可降阶的微分方程

1、1)()(xfyn 型的方程型的方程),(yxfy 型的方程型的方程),(yyfy 型的方程型的方程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2)()(xfyn 一、一、 型的方程型的方程特点特点是未知函数是未知函数 y 的的n 阶导数阶导数,且不含未知函数且不含未知函数 y 及其及其.y 两边积分两边积分 1)1(d)(cxxfyn 21)2(dd)(cxcxxfyn接连积分接连积分n次次, ,右端是右端是自变量自变量x的一个已知函数的一个已知函数,导数导数左端左端)()(xfyn 再积分再积分得到含有得到含有n个任意常数的通解个任意常数的通解. . 1)1(d)(cxxfyn3

2、例例 求解方程求解方程3cosxyex 解解 将方程积分三次将方程积分三次, 得得xey331 xey391 xey3271 最后得到的就是方程的通解最后得到的就是方程的通解.xsin 1c xcos xc1 2c xsin 212cx xc2 3c 3127xe xsin 21c x xc2 3c 4二、二、 型的方程型的方程),(yxfy 特点特点方程缺方程缺y.解法解法, py 将将p作为新的作为新的则方程变为则方程变为 p这是一个关于变量这是一个关于变量 x, p 的的一阶一阶微分方程微分方程.如果其通解为如果其通解为),(1cxpp 则由则由),(1cxpy 再积分一次再积分一次,2

3、1d),(cxcxpy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 设设 xpdd.p 未知函数，未知函数，),(fpx5001,4xxyy 例例 解方程解方程 因方程中不含未知函数因方程中不含未知函数y,yp 解解令令型型属属),(yxfy ,yp 代入原方程代入原方程, 得得2331x ppx p的可分离变量的一阶方程的可分离变量的一阶方程23d3d1pxxpx 31lnln 1lnpxc31(1)pcx由初始条件由初始条件04xy 知知c1=4, 所以所以34(1)yx y的分离变量方程的分离变量方程2331x yyx 63d4(1)dyxx424yxxc再由初始条件再由初始条件, 10 x

4、y知知c2 = 1故所求故所求解为解为441yxx001,4xxyy 2331x yyx 7阶方程阶方程的的、对于不含有对于不含有nyyyk)1( 0),()()( nkyyxf令令.)(kyp 0),()( knppxf求出通解后求出通解后,只须作变换只须作变换,再积分再积分k次次,即可求得原方程的通解即可求得原方程的通解.方程就可化为方程就可化为阶方程阶方程kn 8例例 解方程解方程 . 01)4()5( yxy解解 令令,)4(yp 则方程变为则方程变为, 01 pxp由分离变量法解得由分离变量法解得.1xcp 于是于是,1)4(xcy 所以原方程的通解为所以原方程的通解为5423325

5、1cxcxcxcxcy 积分积分4次次 可分离变量方程可分离变量方程9 xyydd22ddxyy 特点特点解法解法方程缺自变量方程缺自变量x 三、三、 型的方程型的方程),(yyfy 则则xpdd xydd ,ddypp 方程变成方程变成 yppdd这是关于变量这是关于变量y , p 的的一阶方程一阶方程.设它的通解为设它的通解为).,(1cyp 分离变量并积分分离变量并积分,得通解为得通解为21),(dcxcyy p设设ypdd ).,(pyf y p )(yp)(ypx10.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程y0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1ycp 可得可得xcecy12