可分离变量的微分方程57869

1、0),(),( dyyxqdxyxp(对称式对称式) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 形如形如解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法cxfyg )()(为微分方程的为微分方程的解解叫做方程的叫做方程的隐式解隐式解又叫又叫隐式通解隐式通解. .二、典型例题二、典型例题例例1 1 求解微分方程求解微分方程yxxy23dd的通解的通解. .例例2 2.dd的通解的通解求方程求方程yxexy 例例3 3 一曲线通过点（一曲线通过点（2 2，3 3），它在两坐标轴间的任一），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点平分，求这曲线方程。切线段均被切点平分，求这曲

2、线方程。思考与练习思考与练习化下列方程为可分离形式：化下列方程为可分离形式：0ln).1 (yyyx2211).2(yyx0tansectansec).3(22xdyyydxx定义定义)(xyfdxdy 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换,xyu 例例1 1 解微分方程解微分方程0)2(22 dyxdxxyy例例 2 2 解微分方程解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx例例 3 3 解微分方程解微分方程02)2(22xydxdyxy1.1.定义定义 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式: :)

3、()(xqyxpdxdy , 0)( xq当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的. ., 0)( xq当当上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. .一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程2.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey分离变量法分离变量法:常数变易法常数变易法 dxxpexuy)()( dxxpdxxpecdxexqy)()()(dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解(c=0)非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为例例1 1.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy

4、 例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于y y轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线3( )(0)yf xyxx 与截下的线段截下的线段pqpq之长数值上之长数值上等于阴影部分的面积等于阴影部分的面积, ,求曲线求曲线y=f(xy=f(x).).xyoxpq3xy )(xfy 例例3 3 解方程解方程0)ln(lndyyxydxy二、伯努利方程二、伯努利方程1.1.定义定义: : 伯努利伯努利(bernoulli)(bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxqyxpdxdy)()( )1 , 0( n时时，当当1 , 0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. .时时，当当1 ,

5、 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程. .2.2.解法解法: : 经过经过变量代换变量代换化为线性微分方程化为线性微分方程. .例例 3.42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;)(sin1. 12xyxyxdxdy ;1. 2yxdxdy 2)(. 3yxdxdy)ln(ln. 4yxyyyx1cossin2sin) 1(sin2. 522xxxyxyy思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型: :xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(

6、3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(xxyyydd1可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用, , 伯努利伯努利(1654 1705)(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家, , 位数学家位数学家. . 标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式, , 16951695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术, ,上的一件大事上的一件大事, , 而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定律的最早形式. . 年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程, , 他家祖孙三代出过十多他家祖孙三代出过十多 16941694年他首次给出了直角坐年他