附录矢量与微积分初步

1、附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-131一标量和矢量一标量和矢量1、基础物理学中的两类物理量：、基础物理学中的两类物理量：标量物理量标量物理量(标量标量) 遵循遵循代数运算法则代数运算法则, 如如m, t, v矢量物理量矢量物理量(矢量矢量) 遵循遵循矢量代数运算法则矢量代数运算法则, 如如 , , rvfaa用有向线段表示矢量，用有向线段表示矢量，矢量的大小叫做矢量矢量的大小叫做矢量的模，用符号的模，用符号 表示。表示。a图图1 矢量的图像表示矢量的图像表示附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1322、矢量平移的不变性：、矢量平移的不变性：把矢量把矢量 在空

2、间平移，则矢量在空间平移，则矢量 的大小和方向都的大小和方向都不会因平移而改变。不会因平移而改变。aaaaa图图2 矢量平移矢量平移附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-133二二 矢量合成的几何方法矢量合成的几何方法1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：abcabcabc图图3 两矢量相加的三角形法则两矢量相加的三角形法则自矢量自矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，再从矢量，再从矢量 的始端的始端到矢量到矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，则，则 就是就是 和和 的合矢量。的合矢量。ababcbca附录：矢量与微积分附录：矢量

3、与微积分2021-11-134ababccdab利用矢量平移不变性：利用矢量平移不变性：图图4 两矢量相加的平行四边形法则两矢量相加的平行四边形法则2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：222coscababsinarctancosbababcxcosbsinb图图5 合矢量的计算合矢量的计算附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1353、同一平面内多矢量的相加、同一平面内多矢量的相加abcdabcdr图图6 同平面多矢量相加同平面多矢量相加附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-136三三 矢量合成的解析法矢量合成的解析法1、

4、矢量在直角坐标轴上的分矢量和分量：、矢量在直角坐标轴上的分矢量和分量：xyzaaaaxyzaa ia ja k矢量矢量 的模为：的模为：a222xyzaaaaxyzoaxayazaijkcos/,cos/,cos/xyzaaaaaa矢量矢量 的方向为：的方向为：a图图7 矢量在三维直角坐标轴矢量在三维直角坐标轴上的正交分量上的正交分量附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1372、矢量合成的解析法：、矢量合成的解析法：xyoabcxaxbybya矢量矢量 和和 在两坐标轴上在两坐标轴上的分量可分别表示为：的分量可分别表示为：abcossinxyaaaacossinxybbbbxx

5、xcabyyycab22xycccarctan/yxcc图图8 矢量合成解析法矢量合成解析法附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-138四四 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积物理学中，矢量乘积有两种：标积物理学中，矢量乘积有两种：标积(点乘点乘)，矢积，矢积(叉乘叉乘)1、矢量的标积：、矢量的标积：a bcosababcosba bcosababo0a bababo180a babo90a b0ab附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-139标积的性质：标积的性质：(1) 标积的交换律：标积的交换律：a bcosabcosbab a(2) 标积的分配律：标积的分配律

6、：a bca c b c xyzaaia jakxyzbbib jbkxxyyzza baba bab附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-13102、矢量的矢积：、矢量的矢积：a bc 矢量矢量 的大小为：的大小为：csincab矢量矢量 的方向为：的方向为：cbacbacsinb图图9 两矢量的矢积两矢量的矢积平行四边形面积平行四边形面积附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1311矢积的性质：矢积的性质：(1) 矢积不遵守交换律：矢积不遵守交换律：a bb a a bb a(2)sina bab当当 时，时，0 or0a b(3) 矢积的分配率：矢积的分配率：

7、ca bc a c b 附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1312利用利用 ，,0ijk ikj ii xyzxyza baia jakbib jbkxyxzab kab jyzyxa bia bkzxzyab jab ijikyzzya bab izxxzababjxyyxaba b k xyzxyzijka ba a ab b b附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1313五五 函数、导数和微分函数、导数和微分1、函数：、函数：如果当如果当 x 在其变域内任意取一数值时，在其变域内任意取一数值时，y 都有确定的值与其对都有确定的值与其对应，则称应，则称 y

8、为为 x 的的函数函数。 yf x如果当如果当 y 为为 z 的函数，的函数，z 又是又是 x 的函数，则的函数，则 y为为 x 的的复合函数复合函数。 yxfg x zg x中间变量中间变量cosxat简谐振动表达式：简谐振动表达式：附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-13142、导数：、导数：如果函数如果函数 y =f (x) 在在 x=x0 处有增量处有增量x ，因此相应函数，因此相应函数 y 也会也会有一增量有一增量00yf xxf x 则则00f xxf xyxx叫做函数叫做函数 y 在在x0 到到x0 + x 之间的平均变化率。之间的平均变化率。若当若当 时，时，

9、有极限，则称有极限，则称 f (x) 在在 x0 处可导，并把处可导，并把极限称作极限称作f (x) 在在 x0 处的处的导数导数。/yx0 x 000, ,x xx xdyfxydx00000limlimxxf xxf xyfxxx 附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1315若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数导函数。 00limlimxxf xxf xyfxxx ox f x0 x0 xxyxpq 0

10、0limlim tanxxyfxx tanyxr导数的几何意义：导数的几何意义：函数曲线的斜率函数曲线的斜率附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1316基本导数公式：基本导数公式： 0 cc为常数1 nnxnxn为实数sincosxxcossinxx 2tansecxx2cotcscxx 1loglnaxxa 1lnxxlnxxaaa xxee21arcsin( 1) ( 11)xxx 21arccos( 1) ( 11)xxx 21arctan(1) ()xxx 21arccot(1) ()xxx 附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1317导数的基本运算法则

11、：导数的基本运算法则：设设 u ，v 均为均为 x 的函数。的函数。uvuv; uvu vuvcucuc为常数2 0uu vuvvvv ， ，y为为x的复合函数的复合函数 yf u ux yfxdydy dudxdu dx附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1318若若 的导数的导数 对对 x 可导，可导， yf x fx 22, d yfxydx或 函数的极值点和极值：函数的极值点和极值： fx则则 叫做叫做 f (x) 的的二阶导数二阶导数，记作，记作若函数若函数 在在 x0 附近有连续的导函数附近有连续的导函数 和和 ， f x fx fx若若 而而 ，00fx00fx0

12、0,fx0f x为极小值为极小值00,fx0f x为极大值为极大值附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-13193. 微分：微分： dyfxxdy若函数若函数 在在 x 处可导，则处可导，则 在点在点 x 处的导数处的导数 与自变量增量与自变量增量 的乘积称作函数的乘积称作函数 在在 x 处的处的微分，记作微分，记作 yf xx fx yf x yf xdy若将若将 记作记作 ，则，则 称作函数的微分，记作称作函数的微分，记作xdx dyfx dx附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-13201. 不定积分：不定积分： f x dx函数函数 的所有原函数叫作的所有原

13、函数叫作 的不定积分，记作的不定积分，记作 f x f x f xc根据不定积分的定义，可得其两条性质：根据不定积分的定义，可得其两条性质： f x dxf x fx dxf xc六六 积分积分不定积分运算法则：不定积分运算法则： 0kf x dxkf x dxk f xg x dxf x dxg x dx附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1321基本积分公式：基本积分公式：0dxcadxaxc1 11nnxx dxcnn 1lndxxcx 0,1lnxxaa dxcaaaxxe dxecsincosxdxxc cossinxdxxc221seccosdxxdxxtan xc

14、221cscsindxxdxxcot xc 221arcsinxdxcaax2211arctanxdxcaxaa附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1322 1limnbianif x dxfx ifxx yf xoabbaxn iisfx 1niisfx 1limninisfx2. 定积分：定积分：附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1323定积分的主要性质：定积分的主要性质： baabf x dxf x dx 0bbaakf x dxkf x dxk常数 bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx bcbaacf x dxf x dxf x dx

15、牛顿牛顿-莱布尼茨公式：莱布尼茨公式： baf x dxf bf a baf x附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1324七七 矢量的导数和积分矢量的导数和积分1、矢量的导数：、矢量的导数：直角坐标系中的一矢量直角坐标系中的一矢量 ： a t 1a t2a tta 当当 时，时， 的极限为：的极限为：0t /at0limtadatdt xyzaaia jak在直角坐标系中：在直角坐标系中：yxzdadadadaijkdtdtdtdt矢量导数公式：矢量导数公式：附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-1325利用矢量导数公式可以证明：利用矢量导数公式可以证明：(1) ddadbabdtdtdt(2) , cd cadacdtdt为常数(3) ddbdaa babdtdtdt(4) ddbdaa babdtdtdt附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2021-11-13262、矢量的积分：、矢量的积分：设设 和和 均在同一