定积分的几何应用新08705

1、第六章 定积分的应用定积分的应用一、一、 定积分的微元法定积分的微元法二、二、 平面图形的面积平面图形的面积三、三、 旋转体的体积旋转体的体积用定积分表示一个量，用定积分表示一个量，如几何量、如几何量、 物理量或其物理量或其他的量，他的量，一般分四步考虑，一般分四步考虑， 我们来回顾一下解决我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程曲边梯形面积的过程.第一步分割：第一步分割： 将区间将区间 a, b 任意分为任意分为 n 个子区个子区间间 xi - - 1, xi (i = 1, 2, , n)， 其中其中 x0 = = a，xn = = b .一、一、 定积分的微元法定积分的微元法第三步求和：第三

2、步求和： 曲边梯形面积曲边梯形面积 a.)(1iniixfa 第四步取极限：第四步取极限： n ， = max xi 0，.d )()(lim10 xxfxfabainii 第二步取近似：第二步取近似：在子区间在子区间 xi- -1, xi 上，上，任取一点任取一点 i ， 作小曲边梯形面积作小曲边梯形面积 ai 的近似值，的近似值， ai f ( i) xi .(i=1,2,n)如果把第二步中的如果把第二步中的 i 用用 x 替代，替代， 中的被积分式中的被积分式 f (x)dx 具有类具有类同的形式，同的形式，第二步取近似时其形式第二步取近似时其形式 f( i) xi ，与第四，与第四步积

3、分步积分xxfbad )( xi 用用 dx 替代替代， 那么它就是第四步积分中的被积分那么它就是第四步积分中的被积分式式，第一步选取积分变量，第一步选取积分变量，例如选取例如选取 x， 并确定并确定其范围，其范围，例如例如 x a, b， 在其上任取一个子区间在其上任取一个子区间记作记作 x, x + + dx.第二步第二步取所求量取所求量 i 在子区间在子区间 x, x + + dx 上的部上的部分量分量 i 的近似值的近似值 i f (x)dx， 第三步第三步取定积分取定积分.d )(xxfiba 基于此，我们把上述四步简化为三步：基于此，我们把上述四步简化为三步：几点说明：几点说明：

4、(1) 取近似值时，取近似值时， 得到的得到的是形如是形如f (x)dx 的近似值，的近似值，并且要求并且要求 i - - f (x)dx 是是 dx 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量， 关 于关 于后一个要求在实际问题中常后一个要求在实际问题中常常能满足常能满足. (2) 满足满足 (1) 的要求后，的要求后，f (x)dx 是所求量是所求量 i 的微分，的微分，所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即di = f (x)dx ，di 称为量称为量 i 的微元的微元.上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法元法

5、.xaoxx + + dxy = f (x)ady)()(xgxf-),()(xgyxfy与计算由区间计算由区间a, b上的两条连续曲线上的两条连续曲线 以及两条直线以及两条直线x=a与与x=b所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。 由微元法，取由微元法，取x为积分变量，为积分变量，其变化范围为区间其变化范围为区间a, b，在，在区间区间a, b的任意一个小区间的任意一个小区间x, x+dx上，相应的面积可上，相应的面积可以用以用 x点处的函数值点处的函数值二、二、 平面图形的面积平面图形的面积ayxboxy = f (x)x+ +dxy = g(x)ad为高为高所以，所求平面图形的

6、面积所以，所求平面图形的面积a为为.d | )()(|xxgxfaba - - 以以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素而得到面积元素dxxgxfda)()(-类似地可得，由区间类似地可得，由区间c,d上的两条连续曲线上的两条连续曲线与与 ，（，（ 当当 ） 以及两直线以及两直线 与与 所围成的平面图所围成的平面图)(yx( )xy , , ( )( )yc dyycy dy 形的面积为形的面积为-dcdyyya)()( xoycdyy+dy( )xy( )xy 例例1 计算由曲线计算由曲线 及直线及直线 所围所围成的平面图形的面积。成的平面图

7、形的面积。2xy xy 2xyxydxxxa)(102-61)3121(1032-xx解：解：作出所围成的平面图形作出所围成的平面图形取取x为积分变量，其变化区间为积分变量，其变化区间为为0，1。于是，平面图形的面积。于是，平面图形的面积例例 2求出抛物线求出抛物线 y2 = 2x 与直线与直线 y = x 4 所所围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.解解作草图，如图，作草图，如图， 求抛物线与直线的交点，求抛物线与直线的交点，即解方程组即解方程组 - - , 4,22xyxy得交点得交点 a (2, - - 2) 和和 b (8, 4).xab- -2 4yy = x- -4y2 =

8、2x(8,4)(2,- -2),d2) 4(d)(d212yyyyxxa - - - - 于是于是 - - - - 422d2)4(yyya如果选择如果选择 x 为积分变量，为积分变量， 那么它的表达式就比上式复杂那么它的表达式就比上式复杂.如果选择如果选择 y 作积分变量，作积分变量，y - 2, 4 ，.18 xyab(8,4)(2,- -2)- -24yy = x- -4y2 = 2xy + + dy 任取一个任取一个子区间子区间 y, y + + dy - 2, 4 ， 则在则在 y, y + + dy 上上的面积微元是的面积微元是例例 3求求 y = sinx， y = = cos

9、x，解解由上述公式知由上述公式知2, 0 xx所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.d |cossin|20 xxxa - - xxxd )cos(sin40 - - - xxxd )cos(sin24 - - 2440sincossincos - - - xxxx).12(2- - 也可以先也可以先作出该平面图作出该平面图形的草图，形的草图，xxxad )sin(cos40 - - .d )cos(sin24xxx - - 如图，如图，就不必用公式了就不必用公式了.则直接可得则直接可得).12(2- - y = = cos xxoy = sinx421y例例 4求椭圆求椭圆 x =

10、a cos t，y = b sin t 的面积，的面积，其中其中 a 0，b 0.解解因为图形关于因为图形关于 x 轴、轴、y 轴对称，轴对称， 所以椭圆面积是它在第所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，一象限部分的面积的四倍，.d40 axya把把 x = a cos t，y = b sin t代入上述积分式中，代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换上、下限也要相应地变换 ( (满足满足积分变量积分变量 t ) ). 由定积由定积分的换元公式得分的换元公式得 axya0d4ttatbd )sin(sin402 - - ttabdsin402 .ab 即即xy12222 byaxo 一

11、个平面图形绕平面内的一条定直线旋一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。都是旋转体。 计算由区间计算由区间a、b上的连续曲线上的连续曲线 、两直线两直线x=a与与x=b及及x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积轴旋转一周所成的旋转体的体积。 )(xfy 三三 、 旋转体的体积旋转体的体积 由微元法，取由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间。在区间a,b的任意

12、一个小区间的任意一个小区间x,x+dx上，相上，相应的薄旋转体的体积可以用以点应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值处的函数值f(x)为底为底面半径，以面半径，以dx为高为高 的扁圆柱体的体积近似代替，的扁圆柱体的体积近似代替， 从而得到体积元素从而得到体积元素 dxxfdv2)(dxxfvba2)(所以，所求旋转所以，所求旋转体的体积体的体积 类似地可得，由区间类似地可得，由区间c,d上的连续曲线上的连续曲线 ,两直线两直线y=c与与y=d及及y轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋轴旋转一周所成的旋转体的体积为转一周所成的旋转体的体积为 )(yx dyyvdc2)(例例 5求由椭

13、圆求由椭圆12222 byax解解利用图形的对称性利用图形的对称性,只需考虑第一象限内只需考虑第一象限内( (一一) ) 绕绕x轴：选取积分变量为轴：选取积分变量为 x 0, a ，所围图形分别绕所围图形分别绕x 轴和轴和y轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积. 任取一个子区间任取一个子区间 x, x + + dx 0, a ，的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求体积为该体积的所求体积为该体积的2倍倍。在子区间在子区间 x , x + + dx 上旋转体的微元为：上旋转体的微元为：于是于是 dv1= y2 dx，12vv x

14、yad202 xaxbad)1(22202- - .34)3(2203222abxxaaba -yxox x+ +dx( (二二) )绕绕y y轴：轴：选积分变量选积分变量 y 0, b ，任取，任取子区间子区间 y , y + + dy 0, b. 在子区间在子区间 y , y + + dy 上体积的微元为上体积的微元为 则则yxvvbd22021 .34d)(22222022bayybbab -yxo y + +dyyxxdyxdv21例例 6求求 y = x2 与与 y2 = x 所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转轴旋转所成的旋转体体积所成的旋转体体积.解解选积分变量选积分变量 x 0,

15、1 ( (两曲线的交点为两曲线的交点为 ( (0, 0) ) 和和 ( (1, 1) ， 任取子区间任取子区间 x, x + dx 0, 1 ，其上的体积的微元为其上的体积的微元为,d)(d2221xyyv- - xyyvd )(102221 - - .103d )(104 - - xxxx x+ +dx(1, 1)y2 = x2xy 21yxo( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容 利用“微元法”推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长的公式等几何学问题。二、重点和难点二、重点和难点“微元法”的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。三、对学习的建议三、对学习的建议 在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于“微元法”这种数学思想，对于非均匀变化问题，