3多元复合函数与隐函数的求导法则

1、3 3复合函数与隐函数的偏导数复合函数与隐函数的偏导数一、多元复合函数的导数一、多元复合函数的导数( (链式法则链式法则) ),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 定理：定理：),(vufz uvxzy链式法则链式法则如图示如图示 xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv ),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv ),(vufz zwvuyx),(),(),(yxwyxyxfz ),(yxu ),(yxv ),(yxww xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz wvufz, )(tu )(tv

2、),(vufz )(),(ttfz dtdz),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(vufz vz tz dtdv uz dtdu解解 xz uzxu vzxv )cossin(vvyeu yz uzyu vzyv )cossin(vvxeu 1 veusin y veucos x veusin veucos1解解 xz uzxu vzxv u2x4 yz uzyu vzyv y4 1 v21 u2)1( v21解解 xz uzxu vzxv vu ln2 222233232y)yx(xy)x(lnyx yz uzyu vzyv

3、)(vu)yx(vlnu2222 2232232232y)yx(xy)x(lnyx 例例3 设设vuzln2 ,而而yxvyxu23, ,求求yzxz ,3 y1 vu2解解tzdtdvvzdtduuzdtdz v ttetettcossincos tttetcos)sin(cos xz uzxu vzxv te u tsin tcos 解解dxdzzudxdyyuxudxdu 12az)(yaeax xz uzxu vzxv 12 aeax)sin(x xacos )1(2 aeax例例5 5 设设,12 az)(yeuax,sin xay xcosz ? dxdu解解xz yz xf21

4、例例6 设设),(22xyeyxfz ,而而,22xyevyxu 求求yzxz , xz uzxu vzxv xyyef 2xyxef 2 yf21 解解 xz uzxu vzxv xvvwxuuwxw yf11 yvvwyuuwyw )yx(f21 zvvwzuuwzw 01 f02 fzf12 )zy(f22 解解 xz uzxu vzxv xvvmxvvmxuumxm 11 f01 fyvvmyvvmyuumym zvvmzvvmzuumzm 02 fyf 2yzf 3xf 2xzf 3xyf 301 f例例8 8 设设, )f(x,xy,xyzm xyzxy,wx,vu zm,ym,x

5、m 求求例例9 已知已知,xyxf(u),uxyz 证明：证明：.xyzyzyxzx xzf(u)y yz x 左左= )(2xy(u)fxf(u)yx1)(xufxxy )(2uxfxy xyz =右右得证得证)xy(u)fx2 x(u)fx1 证：证：解解 令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf 1f ;2fyz zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw212

6、11fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 例例11. ),(22xyzx xzyyxfyz 验证验证设设证证,)(0 22xyxfxz ,)(1 22yyxfyz .,)( 22的偏导的偏导对对下求下求yxyxf .,)()(22的复合函数的复合函数是是则则yxufyxf ,22yxu 记记,2 xufxf ).2( yufyf yzxxzy 从而从而)21()2(dudfyxdudfxy dudfxyxdudfxy22 = x,2 ,ufxxz 故故.21 ufyyz 设设 z = f (u, v)可微可微, 当当 u, v 为自变量

7、时为自变量时, 有有vvzuuzzddd若若 u, v 不是自变量不是自变量, 而是中间变量而是中间变量, 是是否仍有这一形式否仍有这一形式?设设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微均可微, 则则z = f (u (x, y), v (x, y), yyzxxzzddd二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性由链式法则由链式法则,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz代入代入,得中,dddyyzxxzzz = f (u (x, y), v (x, y)yyvvzyuuzxxvvzxuuzzdddyyvxxvvzyyuxxuuzddddvvzuuzdd即即:不论不

8、论u, v是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, z = f (u, v)的全微分的形式不变的全微分的形式不变.解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例14 用全微分形式不变性求用全微分形式不变性求解解 记记 u = xy ,d),(zxyxyfz的全微分.,yzxz并求偏导,xyv 从而从而 z = f (u, v).vfufzddd21xyfxyfd)(d21221dd)dd(xxyyxfxyyxfyfxf xxfxy

9、f yd1d21221从而从而,221fxyf yxz211fxf xyz隐函数求导法隐函数求导法方法方法: 方程两边对方程两边对 x 求导求导. 一元函数：一元函数： f(x, y) = 0注意注意： y 是是 x 的函数的函数y=f(x), 然后解出然后解出 y .(1)是否任何一个二元方程是否任何一个二元方程 f(x, y) = 0. 都都确定了确定了y 是是 x 的函数的函数(单值单值)?如如 x2 + y2 = 1. 什么条件下确定什么条件下确定 y = f (x)?(2)若方程确定若方程确定y = f (x). 它是否可导它是否可导? 给出一般的求导公式给出一般的求导公式.(3)三

10、元三元(以上以上)方程方程f(x, y, z) = 0. 的情形怎样的情形怎样?问题问题:设函数设函数f(x, y) 在点在点 x0 = (x0, y0)的邻域的邻域u(x0)内有连续偏导数内有连续偏导数.一、方程一、方程f(x, y) = 0且且f (x0, y0) = 0,. 0,()00yxfy则方程则方程 f(x, y) = 0在点在点 x0 = (x0, y0)的某邻域内唯的某邻域内唯一确定一个有连续导数的一确定一个有连续导数的(单值单值)函数函数 y = f (x),它满足它满足 y0 = f (x0). 且且.ddyxffxy (隐函数存在定理隐函数存在定理) 定理定理1隐函数的

11、求导公式隐函数的求导公式例例1. 方程方程 x2 + y2 1= 0,当当x = 0时时, y = 1.dd0 xxy求求法法1. x2 + y2 = 1两边对两边对 x 求导求导, y 是是 x 的函数的函数, yxy 解得解得. 00 xy2x+2y y = 0法法2. f (x, y) = x2 + y2 1yfxfyx2 ,2 yxffxyyx dd 从从而而0dd0 xxy解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 定理定理1可推广到方程中有多个变量的情形可推广到方程中有多个变量的情

12、形.二、方程二、方程 f(x, y, z) = 0设三元函数设三元函数 f(x, y, z) 在在 x0=(x0, y0, z0)的邻的邻域域 u(x0)内有连续编导，内有连续编导，f(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0) 0, 则在则在 x0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数导的函数 z = f (x, y), 满足满足 z0=f (x0, y0), 且且zyzxffyzffxz , 定理定理2例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求设设法法1. 记记 f(x, y, z) = sin(x 3z) 2y z有有 fx =

13、 cos(x 3z),故故zxffxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyffyz 1)3cos(32 zxfy = 2, fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求两边对两边对 x 求偏导，求偏导，z 是是 x 的函数，的函数，y看作常数看作常数.)3cos(zx)3cos()3cos(31 zxzxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx类似得类似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz解令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzx

14、z 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例5 5 设设,czbyax1222222 求求.yz,xz 令令,czbyaxx,y,zf1)(222222 ,axfx22 ,byfy22 22czfz zxffxz zaxc22 zyffyz zbyc22 例例6 设设, zyxz)y(xsin32322 求求.yzxz1 令令zyxzyxsinx,y,zf32)32(2)( 1)32(2 zyxcosfx22)32(2 zyxcosfyxf2 33)()32(2 zyxcosfzxf-3 zyzxffffyzxz . 13231 例例7 设设0)( zy,xzf且且f具有连

15、续的一阶具有连续的一阶法法1 )(x,y,zf)(21xzffx )(1221zyfxffz zxffxz 确定确定),(x,yzz 偏导数偏导数,求求.yz,xz 令令)(zy,xzfzy,vxz,uu,vf )(zffy12 221213yfxfxzfz zyffyz 2122xyffzxzf 例例7 设设0)( zy,xzf且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法2确定确定),(x,yzz 偏导数偏导数,求求.yz,xz 等式两边对等式两边对x求偏导求偏导zy,vxz,uu,vf )( xz uzxu vzxv 02221 zxzyfxzxxzf221212yfxfxzfzxz 例例7 设

16、设0)( zy,xzf且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法3 3确定确定),(x,yzz 偏导数偏导数,求求.yz,xz 利用一阶全微分形式不变性利用一阶全微分形式不变性0)()(21 xydfxzdf02221 zydzzdyfxzdxxdzfdyxyffz-xzfdxyfxfxzfzdz2122221212 xz yz 思路：思路：xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函

17、数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 例例9 设方程设方程f(x2+y2+z2, sinxy)=0, f c1, 求求. ,yzxz方法方法1(公式法公式法): 方程左边是方程左边是x, y, z的复合函数的复合函数用链式法则求用链式法则求fx , fy , fz .fx = f 1 ,2cos2121zfxyfyxfxzfy = f 1 fz = f 1 1212cos2zfxyfxyfyz= 2xf 1+ ycosxy f 22x +f 2 cosxy y= 2yf 1+ xcosxy f 22y +f

18、2 cosxy x= 2zf 12z +f 2 0方法方法2 方程方程 f(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对两边对 x 求偏导求偏导. 其中其中 z 是是 x 的函数的函数, y看作常量看作常量.= 0,2cos2121zfxyfyxfzx解得解得:,2cos2121zfxyfxyfzyf 1 (2x+2z zx )+ f2 cosxy y例例10 设设 z = z(x, y) 是由方程是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所确所确定的函数定的函数, 其中其中 c1，证明，证明 z = z(x, y) 满足满足yxyzxzxzzy)()(证证 记记 f (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有有 f x = 1 f z =