同济第六版高数多元函数的基本概念

1、返回返回zhouq第九章第九章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用logo第第1 1节节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念 1 1、邻域、邻域 2 2 、区域、区域 3 3、二元函数、二元函数二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性 返回返回zhouq 设设),(000yxp是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxp距距离离小小于于 的的点点),(yxp的的全全体体，称称为为点点0p的的 邻邻域域，记记为为),(0 pu， （1 1）邻域）邻域0p ),(0 p

2、u |0ppp.)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念( (以二元为例以二元为例) ) 例如：点例如：点(0，2)的的0.5邻邻 域如图所示域如图所示(0，2)0.5简记为简记为)(0pu)(00pu特记特记去心邻域：去心邻域： .)()(0 | ),(2020 yyxxyx返回返回zhouq（2 2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设epepuppe .ee 的内点属于的内点属于ep .为为开开集集的的点点都都是是内内点点，则则称称如

3、如果果点点集集ee41),(221 yxyxe例如：例如：即为开集即为开集21如图所示：如图所示：返回返回zhouq的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点epeepeepep 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 ee是是连连通通的的，则则称称开开集集的的点点都都属属于于来来，且且该该折折线线上上点点，都都可可用用折折线线连连结结起起内内任任何何两两是是开开集集如如果果对对于于设设dddd连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域

4、.41| ),(22 yxyx例如例如xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. （2 2）区域）区域返回返回zhouq0| ),( yxyx为有界闭区域；为有界闭区域；为无界开区域为无界开区域xyo例如，例如，无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否则则称称为为成成立立，则则称称切切对对一一，即即不不超超过过间间的的距距离离某某一一定定点点与与，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyxxyo返回返回zhouq几点说明几点说明 平面上的邻域、区域等概念可推广到一般空间平面上的邻域、区域等概

5、念可推广到一般空间以及以及n n维空间中去；维空间中去； nrpppppu ,|),(00 如在空间中：如在空间中： 300,|),(rpppppu 邻域邻域的定义式为：的定义式为： .)()yy()xx(| )y , x( 202020 z z z，邻域邻域的几何意义为半径为的几何意义为半径为 ，球，球心在心在(x0， y0， z0) 球体，球体，如图：如图：xyz在在n n维维空间中：空间中：无几何意义无几何意义返回返回zhouq 设设d是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点dyxp ),(， 变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它

6、它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(pfz ）. . （3 3）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 1、类似地可定义三元及三元以上函数、类似地可定义三元及三元以上函数定义：定义：自变量自变量定义域定义域z的变化范围称的变化范围称值域值域因变量因变量 2、允许自变量变化的范围为、允许自变量变化的范围为定义域定义域返回返回zhouq例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义

7、域为., 42| ),(222yxyxyxd 为使分子、分母有意义，需成立下式为使分子、分母有意义，需成立下式返回返回zhouq 如图所示，二元函数如图所示，二元函数的图形通常是一张曲面的图形通常是一张曲面. .),(),(| ),(dyxyxfzzyxg称点集：称点集：为二元为二元函数的图形函数的图形。 3、二元函数的图形、二元函数的图形如如.),(222ayxyxd 222yxaz xyzo2222azyx 222yxaz .222yxaz 返回返回zhouq定定义义：设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为),(,000yxpd是是其其内内点点或或边边界界点点，如如果果对对于于任

8、任意意给给定定的的正正数数 ，总总存存在在正正数数 0 0，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxpp 的的一一切切点点，都都有有 |),(|ayxf成成立立，则则称称 a a 为为函函数数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时时的的极极限限， 记记为为 ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( ayxf这这里里|0pp ）. . 二、多元函数的极限二、多元函数的极限说明：说明：1 1）定义中）定义中pp0的方式是任意的；的方式是任意的；2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二

9、元函数的极限运算法则与一元函数类似返回返回zhouq例例2 2 求证求证 01sin)(lim222200 yxyxyx0221sin)22( yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立证明：证明：返回返回zhouq例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解：解：22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x.

10、0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 或或y0当当y0时时注意注意：多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但部分极限可通过一元函数的极限的有关结论求得；部分极限可通过一元函数的极限的有关结论求得；返回返回zhouq例例4 4 证明极限证明极限 不存在不存在证明：证明：26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在。故极限不存在。注意注意：证明多元函数的极限不存在时；一般是取两种证明多元函数的极限不

11、存在时；一般是取两种不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函数极限的定义知，该数极限的定义知，该 极限不存在；极限不存在；返回返回zhouq定定 义义 ： 设设n元元 函函 数数)(pf的的 定定 义义 域域 为为 点点 集集0, pd是是 其其 内内 点点 或或 边边 界界 点点 ，如如 果果 对对 于于 任任 意意 给给 定定的的 正正 数数 ， 总总 存存 在在 正正 数数 ， 使使 得得 对对 于于 适适 合合 不不 等等式式 |00pp的的 一一 切切 点点dp ， 都都 有有 |)(|apf成成 立立 ，则则 称称 a a 为为n

12、元元 函函 数数)(pf当当0pp 时时 的的 极极 限限 ， 记记 为为 apfpp )(lim0. . 多元函数极限的推广多元函数极限的推广 在在n维向量空间中，可将维向量空间中，可将n元函数元函数f( (x1，x2，xn) )看成空间点看成空间点p ( (x1，x2，xn) )的函数，称为的函数，称为点函数点函数，记为：记为： f( (p) )返回返回zhouq设设n元元函函数数)(pf的的定定义义域域为为点点集集0,pd 点点d ，如如果果)()(lim00pfpfpp 则则称称 n 元元函函数数)(pf在在点点0p处处连连续续. . 三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义：定义

13、：说明：说明： 同一元函数一样同一元函数一样, ,关于连续关于连续：多元函数在：多元函数在p0 0点连续，即指极限成立点连续，即指极限成立 )()(lim00pfpfpp 关于间断关于间断：没有定义的点一定是间断点，多元：没有定义的点一定是间断点，多元函数的间断点可形成一条线；函数的间断点可形成一条线；连续函数求极限等同求连续函数求极限等同求函数值函数值返回返回zhouq例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)处的连续性处的连续性解解)0 , 0(),(0fyxfyyxyxyxxyxyx22222

14、222330 yx ),0 , 0(),(lim)0 , 0(),(fyxfyx故函数在故函数在(0,0)(0,0)处连续处连续. .0返回返回zhouq例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续21kk 则极限则极限返回返回zhouq 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续上的多元连续函数，在函数，在d上

15、至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d上取得介于这两上取得介于这两值之间的任何值至少一次值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理：）最大值和最小值定理：（2 2）介值定理：）介值定理：闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质多元函数的连续性：多元函数的连续性：一切多元一切多元初等函数初等函数在其定义在其定义区域内区域内是连续的；是连续的；注：以上结论都不作证明，可直接应用；注：以上结论都不作证明，可直接应用；关于连

16、续函数的重要结论关于连续函数的重要结论返回返回zhouq例例 .11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 函数在函数在(0(0，0)0)点无定义，但点无定义，但(分子有理化分子有理化)(为连续函数为连续函数)(求函数值求函数值 )返回返回zhouq多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义返回返回zhouq 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 a，能能否否断断定定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考题思考题解答解答: 不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因若取因若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41返回返回z