(3.27 3.3)(3.27 3.4)0.9 10 53! 3.2例2在4,4上给出ex的等距节点函数 表，若想用二次插值来计算 ex的近似值，并 要求截断误差不超过10 6,问此函数表的步 长h应为多少？解 设xk(k 0,1,l ,n)为4,4上的等距节 点。二次插值需要三个节点，为满足一般性， 这里取三个相邻的节点构造二次插值函数。设小为1,为2是4,4上的任何三个相邻节 点，则当x 。x 2时

13、，有x x th (0 t 2)注意到 x i x h,xi 2 x 2h。x利用n=2的lagrange 余项定理，有函数 e在xi,xi 2的插值余项为e3r2(x) 5 t(t 1)(t 2)h t 0,2, 4,43!因为max|t(t 1)(t 2)239_ _x 44m 3 max e e 34x4所以要 r2(x)r(x)| 孕3 32(竿)h3 3面0.00578106,只需 3；3h3 106,得 h 扁取h=0.0057 可满足要求.由h 8/n得n 1405,故造表时取 1405 个等距节点来计算函数值f (xk) 即可。2. newton 插值newton 插值也是 n

14、 次多项式插值。1) 构造原理已知数表xx0 x1 . xnyv。 yi . vn设n次插值多项式为n*x) a。ai(x x。)a2(x %)(x 为)an(x x°)(x 为)(x ai)为求出nn(x)的系数，借助插值条件有当x xo时，有nnd) a0 no,得出 a() y();当x xi时，有nn(xi) ao ai(xi xo) yi,得 a (y1 y% xo)依次取x2，x3，xn并利用插值条件就可 依次解出a2,a3- -an,从而求出 心的具体形 式。为将解出的系数 a0,a1, a2, ，an用公式表不 出来，引进差商的概念。定义 已知函数f(x)在互异节点x

15、0,xi,xn上的值分别为 f (x0)，f (xl)，f (xn),记“y 丫 丫 fxl，xi2，,xik-。？1，xk 1f x 0，xi1，xik xikxi0式中xi 0，xi1， ，xik是x0，x1，xn中互不相同的 k+ 1个节 点，k 1,2, ,n ,称 fxio,xi1，xk为 f(x)关于节点 xo,xi1，,xik 的 k 阶差商。规定零阶差商是函数值本身f% f(%),于是一阶差商可写为fxi，xjf(xi) f(xj)xi xj表.1 差商表xf(x)一阶差商二阶差商n阶差商xovofxo，xif x0，xi，x2f xo，xi， ,xnxi.yi .fhx2 .

16、fk,x2,均 .xn 2.vn 2.f xn 2 , xn i .fxn 2，xn i，xnxn ivn if xn i, xn xnvnnn(x)f xof xo，% (x %) f xo，xi，x2(x %)(x 为)f xo，xi，l ,xn (x xo)(x xi) (x xn i)2)分析定理5满足插值条件的n次newton插值多项式山的余项为rn(x) f(x)nn(x)fxo，xi, , xn，x n i(x)(5.14)证明设x a,b,且是异于x0,xi，,xn的任一点， 则有以，。，xn,x为插值节点的n+1次newton 插 值多项式nni(t) nn(t) fxo，x

17、i， ,xn，x ni(t)注意到，上式当t = x时，有nni(x)f(x)。将1 = x代 入上式有f (x) nn(x) fx0,xi， ,xn，x ni(x)显然(5.i4)式对 x x0，xi， ,xn时也成立利用插值的唯一性，由f(x) nn(x) f(x) ln(x)可以得到差商与微商之间的关系fxo,xi, ,xn，xf 01()(n 1)!例3给定数表124568f(x)028121828试用二次和四次 newton插值多项式计算 f (5.8)的近似值。解作差商表xf(x)一阶差商二阶差商二阶差商四阶差商五阶差商1021/301/30-1/602231/31/6-1/124

18、841-1/35126-1/36185828用二阶newton 插值近似计算f (5.8)5应选与5.8最 近的3个节点xo 4, xi 5区6。由表中x0 4行数据有n2(x) 8 4(x 4) 1(x 4)(x 5) 12 5x x2所以有 f (5.8) 心(5.8) 16.64。要用n4(x)来计算f(5.8),取与5.8最近的5个节点x02,x14, x2 5, x36,x48由表中xo 2行数据有11m(x) 2 3(x 2) -(x 2)(x 4) - (x 2)(x 4)(x 5)361(x 2)(x 4)(x 5)(x 6)12336 356x 122x2 19x3 x412

19、所以 f (5.8) n4(5.8) 11.0272 o3. hermite 插值例4设f(x)有四阶导数，且f (1) 0, f (1) 1, f (2) 0.693147, f (2) 0.5,1 )求函数f(x)的一个插值多项式h (x),并用此近 似函数来计算f (1.5)的近似值2)给出你所得插值多项式的误差关系式，估计近 似计算f (1.5)的误差。解 仿照lagrange插值函数的构造方法来做之。给定4个数据信息，选择3次多项式作为f(x)的插 值多项式。令f(x)的3次插值多项式为|h(x) f 1 i(x) f 2 2(x) f 1 3(x) f 2 4(x) 式中k(x),

20、 k 123,4者口是与f 1 ,f 1 ,f 2 ,f 2无关的3 次多项式。插值的特点是插值函数h(x)要与给定的关于f(x)的所 有数据相等，即满足插值条件h 1f(1),h 1 f (1),h 2f(2), h 2 f (2)由此可得有关k(x), k 1,2,3, 4 的一组值1(1)1,2(1)0,3(1)0,4(1)01(2)0,2(2)1,3(2)0,4(2)01(1)0,2(1)0,3(1)1,4(1)01(2)0,2(2)0,3(2)0,4(2)1利用这组数据， 可得 k(x), k 1,2,3, 4 函数分解形式并求出k(x) 。为求 1(x) ，找到与之有关的数据1(1

21、) 1, 1(2)0, 1(1) 0, 1(2)0由该数据可知x=2是i(x)的二重根，且i(x)是3次多项式，故可设1(x) 的分解形式为1(x) a x 1 b x 2由i(1) 1, i(1) 0,可以求出式中的a,b,最后求得 21(x) 2x 1 x 2类似地可以求出其它 3 个待定函数2(x) (5 2x)(x 1)2, 3(x) (x 1)(x 2)2, 4(x) (x 2)(x 1)2故有所求插值函数h (x) 0 1(x) 0.693147 2(x) 13(x) 0.5 4(x)0.693147(5 2x)(x 1)2 (x 1)(x 2)2 0.5(x 2)(x 1)2从而

22、有 f (1.5) h (1.5) 0.409074 ，为求其余项，令rx fx hx由 r(1) r(2) r(1) r(2)。，有 r(x)可分解为rx kx x,x1x222为求出 k ( x) ，做辅助函数g t f t h t k x t (5.18 )则有在 t =1, 2, x 时，g(t)=0, g(t)在a,b上有 3 个零点。g(t)在由1,2,x组成的2个闭区间上满足 rolle中值定理， 故 g'(t) 在1,2 上有 2 个零点， 另一方面，有 g'(1)= g'(2)=0 ，故 g'(t) 在1,2 上有 4 个零点，类似的原因，有g

23、 (t) 在1,2 上有 3 个零点，反复运用4rolle 中值定理，就有 g t 在1,2 上有 1 个零点,设为 ，则有 g40。在式( 4.18 )两边对 t 求4 阶导数，有44 g t f t 0 4!k x将 t = 代入上式，解得k x f 4/4!于是得出余项公式f(4)( )22r(x)(x 1)2(x 2)21,2近似计算f (1.5)的误差为f ( )22r(1.5)(1.5 1)2(1.5 2)24!f() 43 3!1,2上面的例子反映了 hermite插值的做法hermite插值提法提法为:给定n+1个互异的节点x0,xi, ,xn上的 函数值和导数值xxoxiyy

24、。yiyv。yix2xny2yny2yn求一个2n+1次多项式h2n i(x)满足插值条件h2n1(xk) yk k 0,1,2,l ,n (5 19)h2n i(xk) yk(5.19)如上求出的h2ni(x)称为2n+1次hermite插 值函数，它与被插函数一般有更好的密合 度。基本思想仿照 lagrange 插值函数的构造方法，先设定函数形式， 再利用插值条件求出插值函数。例 5 已知函数 f (x) 的 4 个数值为f(1),f (1), f (1),f(2)试求f (x)的一个插值多项式p(x),这里p(x)满足插值条件p(1) f (1),p (1) f (1),p (1) f

25、(1),p(2)f(2) 。 写出 f (x) p(x) 的误差估计式。解 因为有 4 个值，故取p( x )为三次多项式，令p(x)f(1)h1(x)f (1)h2(x) f (1)h3(x)f(2)h4(x)式中hi(x)(i1,2,3,4)都是三次多项式。由插值条件有当 x 1 时，得h1(1) 1,h2(1)h1(1) 0,h2(1)h1(1) 0,h2(1)当 x=2 时，可得h1(2)0, h2(2)利用hi(x)的4个值，hi 是三次多项式，可设0,h3(1) 0,h4(1) 01,h3(1) 0,h4(1) 00,h3(1) 1,h4(1) 00,h3(2)0, h4(2)11

26、,h1(1) 0,hi(1) 0,hi(2)。及 hi(x)h1(x) a(x 1)2 b(x 1) c(x 2)由 (1) 1,得 c = -1；由 hi(1) 0,得 b = -1;由 hi(1) 0,得 a =-1,于是有h1(x) (x 1)2 (x 1) 1(x 2) (x2 x 1)(2 x)同理可设h2(x) a(x 1) b(x 1)(x 2)h3(x) a(x 1)2(x 2)h4(x) a(x 1)3由 (x),h3(x),h4(x)在 x =1,x =2 的值可得h2(x)x(x 1)(x 2), h3(x)1(x 1)2(x 2), h4(x) (x 1)3于是所求2f

27、 (1)23p(x) f(1)(x x 1)(2 x) f(1)x(x 1)(x 2) la 1)(x 2) f(2)(x 1) 观察余项在x=1, x=2的信息，可写出误差关系 为f ()3f(x) p(x) tax 1)3(x 2)(1,2)4!4.分段多项式插值被插函数f x 4在-5,5的n+1个等距节点 1 xxk 510k k 0,1,l ,nn计算出f(xk)获得实验数据后，可以得至uf(x)的lagrange插值多项式 ln(x)。考虑卜5,5上的一点5x 5 n,分别取 n=2, 6, 10, 14, 18 计算 f(x)及相应的误差rn(幻，得下表n26101418f()0

28、.1379310.054463f 0.0470590.0443340.042920ln()0.7596150.6078791.5787215.33274320.123671rn()-0.621684-0.533416-1.531662-5.288409-20.080751易见随n增加，r没减小，却增大。runge现象定义2则a, b上n+1个节点xka x0x1lxnb及函数值f(xk) yk, k 0,1,l ,n o若函数(x)满足(x)在a, b上连续；(xk) yk (k=0, 1,，n)；(x)在每个小区间xk,xki是m次多项式则称(x)为f(x)在a, b上的分段m次插值多项式。

29、基本思想将被插函数f(x)的插值节点由小到大排序，以每 对相邻的两个节点为端点获得若干个小区间，然后在 每个小区间上都用f(x)的m次插值多项式作为f(x) 的近似函数。1）构造原理（1）分段线性插值的构造原理分段线性插值是定义2中的m=1情形。设xk,x-为 任何连个相邻插值点，于是在人,1上分段线性插值 函数（x）是一次多项式。利用xk,xki上的插值数据xxkxk 1yykyk 1用n=1的lagrange插值构造(x),于是有x xk 1x xk(x) k(x) yklo1(x) ykil11(x) yk yk 1xk xk 1xk 1 xkx xk，xk 1, k 0,1,l ,n

30、1 易验证，(x)满足定义2,故(x)是所求的分段线性 多项式插值。(2)分段三次hermite插值设xk,xki是任何两个相邻节点构成的区间，在xk,xk 1上的插值数据为xxkxk 1yykyk iyykyk 1要使分段插值函数(x)满足(x) yk, k(xki) yki, (xk) yk, (xk 1) yk 1且(x)在xk,xki是三次多项式，自然想到两点 hermite插值公式。取对应的两点 hermite插值作为所求（x）在xk,xk i 上的插值多项式，有(x) k(x) yk 03(x)yk 1 13(x) yk 03(x) yk 1 13(x)x 4,xk 1, k 0,

31、1,l ,n 103(x) 1 ：(x13(x 1 力 q(心)2,03(x)(x xk)(i13(x)(x xk 1个2式中 hkxk 1 xk .此（x）满足定义4.2,且在每点xk与数连续，在整 个区间a,b上还有连续与数，称为 分段三次hermite 插值函数2)分析定理8假设出现在如下不等式中的函数的高阶导数存在，记h max (xk i人),则有00 k n 111.分段线性插值的误差估计为h2r(x)| |f (x)(x)| -max|f (x)| x a,b8 a x b2.分段三次hermite插值函数的误差估计为h4r(x)| |f (x)(x)| maxl f (4)(x

32、)| x a,b4! 2 a x b证明只对结果2给由证明，结果1可类似证明。由两点的hermite插值余项可知，在区间44一 上，分段三次 hermite插值函数(x)与被插值函数 f (x)的误差关系式e(x)| |f(x)(x)|f(4)( )oo4！ (x xk)(x xk 1)x xk, xk 11. 2 . 2 ._ (4) . max (x xk) (x xk 1) max f (x) 4! xk x xk 1a x b又因为2214 hk hmax(x xk) (x x<1) z4(xki a)方不 xk x xk 122 2故对k= 0, 1,，n有|r3(x)| |f

33、(x)x a,b(刈 7h74 maxlf (4) (x)| 4! 2 a x b注意到上式右端与x属于哪个小区间无关，这就证明 了结果2。分段插值的编程计算简单，只要先编写一个在任一 段上的低次插值通用子程序，然后根据要计算的自变 %勺值选定所属的子区间，再调用子程序计算即可。5. 三次样条插值分段线性插值在连接点处常有“尖点”出现；分段三次 hermite 插值在连接点处不一定曲率连续，且要求知道所有节点处的一阶导数值。能否找到只用节点的函数值和一些较少的信息就可以构造出具有更好几何特性的分段插值函数呢？三次样条插值给出了肯定的回答。样条（ spline） 是一种细长有弹性的软木条， 常用

34、来做工程设计中的绘图工具绘出一条光滑曲线。将它进行数学描述，就得到如下三次样条函数的定义。定义3设函数s(x)定义在区间a,b上,对给定a,b 的一个分划: a x0x1lxn b若 s(x) 满足下列条件s(x)在a,b上有二阶连续与数；s(x)在每个小区间都是一个三次多项式。则称函数s(x)是关于分划的一个三次样条函数，若 同时还满足 s(xk) f(xk) (k 0,1,l ,n)则称s(x)是f(x)在a,b上关于划分的三次样条插 值函数 。基本思想利用三次样条插值函数定义的条件及在内节点x1,x2,l ,xn 1的函数和导数的连续性质，建立关系式来确定样条插值函数。1) 构造原理要知

35、道的事情：1 .三次样条插值函数s(x) 在每个xk,xk 1上都是三次多项式，故在每个xk,xk 1上有 4 个待定系数；2 .因为共有n个小区间，故s(x)共有4n个待定系数要确定；3 .s(x)在n-1个内结点有直到二阶的连续与数，可以得到 3(n 1)个条件；4.由插值条件可有n+1个条件故共有4n-2个条件，要想唯一确定s(x)还应另加两个条件才行。三次样条函数插值常引入边界条件来作为所需的两个条件。常用的边界条件有如下三类i )给定两个端点二阶导数值f (xo), f (xn),并令s''(x0)f''(x0),s''(xn)f &#

36、39;'(xn)f (x0)f (xn)0 时，称为 自然边界条件 。ii )给定两个端点一阶与数值f (%), f (4),并令 s(x0) f (x0),s(xn) f (xn)田)给定 s(xo)s(xn),s(xo) s(xn),s(xo) s(4)第m类边界条件称为周期性边界条件，专用于f (x) 是以xn x0 为周期的函数的样条插值。构造三次样条插值函数s(x)的m方法推导过程：设 hk xk 1 xk , mk s (xk)(k 0,1,l,n),考虑在 任一个小区间xk,xk i上s(x)的表示形式。由定义，s(x)是三次多项式，故$ (外在以卜/是一次多项式，可以表

37、示为s(x)mkxk 1hkx xk mk ikhkx xk，xki做两次积分，并利用s(xk) f(xk),s(xki) f(xki),有s(x)mk(xk i x)36hk(x xk)3mkj(f (xk)6hk(f(xk i)2m k 1hk )6xxkhkx xk,xki于是只要求出mk(k 0，1，l ,n),就求得了 s(x)求mk的处理方法利用在内节点处一阶导数连续的条件来做由式s(x)表达关系有s(x)(xk 1 x)mj"1)k24一 (x xk)2mk1k 1 2hkfxk，xk 1mk1 mk hhk6kx xk,xk 1 (k 0,1,l ,n 1)s(xk

38、0)hkm k f xk,xk 1 mjlj-mk hk26hm m k .s(xk 1 0) m k 1 f xk，xk 1hk26再由 sx 0) s(xk 0),得若令kmki 2mk kmki dk(k 1,2,l ,n 1)k - k 1 ， k 1k，d k 6 f xk 1, xk，xk 1 hk 1 hk对n型边界条件，可得另外两个方程为6 ,2mo m1 丁(f%,xj f (xo)ho6 ，mn 1 2mn (f (xn) fxn 1,xn)hn1661, xn)o 1,do(fx。， f (x。)，n 1,dn(f(xn) fxnhohn 1则mo,mi,l ,mn的关系

39、式可写为矩阵形式mom1mmnmnd0dimdn 1dn对i型边界条件，由于m。与mn已知，可得方程组222oom1m2mmnmndn1 f ( x0 ) d2mdn 2n 1 f ( xn )对m型边界条件，由2122m n 可得方程组oom1m2mmnmnd1 d2m dn 1 dn都称为 m 关系式 ，易验证它们都是严格对角占优的。求三次样条插值函数的算法计算出 k, k,dk(k=0 , 1 ,，n)；对不同的边界条件选择相应的m关系式，并进行求解，得m0,mi,l ,mn的值；求三次样条插值函数s(x)。定理9 设f(x)在a,b上有4阶与数，s(x)是具有边界条件i或口的三次样条插

40、值函数，则有估计式if s|鬻叫if s|加i 38424,2|f s| h-|f(4)l h nmax hk 80 k n 15.4曲线拟合法曲线拟合也是一种求近似函数的方法，本节主要介 绍线性最小二乘拟合方法，这里的线性指所求的拟合 函数是某些已知函数组o(x), i(x),l , m(x)的线性组合。该方法是曲线拟合中最简单最常用的方法。记mm span 0, i,l m (x) (x)ak k(x),ak rk 0m常称为拟合函数类，m中的函数0(x)，l，m(x)称为 基函数，它们应该是线性无关的。k ,若m中的基函数k(x) x (k 0,1l ,m)，则m就 是m次多项式函数类。

41、由离散数据获得的曲线拟合函数称为 经验公式基本思想根据给定的数据点yif (xi) (i 0,1,l ,n) ，选择合适的拟合函数类m ， 再利用最小二乘法确定具体的拟合函数。1.构造原理设所求的拟合函数(x) m span 0，i，l , m ,则有 m(x)ak k(x) ak rk 0为确定系数ao，ai,l,am,考虑函数f(x)与(x)在节点xo,xi,l ,xn处差的平方加权和 n 2s(ao，ai，l ,am)k(f(xq(xq)k 0 nm2 k(f(xk)ai i(xk)k 0i 0式中k (k 0,1,l ,n)是已知的数。由极值必要条件有 qnm 2k(f(xk)a i(

42、xk) j(%) 0 (j 0,1,l ,m)aj k 0i 0化简得到关于系数a0，a1，l ,am的线性方程组:m naii 0 k 0k i(xk) j(xk)kf(xk) j(xk)(j 0,1,l ,m)弓i入内积符后(h,g)k 0kh(xk)g(xk) ,上式可写为(0 , 0)(1,0)m(m, 0)(0, 1)(1, l)m(m, 1)llml(0,(1,a0 ai mam,f) ,f) m f)k 0这个方程组称为法方程组或正规方程组o可以证明当0(x), 1(x),l , m(x)线性无关时，法、一一 > 一 k_> 一，、k八，.*_*万程组是对称正7e的，

43、因此有唯一解a0,a1,l ,amo于是多元函数s(a0,ai,l ,am)有唯一驻点。注意 到s(a0,ai,l oj的最小值是存在的，因此 a0,a*,l a 就是s(a0,ai,l ,am)的最小值点，从而函数 m*(x)ak k(x)k 0就是所要的曲线拟合函数。讨论的问题归为求解法方程组问题。定义5 设m span 0, i,l , m ,给定n+1个节点xk(k0,1,l ,n),若有函数*( x) m ,满足nn-2_2k(f(xk)*( xk)mink(f(xk)(xk)k 0k 0则称*( x)为f (x)在n+1个节点x0，x1，l ，xn上关于 权0，1，l , n的最小

44、二乘解，而称求*(刈的方法为 最小二乘法。曲线拟合的误差 常用所求出的拟合函数在所给拟合点与被拟合函数误差加权平方和 n*2s(a0,ai，l a)i(f(xj(4)i 0来表示，它称为平方误差。求曲线拟合的算法1)由数据点(xk,f(%)(k 0,1,l ,n)绘出散点图；2)选择合适的拟合函数类m ;3)构造对应的法方程组，并求解得到具体的拟合 函数。2.分析当 m span °, i,lm是多项式集时，由xk，f（xk） k0求出的最小二乘解称为最小二乘多项式。时，拟合函数（x）mkakxk 0（m次多项式）对应的法方程组为nnnnixi ilmx i iixi 0i 0i 0

45、a0i 0nnnn2lm 1xixixiaiixi yii 0i 0i 0mi 0mmmmmnnnamnmm 1l2mmixiixiixiix yi 0i 0i 0i 0在m 4可用来最小二乘多项式，但当m>4时,它往往是病态的，不能用最小二乘多项式为避免病态，把基函数组0(x), 1(x),l , m(x)选为正交函数组即可。定义4.6设函数组k(x) (k 0,1,l ,m)在区间a,b上有定义，点集x (i 0,1,l ,n) a,b,权系数 i 0(i 0,1,l ,n),如果内积n 2(k, j) i k(x) j(x)kjrk ,k 0(k, j 0,1,l ,m)i 0则称

46、函数组0(x), i(x),l , m(x)是关于x0,xi,k ,xn的带权正交函数组。比较向量正交定义!当 0(x)，1(x)，l，m(x)是关于 x0,xi，k ,xn 的带权正交函数组时，其法方程组就变为对角方程组b2ao( 0, f)ri2d( i, f)0mm rm am( m，f )它不涉及病态方程组问题，可以很容易解出ak (k,f)/rk2(k 0,1,l ,m)其对应的最小二乘解m ( , f)*( x)jf) k(x)k 0 rk用gram-schmidt正交化方法构造正交函数n组的算法，其中符号(k, j) i k() j()o i 0gram-schmidt正交化算法

47、1)0(x) 1, i(x) x - (x 0, 0)(0, 0)2)对 j 1,2,l ,m 1(j, j)(j 1, j 1) (x j, j) j 1( j, j)j i(x) x j 1 j(x) j j i(x)该算法得到首项系数为1的关于点集x0,x1,l ,xn的带权正交多项式组0, i(x),l , m(x)当曲线拟合函数是m次多项式时，称为m次 拟合曲线。例7给定数据表xi-3-1013yi-1.21.31.51.92求二次拟合曲线。解 求二次拟合曲线就是求2 次最小二乘多项式，由于没给出权系数，可选i 1(i0，1,，4)。下面用两种方法求解。方法 1 取基函数0(x) 1

48、，1(x) x ，2(x) x2 ， 则二次拟合曲线函数形式为(x)a0 a1 x a2x25.510.210.40.1381 ，故所求二次本题有 5 对数据，故n 4 ，计算得法方程组5020a00 200a120 0 164 a2解之得a0* 1.6524 ， a1*0.51， a2*拟合曲线为*(x) 1.6524 0.51x 0.1381x2方法 2 选用正交基函数cram schmidt 正交化算法，有0(x) 1 ， r02 ( 0, 0)1 5 ， (x 0, 0)xi0 ，(x 0 , 0) /( 0 , 0 ) 0 ，1 x x (x 0, 0)/( 0 , 0 ) x 0

49、0 ，r12 ( 1, 1)xi2 201( 1, 1)/( 0, 0)4,22 x(x2) 1( x)1 0(x)(x 1, 1)/( 1, 1)x3 /20 02222x 4, 2( 2, 2)(xi 4)84(0,y) v 5.5, ( 1,y)为yi10.2，(2,y)(x2 4)yi11.6故有c*( 0, y)a0205.51.1*a1(1,y)210.20.5120a2 了胃 0.1381,所求的二次拟合曲线为 284(x) 1.1 0.51x 0.1381(x2 4)3.可用线性最小二乘拟合求解的非线性拟合类型1）指数曲线拟合此时的拟合函数具有形式bx ae（a, b为待定常数）对（x）取自然对数，有ln (x) ln a bx令p(x) in (x), a lna,则有线性模型:p(x) a bx用本节方法求出其最小二乘解p*(