不定积分习题课56675

1、习题课习题课一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法不定积分的计算方法 第四章第四章 积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容1 1、原函数、原函数 如如果果在在区区间间i内内，可可导导函函数数)(xf的的导导函函数数为为)(xf， 即即ix ， 都都 有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函

2、数数)(xf就就称称为为)(xf或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数.定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：2 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义cxfdxxf )()(函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( cxfdxxf)()( cxfxdf)()(3 3、

3、基本积分表、基本积分表 kckxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 cxdxx cxxdxln)3( dxx211)4(cx arctan dxx211)5(cx arcsin xdxcos)6(cx sin xdxsin)7(cx cos xdxxtansec)10(cx sec xdxxcotcsc)11(cx csc dxex)12(cex xdx2cos)8( xdx2seccx tan xdx2sin)9( xdx2csccx cot dxax)13(caax ln cxxdxcoslntan)16( cxxdxsinlncot)17( cxxxdx)tanln(secsec

4、)18( cxxxdx)cotln(csccsc)19(caxadxxa arctan11)20(22cxaxaadxxa ln211)22(22caxdxxa arcsin1)23(22caxxdxax )ln(1)24(2222caxaxadxax ln211)21(22cx sh)14( xdxch xdxcx ch)15(sh一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形通过简单变形, 利用利用基本积分公式基本积分公式和和运算法则运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法 xxfd)( 第一类换元法第一类换元法 tt

5、tfd)()( 第二类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型注意常见的换元积分类型) (代换代换: )(tx3. 分部积分法分部积分法 vuxvud使用原则使用原则:1) 由由v易求出易求出 v ;2) xvud比比 xvud好求好求 .一般经验一般经验: 按按“反反, 对对, 幂幂, 指指 , 三三” 的顺的顺序序,排前者取为排前者取为 u , 排后者取为排后者取为.v计算格式计算格式: 列表计算列表计算 xvudxvund)1( xvuvunnd)()()1()( nnvuvu xvund)1( )2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1 多次分部积分的多次分部积分的

6、 规规 律律)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速计算表格快速计算表格:)(ku)1(knv uu u )(nu)1( nv)(nv)1( nvv n)1( )1( nuv 1)1(n特别特别: 当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,0)1( nu计算大为简便计算大为简便 . 5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积

7、分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 6 6、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)( t ，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换

8、元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(. 1rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如双曲函数代换双曲函数代换.1. 4tx 令令倒置代换倒置代换7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法: :liateliate选择法选择法l-对数函数；对数函数；i-反三角函数；反三角函数；a-代数函数；代数函数；t-三角函数；三角函数；e-指数函数；指数函数； 哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.9 9、几种特殊类型函

9、数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1caxaaxadx ;)(1()(. 21caxnaaxadxnn ;arctanln2. 342422222cqxqnqpxxmdxqpxx

10、nmxpppmp dxqpxxnqpxxdxpxmdxqpxxnmxnmpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxr)cos,(sinduuuuuur22221211,12 （2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxr（3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(

11、nbaxxr ),(necxbaxxr 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数有理函数分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和指数函数有理式指数函数有理式指数代换指数代换三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合

12、要注意综合使用各种基本积分法使用各种基本积分法, 简便计算简便计算 . 因此不一因此不一定都能积出定都能积出.例如例如 , ,d2xex ,dsinxxx ,dsin2xx ,dln1xx ,1d4 xx,d13 xx, )10(dsin122 kxxk二、典型例题二、典型例题(1)例例1 1.4932 dxxxxx求求例例2. 求求.d4932xxxxx 例例3 3.cos1)sin1( dxxxex求求例例4. 求求.dcos1sinxxxx 例例5 5.1122 dxxxx求求例例6. 求求.6321d xexexex例例7. 求求.d15)1ln(22xxxx 例例8. 求求.darc

13、tanxxexe 二、典型例题二、典型例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21cxxxx tx )23(令令例例2. 求求.d4932xxxxx 解解: 原式原式xxxxxd222332 xxxd2)32(1)32( xx2)32(1)32(d32ln1xaxaxadlnd cx 3ln2ln)32arctan(例例3 3解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos

14、2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tancxex 另解：另解：dxxexcos1 原式原式dxxxexcos1sin xdexxcos1sin dxxexcos1 dxxexxexxcos1cos1sincxxex cos1sin例例4. 求求.dcos1sinxxxx 解解 :原式原式xxxxxd2cos22cos2sin22 2tandxxxxd2tan cxx 2tan分部积分分部积分dxxxxcos1sin xxdxcos1 xxdxcos1xxdxxxxcos1cos1si

15、n dxxx cos1sincxxx cos1sin分部积分分部积分另解：另解：例例5 5解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttctt 21arcsin.1arcsin12cxxx (倒代换倒代换)例例6. 求求.6321d xexexex解解: 令令,6xet 则则,ln6tx ttxd6d 原式原式 ttttt)1(d623 tttt)1)(1(d62 1331362 ttttt d tln6 1ln3 t)1ln(232 tct arctan3cxexexex 6arctan3)13l

16、n(23)16ln(3例例7. 求求.d15)1ln(22xxxx 解解: 215)21ln(xx原式原式5)1ln(d2 xx21xx xxxd)21221( 21dxx 32 5)1ln(2 xx c 23分析分析: 5)1ln(d2 xx例例8. 求求.darctanxxexe 解解: xearctan原式原式xe dxexearctan xexxexed21 xexearctan xxexexed212)21( xexearctan x cxe )21(ln21二、典型例题二、典型例题(2)例例9. 求求.d)2(23xexxx 例例11. 设设,dsecxxinn 证明递推公式证明递

17、推公式:)2(12tansec1122 ninnxxninnn例例10. 求求.d1xx 例例12.设设 )(xf为为)(xf的原函数的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxfxf 有有且且,1)0( f,0)( xf求求. )(xf例例13. 求求.dsincossincos3 xxxxx例例14. xxbxaxidsincossin1求求.dsincoscos2 xxbxaxi及及例例9. 求求.d)2(23xexxx 解解: 取取,23 xxuxev2)4( 23 xx132 xx660)(ku)4(kv xe2xe221xe241xe281xe2161 xe2 原式原式)2(2

18、13 xx)13(412 xx681 cxxxex )722634(8126161 c xxaxaexpxkndcossin)( 说明说明: 此法特别适用于此法特别适用于如下类型的积分如下类型的积分: 例例10. 求求.d1xx 解解: 设设1)( xxf1 x,1 x1 x,1x 则则 )(xf1,2211 xcxx1,2212 xcxx因因)(xf连续连续 , , )1()1()1(fff 得得21211121cc212121cc 记作记作c得得xxd1 )(xf 1,21221 xcxx1,21221 xcxx,)1(212cx ,2)1(21cx 利用利用 例例11. 设设,dsecx

19、xinn 证证:证明递推公式证明递推公式:)2(12tansec1122 ninnxxninnn xinn2sec xn 2secxxxnntansecsec)2(3 xxdtan xxntansec2 xxxnnd)1(secsec)2(22 xxntansec2 nin)2( 2)2( ninxxdsec2xtan)2(12tansec1122 ninnxxninnn例例12. 设设 解解:)(xf为为)(xf的原函数的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxfxf 有有且且,1)0( f,0)( xf求求. )(xf由题设由题设, )()(xfxf 则则,2sin)()(2xxfx

20、f 故故 xxfxfd)()(xxd2sin2 xxd24cos1 即即cxxxf 4sin41)(2,1)0( f,1)0(2 fc0)( xf, 因此因此14sin41)( xxxf故故)()(xfxf 14sin412sin2 xxx又又例例13. 求求.dsincossincos3 xxxxx解解: 令令xxsincos3 xbaxbasin)(cos)( 比较同类项系数比较同类项系数3 ba1 ba, 故故2,1 ba 原式原式 xxxxxsincos)sind(cos2dcxxx sincosln说明说明: 此技巧适用于形为此技巧适用于形为 xxdxcxbxadsincossinc

21、os的积分的积分.)sin(cos)sin(cos xxbxxaxbxasincos 令令)sincos()sincos( xdxcbxdxca例例14.解：解： xxbxaxidsincossin1求求因为因为.dsincoscos2 xxbxaxi及及 12ibia xxbxaxbxadsincossincos1cx 12iaib xxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa 2sincoslncxbxa cxbxaabxbai )sincosln(1221cxbxabaxbai )sincosln(1222二、典型例题二、典型例题(3)例例15.求不定积分求不定

22、积分.dsin)cos2(1 xxx例例16.)()sin()sin(d kbabxaxxi 求求例例17. 求求 nnnbxaxxi11)()(d( n 为自然数为自然数)例例1818.)1ln(arctan2 dxxxx求求例例1919.)2(10 xxdx求求例例2020.)1()1(342 xxdx求求例例2121., 1max dxx求求例例22. 设设,)(2xyxy 求积分求积分.d31xyx 例例15. 求不定积分求不定积分.dsin)cos2(1 xxx解解: )cos(xu 令令原式原式 uuud)1)(2(12 )12)(2(1uuua 21 ub1 uc31 a61 b

23、21 c2ln31 u1ln61 ucu 1ln21)2ln(cos31 x)cos1ln(61x cx )1ln(cos21 xxxxdsin)cos2(sin2例例16.)()sin()sin(d kbabxaxxi 求求xbxaxd)sin()sin( )()sin(bxax )sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1 )sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx )sin(1ba xbxbxd)sin()cos( xaxaxd)sin()cos( caxbxba )sin(ln)sin(ln)sin(1caxbxba )sin()sin(ln)

24、sin(1解解:i =例例17. 求求 nnnbxaxxi11)()(d解解: nbxaxbxaxxi)()(d( n 为自然数为自然数)令令nbxaxt 则则,bxaxtn xbxbattnnd)(d21 2dttbanctabn 1caxbxabnn xbxbatttnnd)(1d2 )(dd)(bxaxxttban 例例1818解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1

25、)1ln(21222 例例1919解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdcxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222cxxxxxxx 例例2020解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421ct 3123.11233cxx 例例2121解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf

26、设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xf则必存在原函数则必存在原函数须处处连续，有须处处连续，有又又)(xf.1,2111,1,21)(32212 xcxxcxxcxxf)21(lim)(lim12121cxcxxx ,21112cc 即即)(lim)21(lim21321cxcxxx ,12123cc 即即.1,12111,211,21, 1max22 xcxxcxxcxdxx故故.1,2132cccc 可得可得,1cc 联立并令联立并令例例22. 设设,)(2xyxy 解解: 令令, tyx 求积分求积分.d31xyx xyxy 2)(即即t

27、xy ,123 ttx,12 tty而而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222 123 tt132 tttttd12 ct 1ln212cyx 1)(ln212测测 验验 题题3 3、)(xf在某区间内具备了条件在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的）就可保证它的 原函数一定存在原函数一定存在（a a） 有极限存在；有极限存在； （b b）连续；）连续；（b b） 有界；有界； （d d）有有限个间断点）有有限个间断点 4 4、下列结论正确的是、下列结论正确的是（ ）（a a） 初等函数必存在原函数；初等函数必存在原函数；（b b） 每个不定积分都可以表示为初等函数；每个不定积分都可以表示为初等函数；（c c） 初等函数的原函数必定是初等函数；初等函数的原函数必定是初等函数；（d d） cba,都不对都不对 . . 9 9、 dxxx2ln（） （a a）cxxx 1ln1; ; （b b）cxxx 1ln1; ; （c c）cxxx 1ln1； （d d）cxxx 1ln1. . 10 10、 10)14( xdx（ ）