83格林公式及应用

1、单连通与多连通区域单连通与多连通区域 区域的边界曲线的方向区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域当观察者沿区域d d的边界曲线的边界曲线l l行走时行走时 如果左手在区域如果左手在区域d d内内 则行走方向是则行走方向是l l的正向的正向，记作，记作 单连通区域单连通区域多连通区域多连通区域 设设d d为平面区域为平面区域 如果如果d d内任一闭曲线所围的部分都属于内任一闭曲线所围的部分都属于d d 则称则称d d为平面为平面单连通区域单连通区域 否则称为否则称为多连通区域多连通区域 8-3 8-3 格林公式格林公式 . . 平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件l

2、定理定理1 1d设有界闭区域设有界闭区域由分段光滑由分段光滑l曲线曲线 围成围成、),(yxp),(yxq上上在在d具有具有连续的偏导数连续的偏导数则则 lpdxqdy dxq ()yp dxdy其中其中 的方向的方向l的的指指d边界线边界线的正向的正向证证0 xyab)(1xyy )(2xyy ldxyxp),( badxxyxp)(,1 abdxxyxp)(,2 dyp dxdy badx )()(21xyxyyp dy ba),(yxp)(,1xyxpdxxyxp)(,2 证明证明(2)(2)l1l2l3ld1d2d3d两式相加得两式相加得 ldqdypdxdxdyypxq)(将将d分成

3、三个既是分成三个既是 x型又是型又是 y型的区域型的区域1d, ,2d, ,3d. . 321)()(dddddxdyypxqdxdyypxq同理可证同理可证( , )ldqdxdyq x y dyx 321)()()(ddddxdyypxqdxdyypxqdxdyypxq 321lllqdypdxqdypdxqdypdx lqdypdx1d2d3dl1l2l3l),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对dlllgd3l2lfce1lab证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段abab, ,cece. .则则d的边界曲线由的边界

4、曲线由abab, ,2l, ,ba,ba,afc,ceafc,ce, , 3l, , ecec及及cgacga构成构成. .由由(2)知知 ddxdyypxq)( ceafcbalab23()leccgapdxqdy lqdypdx 231)(lllqdypdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对dlll便便于于记记忆忆形形式式: ldqdypdxdxdyqpyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.注意： 对复连通区域对复连通区域d 格林公式右端应包括沿区域格林公式右端应包括沿区域d的全部边的全部边界的

5、曲线积分界的曲线积分 且边界的方向对区域且边界的方向对区域d来说都是正向来说都是正向 lpdxqdy dxq ()yp dxdy1例例求求 ldxy4dyxy34 :l422 yx的正向的正向解解 ldxy4dyxy34 d34( ydxdyy )43 0 2例例求求 ldxxey)(3 dyxxey)4( :l正方形正方形、)1 , 1(、)1 , 1( 、)1, 1( )1, 1( 的逆时针的逆时针方向方向解解 ldxxey)(3 dyxxey)4( d4( yedxdyey) 16 pqxyol解解 引引入入辅辅助助曲曲线线l,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分abdboaboal 应

6、应用用格格林林公公式式, xqp , 0 有有 ldxdydxdy, boaboaxdyxdyxdy, 0, 0 booaxdyxdy由于由于.412rdxdyxdydab 例例4 4求求 lydxsindyxyx)4cos( :l222ayx 沿沿的的一一象象限限部部分分，), 0(aa从从)0 ,(ab至至0 xyab解解0 xyaboba ydxsindyxyx)4cos( ddy(cos4 )cos y dxdy2a 1i aoydxsindyxyx)4cos( 0 x0 2i obydxsindyxyx)4cos( 0 y0 3i baydxsindyxyx)4cos( oba ao

7、 ob ba321iii 2a 3i2a lydxsindyxyx)4cos( 3i 2a 例例5 5求求 l22yx xdyydx l其中其中 为一条为一条无重点无重点不过原点不过原点的分段光滑的分段光滑,封闭曲线封闭曲线 取逆时针取逆时针方向方向解解l设设所围区域所围区域d为为 p,22yxy q22yxx xq 222)(yx 22yx x x2 yp l22yx xdyydx 0 0 xyldl当当)1(不包含不包含 原点时原点时l当当)2(包含包含原点时原点时0 xyl:l补线补线22yx 2r l1d内内在封闭线在封闭线l上上在在1d用格林公式用格林公式 ll22yx xdyydx

8、 0 l22yx xdyydx l22yx xdyydx 0 :l22yx 2r trxcos trysin:t02 l22yx xdyydx 02 tr22costr22sin dt2r 2 l22yx xdyydx 2 解解 令令2, 0yxeqp ,2. 2. 计算二重积分计算二重积分xyoab11d则则 2yeypxq ,应应用用格格林林公公式式, ,有有 boaboaydydyxedxdye22 1022dxxedyxexoay).1(211 e格林公式格林公式: ldqdypdxdxdyypxq)(取取,xqyp 得得 ldydxxdydxdy2闭闭区区域域d的的面面积积 lydx

9、xdya21.取取, 0 xqp 得得 lxdya取取, 0, qyp 得得 lydxa3. 3. 计算平面面积计算平面面积 曲线曲线amo由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,解解ona为为直直线线0 y. lydxxdya21 amoonaydxxdyydxxdy2121)0 ,(aanm amoydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa 2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件yxo例例. 计算,dd22yxxyxl其中l为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyl(2) 抛物线 ;10:,:2yyxl(3)

10、 有向折线 .:aboal)0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 称积分与路径无关称积分与路径无关 这是因为这是因为 设设l1和和l2是是d内任意两条从内任意两条从点点a到点到点b的曲线的曲线 则则l1 (l2 )是是d内一条任意内一条任意的闭曲线的闭曲线 而且而且有有021llqdypdxqdypdx 0)(21 llqdypdx 21llqdypdxqdypdx021llqdypdxqdypdx 曲线积分与路径的关系曲线积分与路径的关系在d意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿 d内任内任abpdxqdyqd

11、ypdx=0=0c曲线积分与路径的关系曲线积分与路径的关系 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) )(闭曲线的曲线积分为零则曲线积分lqdypdx在d内与路径无关 或沿 d 内任意( )数设函数p x y 及q(x y)在单连通域d内具有一阶连续偏导在d内处处成立pqyx在d意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿 d内任内任abpdxqdyqdypdx=0=0c应用定理2应注意的问题 (1)区域区域d是单连通区域是单连通区域 2) 2)函数函数p(x y)及及q(x y)在在d内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导

12、数 如果这两个条件之一不能满足如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保那么定理的结论不能保证成立证成立 (例例5).0 xqypqdypdxqdypdxll与路径无关 表达式表达式p(x y)dx q(x y)dy与函数的全微分有相同的结构与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分但它未必就是某个函数的全微分 那么在那么在什么条件下表达式什么条件下表达式p(x y)dx q(x y)dy是某个二元是某个二元函数函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出怎样求出这个二元函数呢？这个二元函数呢？ 二元函数二元函数u(x y)

13、的全微分为的全微分为du(x y) ux(x y)dx uy(x y)dy 二元函数的全微分求积原函数 如果函数如果函数u(x y)满足满足du(x y) p(x y)dx q(x y)dy 则则函数函数u(x y)称为称为p(x y)dx q(x y)dy的的原函数原函数 设函数设函数p(x y)及及q(x y)在单连通域在单连通域d内具有一阶连续偏导内具有一阶连续偏导数数 则则p(x y)dxq(x y)dy在在d内恰是某一函数内恰是某一函数u(x y)的的全微分全微分的充分必要条件是等式的充分必要条件是等式 在在d内恒成立内恒成立 xqyp定理3 推论推论 设函数设函数p(x y)及及q

14、(x y)在单连通域在单连通域d内具有一阶连续偏内具有一阶连续偏导数导数 对任意两点对任意两点 曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关的充要条件是：的充要条件是：p(x y)dxq(x y)dy恰是某一函数恰是某一函数u(x y)的全的全微分，此外，当微分，此外，当pdxqdy是是u(x y)的全微分时，有的全微分时，有,a bdabpdxqdy ) ).babapdxqdyduu bu a总结: 设d 是单连通域 ,),(),(yxqyxp在d 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿d 中任意光滑闭曲线 l , 有.0ddlyqxp(2) 对d 中任一分段光滑曲线 l, 曲线积分(3)yqxpdd

15、),(yxuyqxpyxudd),(d(4) 在 d 内每一点都有.xqyplyqxpdd与路径无关, 只与起点及终点有关. 函数则以下四个条件等价:在 d 内是某一函数的全微分,即 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, ll21ddddllyqxpyqxp2ddlyqxp21ddllyqxp0ab1l2l2ddlyqxp1ddlyqxp为d 内任意两条由a 到b 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)bayqxpddabyqxpdd证明证明 (2) (3)在d内取定点),(00yxa因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyqxpyxu),(

16、),(yxuyxxuux则),(yxpxuxuxx0lim),(lim0yxxpx),(),(ddyxxyxyqxp),(),(dyxxyxxpxyxxp),(同理可证yu),(yxq因此有yqxpuddd和任一点b( x, y ),与路径无关,),(yxxc),(yxb),(00yxa有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yqxpuddd则),(),(yxqyuyxpxup, q 在 d 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在d内每一点都有xqypxyuxqyxuyp22,证明证明 (4) (1)设l为d中任一分段光滑闭曲线,dd (如图) ,上因此

17、在dxqyp利用格林公式格林公式 , 得yxxqxqyqxplddd)(ddddl0所围区域为yx说明说明:根据等价命题 , 若在某区域内,xqyp则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = p dx + q dy在域 d 内的原函数:dyx),(00及动点,),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;7例例

18、l设设dxxy2dyxy)( 与路径无关与路径无关 其中其中具有连续具有连续 的导数，的导数，0)0( 且且计算计算 )1 , 1()0,0(dxxy2dyxy)( ,2xyp )(xyq 解解原积分原积分与路径无关与路径无关 ypxy2)(xy xq )(x cx 20)0( 又又0 c )1 , 1()0,0(dxxy2dyxy)( )1 , 1()0,0(dxxy2dyyx2 0 xy)1 , 1(0 10ydy21 方法一 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxqdxyxpyxu yyxxdyyxqdxyxpyxu00),(),(),(0 xxyydxyxpdyyxqyxu

19、00),(),(),(0 求原函数的方法求原函数的方法求求 的原函数的方法如下的原函数的方法如下:pdxqdy),p x yq x yd,qpxy若若在单连通域在单连通域中有连续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足方法二方法二(1) 先固定先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数y),p x yx为了求为了求 的原函数的原函数 ,),p x y dxq x y dy),u x y显然显然)1,up x yxupx)10,uux令令) )1,u x yux yy,uqy )1,uyq x yy对对 积分可求出积分可求出y ).y)1,u x y对对 积分积分x),p x y )1,uyq

20、x yy方法三方法三:凑全微分法凑全微分法8例例内，内，在在rr 证明证明dxxy2ydyx2 是某个函数是某个函数,的全微分的全微分 并求出并求出 一个一个这样的函数这样的函数证证xq xy2 yp 是某个函数是某个函数的全微分的全微分),(yxu ),()0,0(yxdxxy2ydyx2 0 xy)0 ,(xa),(yxb0 y0ydyx22221yx 22211( , )2u x yxy dxx y 221( )( )( ( )2u xx yyy待待定定 解二：先固定解二：先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数y),p x yx )22,x yyq x yx y )yc221( )2u xx yc222222121( , )2xy dxx ydydx yu x yx y解解三三：221sinsinxxyxyyxxyyyxy解解：21sincos,xyxyxyy 221sindsindxxyxyxyxxyyyy )221ddddsindsindxx