高中数学必修五人教版A版同步作业 第二章 数列 2.4 等比数列第二课时 等比数列的性质及应用

1、人教版高中数学必修精品教学资料【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的性质及应用1、2、3、5、6、8等比数列与等差数列综合4、7、9、10、11实际应用12基础达标1.将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,此数列是(b)(a)公比为q的等比数列(b)公比为q2的等比数列(c)公比为q3的等比数列(d)不一定是等比数列解析:由于=×=q·q=q2,n2且nn*,anan+1是以q2为公比的等比数列.故选b.2.(2014潍坊高二期末)公比为的等比数列an的各项都是正数,且a4a6=16,则a7等于(b)(a)(b)1(c)2(

2、d)4解析:由a4a6=16得=16,a5=4,a7=a5q2=4×()2=1.故选b.3.(2014珠海市高二期末)已知an为等比数列,且an>0,若a2a4+2a3a5+=16,那么a3+a5等于(d)(a)±4(b)2(c)±2(d)4解析:由a2a4+2a3a5+=16得+2a3a5+=16,(a3+a5)2=16,an>0,a3+a5=4.故选d.4.已知等比数列an中,a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于(c)(a)2(b)4(c)8(d)16解析:等比数列an中,a3a11=4a7,解得a7=4,等差数列

3、bn中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选c.5.等比数列an中,a7·a11=6,a4+a14=5,则等于(a)(a)或(b)(c) (d)或-解析:数列an为等比数列,a4·a14=a7·a11=6.又a4+a14=5,或=q10=或=q10=,=q10=或.故选a.6.在等比数列an中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=. 解析:a6a10=,a3a5=,+=41,又a4a8=4,(a4+a8)2=+2a4a8=41+8=49,数列各项都是正数,a4+a8=7.答案:77.三个数a,b,c成等比数列,公比q=3

4、,又a,b+8,c成等差数列,则这三个数依次为. 解析:a、b、c成等比数列,且q=3,a=,c=3b.又a,b+8,c成等差数列,2(b+8)=a+c,即2(b+8)=+3b,b=12,a=4,c=36.答案:4,12,36能力提升8.在由正数组成的等比数列an中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为(a)(a)(b)(c)2(d)解析:a4a5a6=3,=3,a5=.log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3=4log3a5=4log3=.选a.9.已知数列an是公差不为0的等差数列,

5、且a1,a3,a9构成等比数列bn,则bn的公比为. 解析:设an的公差为d,依题意有=a1a9.即(a1+2d)2=a1(a1+8d),4a1d=4d2,d0,a1=d.于是bn的公比为q=3.答案:310.三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列,则此三个数为. 解析:设所求三个数为a-d,a,a+d.由题意得解得或又a-d,a,a+d为正数,a=5,d=2,所求三个数为3,5,7.答案:3,5,711.若an是公差d0的等差数列,bn是公比q1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.(1)求d和q;(2)是否存在

6、常数a,b,使对一切nn*都有an=logabn+b成立?若存在,求出a、b的值,若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得解得d=3,q=4.(2)假设存在常数a,b.由(1)得an=3n-2,bn=4n-1,代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对nn*都成立,所以存在常数a=,b=1使等式成立.探究创新12.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升后,添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问:第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解:设开始的浓度为1,操作一次后溶液浓度a1=1-,设操作n次后溶液的浓度为an,则操作n+1次后溶液的浓度为an+1=an(1-),从而建立了递推关系.an是以a1=