高中数学新人教A版必修5学案 2.2 等差数列第2课时

1、人教版高中数学必修精品教学资料2.2等差数列(第2课时)学习目标在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.合作学习一、设计问题,创设情境在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?二、信息交流,揭示规律1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,(),4;(2)-12,(),0;(3)a,(),b.2.等差

2、中项定义由三个数a,a,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时a叫做a与b的等差中项.符号表示:2a=a+ba=. 【思考】(1)在等差数列an中,是否有2an+1=an+an+2成立?等差数列又可以怎么叙述?从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.3.等差数列的性质问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.性质1:若数列an是等差数列,公差为d.若d>0,则an是递增数列;若d<0,则an是递减数列;若d=0,则an是常数列.问题2:探究等差数列an中任意两项an,am之间的关系

3、.它们之间的关系可表示为. 由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:an=am+(n-m)d公差的另一种表示:d=,性质2:an=am+(n-m)d,d=.问题3:在等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq一定成立吗?特别地,m+n=2k,则am+an=2ak成立吗?性质3:在等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.三、运用规律,解决问题4.已知数列an的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?证明你的结论.5.已知等差数列an中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列an的

4、通项公式.四、变式训练,深化提高6.三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.7.已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.五、反思小结,观点提炼参考答案二、信息交流,揭示规律1.(1)3(2)-6(3)2.问题1:略问题2:an=am+(n-m)d分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项公式.解:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得am=a1+(m-1)d.an-am=-=(n-m)d,an=am+(n-m)d.即等式成立.问题3:am+an=ap+aq一定成立;当m+n=2k时,am+an=2ak成

5、立.三、运用规律,解决问题4.证明:取数列an中的任意相邻两项an与an-1(n>1),求差得an-an-1=(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一个与n无关的常数,所以an是等差数列.5.解:a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.又a2·a4·a6=45,a2a6=9,即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3;当d=-2时,an=a4+(n-4)d=13-2n.四、变式训练,深化提高6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d.则解得相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.7.证明:a,b,c成等差数列,2b=a+c.(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),b+c,c+a,