25函数的最大值与最小值2

1、2 25 5函数的最大值与最小值（二）函数的最大值与最小值（二） 教学目的：教学目的：1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题。 教学重点：教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题教学难点：教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 复习引入复习引入1、函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 定理：定理：一般地，在闭区间一般地，在闭区间aa，bb上连续的函数上连续的函数f f（x x） 在在aa，bb上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值注：注：在开区间在开区间( , )a b内连续的函数内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值不一定

2、有最大值与最小值 如函数如函数xxf1)(在在), 0( 内连续，但没有最大值与最小值；内连续，但没有最大值与最小值； 函数函数f（x）在闭区间）在闭区间a，b上连续，是上连续，是f（x）在闭区间）在闭区间a，b上有最大值与最小值的上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件 2、利用导数求函数最值的步骤利用导数求函数最值的步骤 一般地一般地,设设y=f(x)是定义在是定义在a,b上的函数上的函数,y=f(x)在在(a,b)内有导数内有导数,求函数求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值上的最大值与最小值,可分可分为两步进行为两步进行:求求y=f(x)在在(a,b)内的极

3、值内的极值(极大值或极小值极大值或极小值);将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 为最大值为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到在什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题。我们已经学过了利用二次函数、均值不等式求最值，今天来学习利用导数解决这类问题。 学习新课学习新课例例1 用边长为用边长为60 cm60 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先的正方形铁皮做一个无盖水箱，先 在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转在四个角分别截去一个小

4、正方形，然后把四边翻转9090角，再焊接而成角，再焊接而成( (如图如图) ) ，问水箱底边的长取多少，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？时，水箱容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx例题讲解例题讲解23( )( )602xv xv xx求的导数得：602xh)600( x260)(322xxhxxv解法一解法一：设水箱底边长为：设水箱底边长为xcm，则水箱高，则水箱高 cmcm， 水箱容积水箱容积 23( )602xvxx令令 0 0，解得，解得 x=0（舍去），（舍去），x=40，求得求得v(40)=16 000v(40)=16 000当当x在在(0,60)内变化

5、时内变化时,导数导数v(x)的正负如下表的正负如下表因此在因此在x=40 x=40处处, ,函数函数v(xv(x) )取得取得极大值极大值, ,并且这个极大值就是并且这个极大值就是函数函数v(xv(x) )的最大值的最大值. .答答: :水箱底边长取水箱底边长取40cm40cm时时, ,容积最大容积最大, ,最大容积为最大容积为16 000cm16 000cm3 3. .- -0+(40,60)40(0,40)x( )v xxxxv2)260()()300( x解法二：设箱高为解法二：设箱高为xcm，则箱底长为，则箱底长为(60-2x)cm，则得，则得 箱子容积箱子容积由题意可知，当由题意可知

6、，当x过小或过大时箱子容积很小，过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处以下同解法一所以最大值出现在极值点处以下同解法一. .说明说明:在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在最大值在最大值(或最小值或最小值),而且而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点的极值点,那么可以立即断定那么可以立即断定,这个极值点的函数值就是最大值这个极值点的函数值就是最大值(或或最小值最小值) (不必与端点的函数值比较不必与端点的函数值比较) .这一点在解决实际问题中很这一点在解决实际问题中很有用有用.

7、课堂练习：课本p45练习1，2题 1. 把长度为 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成的矩形的面积最大。lcm解：设所围矩形长 ，则宽为 矩形面积 求导数得 令 得列表 故 时，函数有极大 值且是最大值。答：将线段分成相等的四段所围矩形面积最大。 xcmcm)x2(l )2/lx0)(x2l(xs 2lx2s 0s 4lx xy)4l,0()2l,4l( 4lx 课堂练习：课本p45练习1，2题【解题回顾】1.求最大（小）值应用问题的一般方法：分析、联系、抽象、转化分析、联系、抽象、转化数学方法数学方法数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题实际问题实际问题 建立数学模型建

8、立数学模型（列数学关系式）（列数学关系式）解决应用性问题的关键是读题解决应用性问题的关键是读题懂题懂题建立数学关系式。建立数学关系式。2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值。这里所说的也适用于开区间或无穷区间。【课堂小结】解有关函数最大值、最小值的实际问题，需解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义结果要符合问

9、题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决相当多有关最值的实际问题用导数方法解决比较简单比较简单 。作业：p46习题习题2.5第第2，3题。题。答：产量答：产量q为为84时，利润时，利润l最大。最大。(0200)q1214lq 例例2 2已知某商品生产成本已知某商品生产成本c c与产量与产量q q的函数关系式为的函数关系式为c c=100+4=100+4q q， 价格价格p p与产量与产量q q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q q为为 何值时，利润何值时，利润l l最大？最大？qp8125分析分析：利润：利润 l l 等于收入等于收入r r 减去成本减去成本c c，而收入，而收入r r 等于产量乘价格等于产量乘价格由此可得出利润由此可得出利润l l与产量与产量q q的函数关系式，再用导数求最大利润的函数关系式，再用导数求最大利润211252588rq pq