3系统时域分析一

1、 3.1 本节内容 如何建立连续时间系统和离散时间系统的数学模型* 线性时不变（linear time invariance,lti）系统的特点解 令表示质点在第k秒末的行程，则根据题意，有 即 上式中待求变量的序号（ ）最多相差2，称为二阶差分方程。 3.1【例3-5】一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所行距离的2倍，试列出描述该质点行程的方程。 ky kykykyky1212 02132kykykykkk, 1, 2 3.1 连续连续lti系统系统用用n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程描述描述 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)

2、1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai 、 bj为常数。为常数。 离散离散lti系统系统用用n阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程描述描述 00jkfbikyajmjiniai 、 bj为常数。为常数。 3.1lti系统除系统除具有具有线性特性线性特性和和时不变特性时不变特性，还具有，还具有:1）微分特性或差分特性：）微分特性或差分特性：若 t f(t)=y(t)则 ttyttftd)(dd)(d若 tfk= yk则 t fk -fk-1= yk - yk-1 2）积分特性或求和特性：）积分特性或求和特性：若 t f(t)=y(t)则 d)(d)(yft

3、tt若 tfk= yk则 nynftknkn 3.2 微分方程的全解即系统的完全响应微分方程的全解即系统的完全响应, 由由齐次解齐次解yh(t)和和特解特解yp(t)组成组成)()()(phtytyty 齐次解齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定的形式由齐次方程的特征根确定 特解特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定的形式由方程右边激励信号的形式确定 齐次解齐次解yh(t)的形式的形式(1) (1) 特征根是不等实根特征根是不等实根 s1, s2, , sntsntstsnkkktyeee)(2121h(2) (2) 特征根是等实根特征根是等实根 s1=s2=sn =s ts

4、nntststktkkty 1 2 1heee)(3) (3) 特征根是成对共轭复根特征根是成对共轭复根)sincos(e)sin cos(e)(11211h1tktktktktyinintti2/,jnisiii 输入信号 特解 k a kt a+bt keat(特征根 sa) aeat keat(特征根 s=a) ateat ksin0t 或 kcos0t asin0t+ bcos0t keatsin0t 或 keatcos0t aeatsin0t+ beatcos0t 例例3-83-8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y

5、(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号f (t)=e t u(t)，求系求系统的完全响应统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，ttbaty42hee)(特征根特征根为为齐次解齐次解yh(t)解解: (1) 求求齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的的齐次解齐次解yh(t)特征方程特征方程为为t0 例例3-83-8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号f (t)=e t u(t)，求系统的完全响应求

6、系统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty解解: (2) 求求非非齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的的特解特解yp(t)由由输入输入f (t)的形式，设方程的的形式，设方程的特解特解为为yp(t) = ce t将将特解特解带入原微分方程即可求得常数带入原微分方程即可求得常数c=1/3。t0 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号f (t)=e t u(t)，求系统的完全响应求系统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)

7、(ttftytyty解解: (3) 求方程求方程的全解的全解 解得解得 a=5/2，b= 11/6 tttbatytytye31ee)()()(42ph131)0(bay23142)0( bay0,e31e611e25)(42ttyttt齐次解齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激 励信号的函数形式无关励信号的函数形式无关被称为被称为系统的自由响应或系统的自由响应或 固有响应固有响应；特解特解的形式由激励信号所决定的形式由激励信号所决定称为称为强迫响应。强迫响应。 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。

8、若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响响 应的物理概念。应的物理概念。1. .系统的零输入响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()( )()( 01)1(1)(tyatyatyatynnn 数学模型数学模型: 求解方法：求解方法： 根据微分方程的根据微分方程的特征根特征根确定确定零输入响应零输入

9、响应的形式的形式 再由再由初始条件初始条件确定待定系数。确定待定系数。 解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为 例例3-103-10 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为的动态方程式为: y (t)+5y (t) +6y (t) =f(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0 ) = 1，y (0 ) = 2，求求系统的系统的零输入响应零输入响应yx(t)。0652 ss3221ss，ttxkkty3221ee)(0,e4e5)(32ttyttx系统的系统的特征根特征根为为 y(0 )=yx(0 )=k1+k2=1 y (0 )= yx(0 )= 2k1 3k2

10、 =2解得解得 k1= 5，k2= 4【例例】如图所示的电路，已知如图所示的电路，已知 ，电感电流，电感电流 为响应，求零输入响应、零状为响应，求零输入响应、零状态响应和全响应。态响应和全响应。 ,4,61,5,1atifcrhls,10vuai20 ti图 2.3 电路图 duliilll)()()( 00100 dicuuccc)()()( 00100)()( 00ccuu)()( 00llii解由例由例2.1可导出关于电流可导出关于电流 的微分方程的微分方程 ti tilctilcdttdilrdttids1122代入数据得代入数据得 titititis665 （1）求）求zir 令上式

11、中令上式中 ，有齐次方程，有齐次方程 0tis 065 tititi其特征方程为其特征方程为 0652得特征根得特征根 3, 221zirzir的形式为的形式为 ttzieaeati3221式式2.3.12.3.100ii00uuaiizi200 dttdiltul010lziuldtdi 由图由图2. 3（b），根据），根据kvl可得：可得： 9000zilriuu9010lziuldtdi在式在式（2.26）及其导数的关系式中令及其导数的关系式中令 ，有，有 0t9320202121aaiaaizizi5, 321aa将其代入式（将其代入式（2.3.1）得）得 05332teetittzi

12、（2）求）求zsr 当当 时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应 是下面微分方程的解是下面微分方程的解 4sita tizs 02465 ttititi该解由两部分组成，即该解由两部分组成，即 特解齐次解tititiphzs齐次解形式为齐次解形式为 tthebebti3221特解的形式应与激励相同，因激励为直流信号，可特解的形式应与激励相同，因激励为直流信号，可 设为常设为常数，令数，令 代入微分方程，得代入微分方程，得 tip itip 4tip故故zsrzsr可写为可写为 43221ttzsebebti式（式（2.3.2） 由题意可得由题意可得 且且 000uu00zsi根据图根据图2.

13、3（c）等效电路可得）等效电路可得 0001000uriliizszszs在式（在式（2.3.2）及其导数的关系式中令）及其导数的关系式中令 ，有，有 0t03200402121bbibbizszs8,1221bb将其代回式（将其代回式（2.3.2）得）得zsr为为 0481232teetittzi系统的全响应为：系统的全响应为： 232323351284151340tttttti teeeeeet 求解求解系统的零状态响应系统的零状态响应yf (t)方法：方法： 1) 直接求解直接求解初始状态为零的微分方程。初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性

14、求解。利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为产生的响应称为系统的零状态响应系统的零状态响应，用，用yf (t)表示。表示。2. .系统的零状态响应系统的零状态响应 卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yf (t)的思路的思路1) ) 将任意信号分解为将任意信号分解为单位冲激信号单位冲激信号的线性组合的线性组合 2) ) 求出求出单位冲激信号单位冲激信号作用在系统上的响应作用在系统上的响应 冲激响应冲激响应 h(t), h(t)=t(t)3) ) 利用利用线性时不变系统线性时不变

15、系统的特性，即可求出任意的特性，即可求出任意信号信号f(t)激励下系统的激励下系统的零状态响应零状态响应yf (t) 。卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yf (t)推导推导由由时不变特性时不变特性由由均匀特性均匀特性d)()(tftd)()(thf)()(d)()()(thtfthftyf)()(lim)()()(lim)(00ktkfktuktukftfkkd)()()(tftf由由信号分解理论，信号分解理论，t(t)=h(t)t(t-k)=h(t-k )tf(k )(t-k)=f(k ) h(t-k )由由叠加特性叠加特性t f(k )(t-k)= f(k ) h(t-k

16、)kk当当0时，上式可写成时，上式可写成卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yf (t)推导推导)()(tht)()(tht)()()()(thftf由由时不变特性时不变特性由由均匀特性均匀特性由由积分特性积分特性d)()()(tftfd)()( )(thftyf)()(d)()()(thtfthftyf 例例 已知已知lti系统在系统在f1(t)激励下产生的响应为激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在，试求系统在f2(t)激励下产生的响应激励下产生的响应 y2(t) 。t011f1(t)f2(t)t011从从f1(t)和和f2(t)图形可以看得出，图形可以看得出，f2(t)与

17、与f1(t)存在以下关系存在以下关系 d)() 1()(11)1(12ftftft根据根据线性时不变线性时不变性质，性质，y2(t)与与y1(t)之间也之间也存在同样的关系存在同样的关系 d)()(11 2ytyt) 1()e1 (5 . 0)1(2tut 例例 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为：的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0 ) = 1，y(0 ) = 3，求，求系统的系统的零输入响应零输入响应yx(t)。解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为系统的系统的特征根

18、特征根为为0522 ssj21j2121ss，)2sin2cose)(21tktktytx（y(0 )=yx(0 )=k1=1 y (0 )= yx(0 )= k1+2k2 =3解得解得 k1= 1，k2= 20),2sin22(cose)(ttttytx 例例 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0 ) = 2，y(0 ) = 1，求系统的求系统的零输入响应零输入响应yx(t)。解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为0442 ss221 ssttxtkkty2221ee)(0,e3e2)(2