高考数学第一轮复习课件之等差数列

1、第2课时 等差数列1等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与它的前一项的差都等于它的前一项的差都等于 ，那么，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的等差数列的 ，通常用，通常用 表示，其符号表示，其符号语言为：语言为： (n2，d为常数为常数)基础知识梳理基础知识梳理同一个常数同一个常数anan1d公差公差d2等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列若等差数列an的首项为的首项为a1，公差，公差是是d，则其通项公式为，则其通项公式为 .基础知识梳理基础知识梳理ana1(n1)d已知等差数列已知等

2、差数列an的第的第m项为项为am，公差为公差为d，则其第，则其第n项项an能否用能否用am与与d表表示？示？【思考思考提示提示】能，能，anam(nm)d.基础知识梳理基础知识梳理 3等差中项等差中项 如果三个数如果三个数a，a，b成成 ，则则a叫做叫做a和和b的等差中项，且有的等差中项，且有a .基础知识梳理基础知识梳理等差数列等差数列4等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式sn .基础知识梳理基础知识梳理答案：答案：b三基能力强化三基能力强化2an是首项是首项a11，公差，公差d3的的等差数列，若等差数列，若an292，则序号，则序号n等于等于()a98 b99c100 d101答案：

3、答案：a三基能力强化三基能力强化3在等差数列在等差数列an中，中，a3a214，则其前，则其前23项的和为项的和为()a10 b12c46 d52答案：答案：c三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化解析解析：设等差数列的公差为：设等差数列的公差为d，首项为首项为a1，三基能力强化三基能力强化答案：答案：9三基能力强化三基能力强化5(教材习题改编教材习题改编)已知已知an为等为等差数列，差数列，a3a822，a67，则，则a5_.答案：答案：15证明一个数列证明一个数列an是等差数列的是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明的定义法，

4、即证明an1and(nn*)，二是利用等差中项法，即，二是利用等差中项法，即证明：证明：an2an2an1(nn*)在在课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一等差数列的判定等差数列的判定选择方法时，要根据题目条件的特选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法等差中项法课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知数列已知数列an的通项公式的通项公式anpn2qn(p、qr且且p、q为常数为常数)(1)当当p和和q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列an是等差数列

5、；是等差数列；(2)求证：对任意实数求证：对任意实数p和和q，数列，数列an1an是等差数列是等差数列【思路点拨思路点拨】由等差数列的定义知由等差数列的定义知an是等差数列的充要条件是是等差数列的充要条件是an1an是是一个与一个与n无关的常数无关的常数【解解】(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq.要使要使an是等差数列，则是等差数列，则2pnpq应应是一个与是一个与n无关的常数，无关的常数，只有只有2p0，即，即p0.故当故当p0时，数列时，数列an是等差数列是等差数列课堂互动讲练课堂互动讲练(2)证明：证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq.而而

6、(an2an1)(an1an)2p为为一个常数，一个常数，an1an是等差数列是等差数列【误区警示误区警示】在在(2)中，要证明中，要证明(an2an1)(an1an)是一个与是一个与n无关的无关的常数，而不是证常数，而不是证an1an是一个常数是一个常数课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二等差数列的基本运算等差数列的基本运算2数列的通项公式和前数列的通项公式和前n项和公项和公式在解题中起到变量代换作用，而式在解题中起到变量代换作用，而a1和和d是等差数列的两个基本量，用它是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法们表示已知和未知是常用方法课堂互动讲练课堂互

7、动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知等差数列已知等差数列an中，中，a1533，a61217，试探究，试探究153是不是这个数列是不是这个数列的项，如果是，是第几项？若不是，的项，如果是，是第几项？若不是，说明理由说明理由【思路点拨思路点拨】求出通项公式，求出通项公式，将将153代入判断代入判断【解解】设等差数列设等差数列an的首项的首项为为a1，公差为，公差为d，则则ana1(n1)d.课堂互动讲练课堂互动讲练an23(n1)44n27.令令an153，即，即4n27153，n45.153是等差数列的项，是第是等差数列的项，是第45项项课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】在等差数列的五

8、在等差数列的五个基本量个基本量a1，d，an，sn，n中，中，“知三知三求二求二”是一种基本运算，一般方法是是一种基本运算，一般方法是利用通项公式和前利用通项公式和前n项和公式，通过项和公式，通过列方程组求解判断是否是数列中的列方程组求解判断是否是数列中的项的问题，一般有两种解法：一是对项的问题，一般有两种解法：一是对所要判断的式子进行变形，看其是否所要判断的式子进行变形，看其是否与通项公式一致；二是假设其是数列与通项公式一致；二是假设其是数列的项，列出等式解出的项，列出等式解出n，看所解出的，看所解出的n是否为正整数是否为正整数课堂互动讲练课堂互动讲练若题目条件不变，设若题目条件不变，设p，

9、qn*.试判断试判断apaq是否仍为数列是否仍为数列an中的中的项，并说明理由项，并说明理由解解：因：因an4n27.apaq(4p27)(4q27)16pq108(pq)27244pq27(pq)18927，4pq27(pq)189n*，apaq仍为数列仍为数列an中的项中的项课堂互动讲练课堂互动讲练已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，sn是是其前其前n项和项和(1)若若mnpq，则，则amanapaq.若若mn2p，则，则aman2ap.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为仍是等差数列，公差为kd.课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三等差数列的性质等差数列的

10、性质(3)数列数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列也是等差数列(4)s2n1(2n1)an.若若n为奇数，则为奇数，则s奇奇s偶偶a中中(中间中间项项)(6)数列数列can，can，panqbn也是等差数列，其中也是等差数列，其中c、p、q均为均为常数，常数，bn是等差数列是等差数列课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为sn，已知前已知前6项和为项和为36，sn324，最后，最后6项的项的和为和为180(n6)，求数列的项数，求数列的项数n及及a9a10；(2)等差数列等差数列an、bn的前的前n项和分别项和分别【思路点

11、拨思路点拨】(1)可利用前可利用前6项项与后与后6项的和及等差数列的性质求出项的和及等差数列的性质求出a1an的值，然后利用前的值，然后利用前n项和公式求出项和公式求出项数项数n.(2)可利用中项公式求解可利用中项公式求解课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)由题意可知由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.课堂互动讲练课堂互动讲练18n324.n18.a1a1836.a9a10a1a1836.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】(1)中解法运用了中解法运用了倒序求和的

12、方法和等差数列的性质，倒序求和的方法和等差数列的性质，若若mnpq(m，n，p，qn*)，则，则amanapaq，从中我们可以体会，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；注意运用；(2)小题中，直接得出小题中，直接得出sn(3n1)k，tn(2n3)k，然后求，然后求a8，b8.这这种做法是错误的种做法是错误的课堂互动讲练课堂互动讲练求等差数列前求等差数列前n项和项和sn的最值问的最值问题，主要有以下方法：题，主要有以下方法：(1)二次函数法：将二次函数法：将sn看作关于看作关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的二次函数，运用配方法，借助函

13、数的单调性及数形结合，使问题得解；的单调性及数形结合，使问题得解；(2)通项公式法：求使通项公式法：求使an0(或或an0)成立的最大成立的最大n值即可得值即可得sn的最大的最大(或最小或最小)值；值；课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)在等差数列在等差数列an中，中，(1)若若a120，前，前n项和为项和为sn，且，且s10s15，求当，求当n取何值时，取何值时，sn最大，最大，并求出它的最大值；并求出它的最大值；(2)若若a10，s9s12，则该数列，则

14、该数列前多少项的和最小？前多少项的和最小？【思路点拨思路点拨】我们可以通过分我们可以通过分析数列中各项的正、负号确定前多少析数列中各项的正、负号确定前多少项的和最大，也可以利用二次函数求项的和最大，也可以利用二次函数求最大值最大值课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)由由a120，s10s15， s10s15，s15s10a11a12a13a14a150. 3分分a11a15a12a142a13，a130.公差公差d0，a10，课堂互动讲练课堂互动讲练a1，a2，a11，a12均为正数，均为正数，而而a14及以后各项均为负数及以后各项均为负数当当n12或或n13时，时，sn有最大值为有最大值为

15、s12s13130. 6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)设数列设数列an的公差为的公差为d，则由题意得，则由题意得即即3a130d，a110d. 8分分a10，d0.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)设等差数列设等差数列an的首项的首项a1及公差及公差d都为整数，前都为整数，前n项和项和为为sn.(1)若若a110，s1498，求数列，求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若a16，a110，s1477，求所，求所有可能的数列有可能的数列an的通项公式的通项公式课堂互动讲练课堂互动讲练解解：(1)由由s1498得得2a113d14，又，又a11a110d0，故解得故解得d2，a120. 2分分因此，因此，an的通项公式是的通项公式是an222n，n1,2,3，.5分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练又又dz，故，故d1.将将代入代入得得10a112.11分分又又a1z，故，故a111或或a112.所以，所有可能的数列所以，所有可能的数列an的通的通项公式是项公式是an12n和和an13n，n1,2,3，