高等数学课件 167;3.4.12定积分应用(弧长和积)

1、3.4.13.4.1 微元法微元法 第第二二步步取取近近似似： ,1iiixx， 用定积分表示几何量、物理量或其它的量，一般 分为四步。下面来回顾求曲边梯形面积 a 的过程。 第一步分割第一步分割：将区间,ba任意分成个子区间 n ,1iixx ) , , 2 , 1(ni，设个第 i小曲边梯形的面积ia 为，则 niiaa1)(xfy xyo aba3.43.4 定积分的应用定积分的应用 ,)(iiixfa),1(ni 第第四四步步取取极极限限：令inix1max， 则 )( )(lim 10baniiidxxfxfa。 第三步求和第三步求和： niiixfa1)(； 上述四步中，第二步是关

2、键，即确定所求量个在第 ia小 区间 ,1iixx上的部分量ia的近似值iixf )(是关键。 注注 意意： （1）所求量（面积 a）与自变量的 x变化区间,ba有关。 （2）所求量对区间,ba具有可加性，即niiaa1 。 （3）用iixf )(近似代替部分量ia时，它们只差一个比 ix高阶的无穷小量。 因此 niiibaxfdxxfa10)(lim)(。 记为 dxxfda)(， 于是，dxxfdaa)(， 则 b adxxfdxxfa)()(lim。 为高，dx为底的矩形面积adxxf为 )(的近似值，即 dxxfa)(，dxxf)(称为面积元素面积元素， 为简便起见，省略 i下标，用a

3、表示任一小区间 ,dxxx上的小曲边梯形的面积，则aa，取 ,dxxx的左端点 为x，以处点 x的函数值)(xf xdxx)(xfy daxyoab)(xf 一般地，若所求量 xq与变量的变化区间,ba有关；且 关于区间,ba具有可加性，在,ba中的任意一个小区间 ,dxxx上找出所求量的部分量的近似值dxxfdq)(， 然后以它作为被积表达式，而得到所求量的积分表达式 b adxxfq)(，这种方法称为微元法微元法，其中dxxfdq)( 称为的量 q微元微元。 设是 , ba曲线弧上的两个端点，在弧上 ab任取分点 bmmmmmmmannii,1121， 并依次连接相邻的分点得一内接折线，此

4、折线长为 niiinmms11， 其中iimm1表示 线段iimm1的长。 一一、平平面面曲曲线线弧弧长长的的概概念念3.4.2 3.4.2 弧长弧长ma 1m1imimnmb xyoniiinmmss1100limlim二二、直直角角坐坐标标情情形形其中表示最大线段长，这时也称ab 曲线弧是可可求求长长的的。 如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零 时，折线 ssn有极限，则称abs 为曲线弧的弧长，即 定理定理：若函数,)(baxf在上可导，且)(xf 连续， 则在 ,ba上的曲线)(xfy 可求长，且弧长 dxxfsba 2)(1。 xyoix1ixabixiyma 1m1imi

5、mnmb )(xfy ),(yxm),(111yxm, ),(iiiyxm, ),(nnnyxm。 .) ,(bxaxn， ).()(, 11iiiiiixfxfyxxx令证明证明： （1）分割分割： 将曲线段 nab分成个小段，设各分点的坐标为 （2）取取近近似似（3）求求和和 221)()(iiiiyxmm而iiiiixfxfxfy)()()(1，)(1iiixx， iiiixfmm21)(1。 .)(11211niiiniiinxfmms（4）取极限取极限)(xf 在 ,ba上连续， 2)(1xf 在 ,ba上连续， baniiindxxfxfss21200)(1)(1limlim。 2

6、)(1)(xfxs， 222)()(1dydxdxyds弧微分公式弧微分公式。 设,)(baxf在上有连续导数，若在曲线上取动点 ),(yxm，, bax在上变动，则dttfxsxa 2)(1)(， 例 1求圆222ryx的弧长。 解：)0, 0(22yxxry， ,22xrxy,1222dxxrrdxydsrrxrdxxrrsr0arcsin44022.224rroxy222ryxrr二二 、参数方程情形、参数方程情形若曲线是由参数方程)(),(),(ttfytx表示， 则弧长的微元为2222)()()()(dttfdttdydxds.)()( 22dttftds即dttfts22 )()(

7、解：)cos1 ()(tatx， tatysin)(， 例 2计算摆线)cos1 ()sin(tayttax的一拱20t的长度。 dttatads22sin)cos1 (,2sin2)cos22(2dttadttaatadttas82cos222sin222 0 0。 xyoa2三三、极极坐坐标标方方程程情情形形drrds22)()( 弧微分drrs22)()( 弧长若曲线是由极坐标方程)(rr，)(表示， 证证明明： drrdx)sincos(，drrdy)cossin(， 22)()(dydxds drrrr22)cossin()sincos(drr22 drrs22)()(。 由直角坐标

8、和极坐标之间的关系式，得到曲线弧 的以极角为参数的 参数方程sin)(cos)(ryrx。 解：2022)()(rrs 20220221)(dadaa2220)1ln(2112a.214ln()142222a第一圈（20）的弧长。 例 4求阿基米德螺线ar（0a）的 oxy3 34 43 3 面积和体积面积和体积一、面积一、面积（一）直角坐标系中的平面图形的面积（一）直角坐标系中的平面图形的面积（1）上若在 , ba0)(xf，则badxxfa )( 。 （2）上若在 , ba0)(xf，则babadxxfdxxfa )( )( 。 （3）上若在 , ba)(xf有正有负，则badxxfa )

9、( 。 1设函数,)(bacxf，求由直线0, , yb yax和 曲线)(xfy 所围成的平面图形的a 面积。 )(xfy)(xgy xdxxxyoabdxxgxfda)()(badxxgxfa )()( da2设)(xf、)(xg是,ba上的连续函数，且)()(xgxf， 求由直线ax，bx，和曲线)(xfy 、)(xgy 所围 成的平面图形的a 面积。 dyyyda)()(dyyyadc )()( )(yx)(yxoxydyycdyda3)(y、)(y是, dc上的连续函数，且)()(yy， 求由直线cy ，dy 和曲线)(yx、)(yx所围 成的平面图形的a 面积。 解：解方程组022

10、22yxxy 面积微元为：,21)211(2dyyyda 面积49 21)211 (1 2 2dyyya。 .1 , 2积分区间为oxyxy22 ) 1 ,21( )2 , 2(21022 yxydyyda例 4.求由抛物线xy22及直线022 yx所围图形的面积。 , y确定积分变量为另解：为以 x积分变量， oxyxy22 ) 1 ,21( )2 , 2(022 yx212.49) 222(22212 0 21 dxxxdxxa积分区间为0，2， 解：解方程组2211 2xyxy， 得两曲线的交点（-1，21） ， （1，21） 。所围成的图形的面积。例 5求由曲线22xy 、211xy与

11、直线3x、3x xyo22xy211xy33111dxxxdxxxa223 0 223 3112 2112 )112( )211( 2223 1 21 0 2dxxxdxxx )arctan6()6(arctan2333110 xxxx).233(31xyo22xy211xy33111解：dttaydxda22)cos1 ( 例 6求摆线)2(0 )cos1 ()sin(ttayttax的一拱轴与 x 所围成的图形的面积。 oxya2dtttaa)coscos21 (2220dttta)2cos21cos223(202.3)2sin41sin223(2220attta 当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tfytx)(21ttt， 给出时，曲边梯形的面积为 2121)()()()(ttttdtttftdtfa其中21 , tt分别是曲边的起点与终点对应的参数值。 xo)cos1 (ar解： 0 2cos1 (21 2daa 0 22)coscos21 ( da 0 2)2cos21cos223( da.23)2sin41sin223(220aa例 7.求心形线)0)(cos1 ( aar所围成的图形的a 面积。 得交点)3 ,23(a，)3 ,23(b。 解：作出它们的草图，解方程组cos1 cos3rr， 由