多元概念,极限,连续好

1、3 31 1 多元函数的概念多元函数的概念以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积圆柱体体积 v = r 2 h体积 v 随 r, h的变化而变化. 一对数(r, h), 就有唯一的一个v与之对应.或者说, 任给长方体体积长方体体积 v = xyzv 随 x, y, z 的变化而变化. 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个v与之对应

2、.或者说, 任给这些都是多元函数的例子. 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, , 有 n 个自变量的称为 n 元函数.与一元函数类似, 我们有二元函数定义二元函数定义设 d 是 xy 平面上的一个点集,即 d r2, 若对任意的点 x = (x, y)d r2, 按照某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 d 上的二元实值函数, 记作f : d r, x = (x, y) z .称 z 为点 x = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (x) 或 f (x, y), 即z = f (x ) = f (x, y). 也称作 x

3、= (x, y)所对应的函数值.称 d 为函数 f 的定义域. d 在 f 下的像集 f (d)= f (x )| xd 称为 f 的值域.习惯上, 称 z = f (x ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量.比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey . 一般说来, 自变量 x , y 都是独立变化的. 它们只受到 (x, y) d 的限制. f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.另外, 若给出了 特别, 若定义域 d 是 x y 面上一条曲线. d: y = g(x). g事实上

4、, x d 上的点 (x, g(x) = (x, y) z .f= f (x, g(x)成为一元函数.则二元函数 z = f (x, y)注注2, 说明二元函数是一元函数的推广说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形而一元函数则是二元函数的特殊情形. 一元一元函数是定义在函数是定义在 xy 面上一条直线面上一条直线(x 轴轴)上的二上的二元函数元函数.类似的类似的, 有有 n 元函数定义元函数定义.设d rn , 若对任意的 x = (x1, x2, , xn) d rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 d 上的 n

5、元实值函数. 记作f : d r , x = (x1, x2, , xn) z .并记 z = f ( x ), 或 z = f (x1, x2, , xn).定定 义义 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合. 求 z = ln (x + y)的定义域 d , 并画出d的图形.x + y 0. 故 定义域 d = (x, y)| x + y 0画直线 y1 = x. 由于 d 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = x 上点的纵坐标 y1, 故 d 表示直线 y1 = x 上方点的集合. (不包括边界y1 = x上的点)为画 d 的图形, 由x + y

6、0, 得 y x = (y1).x + y = 0 xyo如图y xd(不包括直线x + y = 0). .122的图形并画的定义域求ddyxz1 , 012222yxyx即故1| ),(22yxyxd.),(22的距离到原点表示点由于oyxyx 故 d 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, d 为单位圆盘 (包括圆周). xyox2 + y2 = 1122 yx(包括圆周)d以点 x0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 x0 的 邻域.即),(0x)()(| ),(2020yyxxyx| | ),(0xxyxx记 (x0, ) = u (x0, ) x0 ,

7、称为 x0 的去心 邻域.如图),(0x记作x0x0u (x0, ) (x0, ) 当不关心邻域半径时, 简记为u (x0 )和 (x0).设 e 是一平面点集, x0 = (x0, y0)e, 若存在存在邻域 u(x0 , ) e , 则称 x0 为 e 的内点.e 的全体内点所成集合称为 e 的内部, 记为e0.,122为单位圆盘的定义域比如dyxzd = (x, y)| x2 + y2 1 如图xyox2 + y2 = 111d易知易知, 圆内部的每一点都是圆内部的每一点都是 d 的内点的内点. 但但圆周上的点不是圆周上的点不是 d 的内点的内点.x + y = 0 xy0如图d又如 z

8、 = ln (x+y)的定义域 d = (x, y)| x+y 0易见, 直线上方每一点都是d的内点. 即 d=d,但直线上的点不是d的内点.设 e 是一平面点集, x0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 x0的任何任何邻域 u(x0 , )内既有属于 e 的点, 又有不属于 e的点, 则称 x0 为 e 的边界点.e 的全体边界点所成集合称为 e 的边界. 记作 e.如, 例1中定义域 d 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 d 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图xyo11x2 + y2 = 1dx + y = 0 xyoe 的边界点

9、可以是的边界点可以是 e 中的点中的点, 也可以不是也可以不是 e 中的点中的点.d设 e 是一平面点集, 若 e 中每一点都是 e 的内点.即 e e0, 则称 e 是一个开集. 由于总有 e0 e, 因此, e e0 e = e0故也可说, 比如, 例1中 d 是开集, (d = d0 ), 而例2中 d 不是开集.若e = e0 , 则称 e 是一个开集.规定, , r2为开集.xyoe又比如, e 如图若若 e 不包含边界不包含边界, 则则 e 为开集为开集. 若若 e 包含边界包含边界, 则则 e 不是开集不是开集. 非空平面点集非空平面点集 e 为开集的充要为开集的充要条件是条件是

10、 e 中每一点都不是中每一点都不是 e 的边界点的边界点. 即即 e 不含有不含有 e 的边界点的边界点.必要性必要性. . 设 e 为开集, x e,由开集定义知 x 为 e 的内点. 故 x 不是 e 的边界点.充分性充分性. 若 e 中每一点都不是 e 的边界点. 要证 e 为开集. x e,由于 x 不是 e 的边界点. 故必存在x的一个邻域u(x, ),在这个邻域 u(x, )内或者全是 e 中的点. 或者全都不是 e 中的点, 两者必居其一. 由于x e, 故后一情形不会发生.因此, u(x, )内必全是 e 中的点. 故 x e0, 即, e e0 , 所以 e 是开集.设 e

11、是一非空平面点集, 若x ,ye. 都可用完全含于 e 的折线将它们连接起来, 则称 e 为连通集.如图xye 连通yxe 不连通从几何上看, 所谓 e 是连通集, 是指 e 是连成一片的. e 中的点都可用折线连接.例1, 2中的 d 都是连通集. 如图x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1设 e 是一平面点集. 比如, 例1中 d 是开区域. 如图. e 从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.若 e 是连通的非空开集, 则称 e 是开区域.若 e 是开域, 记eeeee0称为闭区域.如图. e 易见, 例2中的 d 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是

12、连成一片的. 包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.8. 设 e r2, 若存在 r 0, 使 e u(o, r), 则称 e 为有界集. 否则称 e 为无界集.易见, 例1中 d 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 d 是有界集, 它是有界闭区域.设 e 是平面点集, x0 是平面上一个点. 若x0的任一任一邻域内总有无限多个点属于 e . 则称 x0 是e 的一个聚点.从几何上看, 所谓 x0 是 e 的聚点是指在 x0 的附近聚集了无限多个 e 中的点. 即, 在 x0 的任意近傍都有无限多个 e 中的点.x0如图1. 聚点定义也可叙述为: 若 x0 的任一邻域内至

13、少含有 e 中一个异于异于 x0 的点. 则称 x0 为 e 的 一个聚点. (自证).2. e 的聚点 x0可能属于 e , 也可能不属于e .3. e 的内点一定是 e 的聚点.4. 若 e 是开区域. 则 e 中每一点都是 e 的聚点. .的聚点中每一点都是则为闭区域若eeeee.的聚点从而是e即, 区域中的任一点都是该区域的聚点.一般, 集合 e 的边界点不一定是 e 的聚点. 但若 e 是开集, 则 e 的边界点一定是 e 的聚点, 自证.这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 r3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.设 z = f

14、 (x) = f (x, y) 的定义域是平面区域 d .按二元函数定义, x = (x, y)d. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 m (x, y, z). 当 x 在 d 中变动时, 点 m (x, y, z)在空间中变动, 当 x 取遍 d 中一切点时, m (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲面.即, 二元函数表示空间中一片曲面, d是该曲面在 xy 面上的投影区域.xdm (x, y, z)yxzoz = f (x) = f (x, y)如 z = ax +by + c , 表平面表平面.222表表上上半半球球面面yxaz.222表表下下半半球球面面yxaz注

15、意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 r3 的一个子集.三元函数无几何意义.3 32 2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0axfxx所谓当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 a.表示如图xya0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) a | .设二元函数 z = f (x) = f (x, y), 定义域为d. 如图dz = f (x, y)xx如果当

16、x在d内变动并无限接近于x0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (x)无限接近于数 a, 则称a为当x趋近于x0时f (x)的极限.mx0ayzxof (x)类似于一元函数, f (x)无限接近于数 a可用 | f (x) a | 0, 0, 当, )()(2020时yyxx对应的函数值满足| f (x) a | 则称 a 为z = f (x)的, 当 x 趋近于x0时(二重)极限.记作,)(lim0axfxx或,),(lim00ayxfyyxx也可记作 f (x) a(x x0), 或, f (x, y) a (x x0, y y0 ) | 00xx 定义1中要求x0是定义域

17、d的聚点, 这是为了保证 x0的任意近傍总有点x使得f (x)存在, 进而才有可能判断 | f (x) a | 是否小于 的问题.若d是一区域. 则只须要求,0dddx就可保证 x0 是d的一个聚点.另外, 0 |x x0 | 0, 22|)0 , 0(|0yxx 时, 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得当要使 | f (x, y) 0 | , 只须222yx222 yx即有时则当取, |)0 , 0(|,2 22yxx| f (x, y) 0 | 01sinlim00yxxyyx故例例2. 设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f

18、(x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 由注2知, 只须证明当x 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.考察 x =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy从而, 当 x = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当x = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的

19、情形.)1 (lim2220kxkxx),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 000lim20 xx沿 y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为0 (注2).例例3. .sinlim 00 xxyyx求解解:原式 = xyxyyyxsinlim 00 xyxyyyxyxsinlimlim 0000= 0 1 = 0例例4. .)1ln(lim 2201yxyxyyx求解解:原式 = 2201limyxyxyyx2201limyxxyx111例例5. .|lim 2200yxyxyx求解解:原式 = |

20、2|2|lim2200yxxyxyyxyx|2|)|(|lim00yxxyyxyx.|lim 00yxxyyx定理考虑两边夹用| 0yxxy由于故0| |2|lim |lim 002200yxxyyxyxyxyxyx例5似可用下述方法算.0|lim 00yxxyyx从而),0, 0( 0| 时当yxy|lim 00 xyyxyx由于|1|1lim00 xyyx从而0|lim 00yxxyyx (1)轴都在这个轴和时在算注意yxxyyxyx,|lim ,00函数定义域外, 它们不是点(x, y)趋于(0, 0)时的路径.,|lim 00时而在考虑yxxyyx则必须包括 x 轴和 y 轴这两条路径

21、(在这个函数的定义域内).应补充讨论: 当 (x, y)沿 x 轴(y = 0)趋于(0, 0)时,有00|0lim|lim000 xyxxyxyx (2)当 (x, y) 沿 y 轴 (x = 0)趋于(0, 0)时,有0|lim00yxxyxy (3)综合得(1), (2), (3),. 0|lim00yxxyyx这一方法是否具有普遍性? 即, 是否总有初学者在算二重极限时, 容易引出下面算法:如|00lim|lim202200yyyxyxyyx|lim0yy= 0实质上, 就是|limlim|lim22002200yxyxyxyxxyyx?),(limlim),(lim0000yxfyx

22、fxxyyyyxx设 z = f (x) = f (x, y)在区域 d 上有定义, x0 = (x0, y0)为d的内点. 考虑 x = (x, y)沿两条特殊路径趋近于x0 = (x0, y0)时 f (x, y)的极限.情形相当于下图对应的函数极限为),(limlim00yxfxxyy称为先对 x , 后对 y 的二次极限.(1) 先固定 y, 令 x x0, 即, 让点(x, y)沿平行于 x 轴的直线趋于点 (x0, y) , 然后, 再令 y y0, xyo(x0, y)(x, y)(x0, y0)(2) 先固定 x , 令 y y0, 即, 让点(x, y)沿平行于 y 轴的直线

23、趋于点 (x, y0) , 然后, 再令 x x0, 情形相当于下图xyo(x, y0)(x, y)(x0, y0)对应的函数极限为),(limlim00yxfyyxx称为先对 y , 后对 x 的二次极限.由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限. 有,1. 二次极限不一定等于二重极限二次极限不一定等于二重极限.如例2中, 2200limlimyxxyxy0lim0y= 02200limlimyxxyyx= 0但二重极限不存在.2. 两个二次极限不一定相等两个二次极限不一定相等.(如二重极限不存在时, 二次极限可能不相等.)即在很多情形中,),(limlim),(limlim0000yxfyxf

24、xxyyyyxx所以, 不能随便交换极限的顺序.例7.lim 2200yxyxyxyx求解1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于两个累次极限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx定理若累次极限),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在则二重极限yxbyax 二重极限存在不一定能推出累次极限存在.例8则有设 , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sinlimlim0

25、000不存在yxyxyxyx请同学们讨论函数22),(yxxyyxf时的两类极限.)0,0(),(yx当 , 0limlimlimlim22002200yxxyyxxyxyyx. 1)(limlim , 222002200kkkxxkxxyxxykxyyxyx则取即累次极限存在且相等, 但二重极限不存在.设 z = f (x) = f (x, y), 在区域d上有定义.则称 f (x) 在 x0 连续, x0 称为 f (x) 的连续点. 否则称 f (x) 在 x0 间断, x0 称为 f (x) 的间断点. x = (x, y) d, x0 = (x0, y0) d, 若若 f (x) 在

26、在 d 上每一点都连续上每一点都连续, 则称则称 f (x) 在在 d 上连续上连续, 记为记为 f (x) c (d). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 上在直线中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一点都间断.注注1. 二元函数二元函数 f (x)在在 x0 连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件. 在在 x0 有定义有定义, 在在 x0 的极限存在的极限存在, 两者相等两者相等, 2. 多元连续函数的和多元连续函数的和, 差差, 积积, 商商(分母不为分母不为0)以以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 定义可推广到三元以上函数中去.3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连