A31微分中值定理

1、3.1 微分中值定理微分中值定理0罗尔定理罗尔定理0 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理0 柯西中值定理柯西中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用; 0)()(, cxcfxfcx有有时时当当费马定理费马定理 设函数设函数 f (x)在在a , b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c (a , b)取到最值，取到最值， f (x)在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx由由极极限限的的保保号号性性 证明：不失一般性。设证明：不失一般性。设 f (x)在点在点 x = c = c 取到最大值，取到最大值，则则 f

2、(x) f(c)(c)，x (a,b)(a,b)。; 0)()(, cxcfxfcx有有时时当当; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx从而从而 f (c)=0。一、罗尔一、罗尔(rolle)定理定理 p126罗尔罗尔（r rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零， 即即0)( f)1(

3、)2()3(例例132)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且,)3 , 1(1(, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc证证.)1(mm 若若,)(连续连续在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值

4、.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afm 设设.)(),(mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在. 0)(: f由由费费马马定定理理知知w 罗尔定理的三个条件，缺一不可罗尔定理的三个条件，缺一不可.,)0()(2(一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的外外不存在不存在除不满足条件除不满足条件f . 0)()2 , 2( xf内内找找不不到到一一点点能能使使但但在在例如例如,2 , 2, xxy.2 , 2,132 xxy及及w 洛尔定理指

5、出了洛尔定理指出了 点的存在性，但不能确定它的位置。点的存在性，但不能确定它的位置。. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例又例,不满足条件不满足条件(3), 罗尔定理结论不成立罗尔定理结论不成立.不满足条件不满足条件(1); 注注: :使定理可推广)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 f(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xfaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(例例2 2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个

6、个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设, 1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一实实根根至至少少有有一一个个根根。内内，在在求求证证例例)10(0

7、234323 cbacxbxaxcbacxbxaxxf 234)(23分析：分析：),()0(cbaf cbacbacbaf 23234)1(cbacxbxaxxf 234)(23设设证证明明：xcbacxbxaxxf)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( ffxfcxf）内可导，）内可导，在（在（, 0)(),10( fr使使，定理，定理，据据. 0234:23 cbacba即即有有几几个个实实根根。判判断断设设例例0)()3)(2)(1()(4 xfxxxxxf0)3()2()1()0( ffff证证; 0)()10(10)(11 frxf使使，定定理理的的条条件件，则

8、则上上满满足足，在在; 0)()21(21 )(22 frxf使使，定定理理条条件件，则则上上满满足足，在在, 0)()32(32)(33 frxf使使，定理条件，则定理条件，则上满足上满足，在在个个实实根根。至至少少有有即即30)( xf有有三三个个零零点点。多多是是三三次次多多项项式式，所所以以至至又又)(xf 个实根。个实根。有有30)( xf二、拉格朗日二、拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理 p127拉格朗日拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,

9、 ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm几何解释几何解释:.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧分析分析:).()(bfaf 条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理相相差差弦弦ab方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(abxf减去弦线减去弦线曲线曲线.

10、, 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xf. 0)(,),( fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证证法二证法二)()()()(abxfxafbfxf 设设证证f

11、(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续, ,在开区间在开区间( (a,b) )内可导内可导, , )()()()()()(abfbafabbfbafbfbf )()()()()()(abfbafabafaafbfaf ),()(bfaf 有有 由由r-定理知定理知:, 0)(),( fba使使).)()()(abfafbf 即即,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限

12、增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf推论推论证明：设证明：设x1,x2是是(a, b)内任意两点，由内任意两点，由l-定理定理0)()()(1212 xxfxfxf( 在在x1,x2之间之间) )()(12xfxf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常数常数, x(a, b) . 证毕证毕!(设区间设区间i为为: (a,b)例例5 5).11(2arccosarcsin xxx证明证明

13、证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即求证存在, ) 1 ,0(. 0)(

14、)(ffn使设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn设辅助函数使得)()(1ffnnn00)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理0)()

15、()()()()(ffafbfafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(ffafbfafbf满足 :)(xf0)( xf)()(afbf)(abfba0要证)()()()()()()(xfxfafbfafbfx证证: 作辅助函数)()()()()()()(xfxfafbfafbfx)()()()()()()()(bafbfbfafafbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知, 至少存在

16、一点.)()()()()()(ffafbfafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabfafbf两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(ffafbfafbf)(f)(af)()(tfytfx)(af)(bf)(bf)()(ddtftfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率例例).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证结论可变形为结论可变

17、形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即也可以用罗尔定理来证例例8 设设f(x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)证明证明 令令,)()(xxfx xxg1)( a, b同号，故同号，故x=0不在不在(a, b)内内; (x),g(x)在在(a, b)内可微。内可微。,)()(

18、)(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(efffeffef例例. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxfxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , f(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:例例. 试证至少存在一点), 1(e使.ln

19、cos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxf)()()(afbfxxf)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理造造技技巧巧：注注：常常见见的的一一些些函函数数构构 )()(),(1ffba 使使）证）证（xxfxf)()( 0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()(xfexfexfxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）证）证（)()()()()(xgxfxgxfxf )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxf z 思考思考 1 1、如果、如果)(xf在在,ba连续，在连续，在),(ba可导，可导，c为介于为介于 ba,之间的任一点，那么在之间的任一点，那么在),(ba（ ）找到两点）找到两点 12, xx，使，使