高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式学案新人教A版必修4

1、人教版高中数学必修精品教学资料第2课时两角和与差的正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用(难点)自 主 预 习·探 新 知两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切t()tan(),k(kz) 且tan ·tan 1两角差的正切t()tan(),k(kz)且tan ·tan 1基础自测1思考辨析(1)存在,r,使tan()tan tan 成立()(2)对任意,r,tan()都成立()(3)tan()

2、等价于tan tan tan()·(1tan tan )()解析(1).当0,时,tan()tantan 0tan ,但一般情况下不成立(2)×.两角和的正切公式的适用范围是,k(kz)(3).当k(kz),k(kz),k(kz)时,由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子答案(1)(2)×(3)2已知tan 2,则tan_.3tan3.3_.原式tan(75°15°)tan 60°.合 作 探 究·攻 重 难两角和与差的正切公式的正用(1)已知,均为锐角,tan ,tan ,则_.(2)如图3­1&

3、#173;2,在abc中,adbc,d为垂足,ad在abc的外部,且bdcdad236,则tanbac_.图3­1­2思路探究(1)先用公式t()求tan(),再求.(2)先求cad,bad的正切值,再依据tanbactan(cadbad)求值(1)(2)(1)tan ,tan ,tan()1.,均为锐角,(0,),.(2)adbc且bdcdad236,tanbad,tancad,tanbactan(cadbad).规律方法1.公式t(±)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式t(±)的右侧为分式形式,其中分子为tan 与tan 的和或差,分母为1与

4、tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同,分母反2利用公式t()求角的步骤：(1)计算待求角的正切值(2)缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息(3)根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练1(1)(2018·全国卷)已知tan,则tan _.(2)已知角,均为锐角,且cos ,tan(),则tan _.(1)(2)3(1)因为tan,所以tan tan.(2)因为cos ,为锐角,所以sin ,tan ,所以tan tan()3.两角和与差的正切公式的逆用(1)_.(2)_. 【导学号：84352318】思路探究注意特殊角的正切值和公式t(±)的结构,适当变形后逆用公式

5、求值(1)(2)1(1)原式tan(45°15°)tan 60°.(2)原式tan(30°75°)tan 45°1.规律方法公式t(±)的逆用一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan1,tan,tan等.要特别注意tan,tan.跟踪训练2已知、均为锐角,且sin 22sin 2,则()atan()3tan()btan()2tan()c3tan()tan()d3tan()2tan()asin 22sin 2,sin()()2sin()(),sin()cos()cos()sin()2sin()cos()2cos

6、()sin(),sin()cos()3cos()sin(),两边同除以cos()cos()得tan()3tan()两角和与差的正切公式的变形运用探究问题1两角和与差的正切公式揭示了tan tan 与哪些式子的关系？提示：揭示了tan tan 与tan tan ,tan tan 与tan tan 之间的关系2若tan 、tan 是关于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的两个根,则如何用a、b、c表示tan()?提示：tan().(1)tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°_.(2)已知abc中,tan btan ctan bta

7、n c,且tan atan btan atan b1,试判断abc的形状.【导学号：84352319】思路探究(1)看到tan 67°tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°22°)展开变形,寻找解题思路(2)先由关于角a,b的等式求出tan(ab)得角ab,然后求角c并代入关于角b,c的等式求角b,最后求角a,判断abc的形状(1)1tan 67°tan 22°tan(67°22°)(1tan 67°tan 22°)tan 45°(1tan

8、 67°tan 22°)1tan 67°tan 22°,tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°1tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°1.(2)解：tan atan btan atan b1,(tan atan b)tan atan b1,tan(ab).又0ab,ab,c.tan btan ctan btan c,tan c,tan btan b,tan b,b,a,abc为等腰钝角三角形母题探究：1.将例3(1)中的角同时增加1

9、6;结果又如何？解tan 45°tan(68°23°),1tan 68°tan 23°tan 68°tan 23°,即tan 68°tan 23°tan 68°tan 23°1.2能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能,试证明解一般结论：若45°(,k180°90°,kz),则tan tan tan tan 1.证明：tan 45°tan(),1tan tan tan tan ,即tan tan tan tan 1.规律方法1.整体意识

10、：若化简的式子中出现了“tan ±tan ”及“tan ·tan ”两个整体,常考虑tan(±)的变形公式2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)1tan tan ；(3)tan tan tan ·tan ·tan()tan()；(4)tan ·tan 1.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时,常考虑使用两角和或差的正切公式当 堂 达 标·固 双 基1若tan 3,tan()2,则tan ()abc1d1atan tan().2已知tan tan 2,tan()4,则tan tan 等于() 【导学号：84352320】a2b1 cd4cta