二重积分概念lsy

1、一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第8章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 d顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 d 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” d),(yxfz d),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分d为 n 个区域n

2、,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkvv1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfvkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk4)“取极限”的直径为定义kkk,pppp2121max)(令)(max1knknkkkkfv10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 d ,),(cyx计算该薄片的质量 m .度为),(),(常数若yx设d 的面积为 , 则m若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网

3、分d 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .dyx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkmm1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkm10),(limk),(kk),2, 1(),(nkmkkkk则第 k 小块的质量yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfv10),(limnkkkkm10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 定义定义:),(yxf设将区域 d 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 i

4、, 使nkkkkfi10),(lim可积可积 , ),(yxf则称dyxfd),(),(yxfi为称在d上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 d上的有界函数 , dyxfvd),(引例1中曲顶柱体体积:dyxmd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在d上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作dyxyxfdd),(,kkkyx 这时分区域d , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作dyxyxfdd),(dyxyxdd),(:若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在则dyxf),(定理定

5、理1 1在d上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 d上连续, 则若有界函数在有界闭区域 d 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在d :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在d 上 y1xo1d二重积分不存在 . dyxfkd),(. 1( k 为常数)dyxgyxfd),(),(. 2d),(d),(d),(.yxfyxfyxfddd213, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 为d 的面积, 则 ),(2121无公共内点ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfdyx

6、fd),(则dyxfd),(dyxd),(5. 若在d上),(yxf, ),(yxdyxfd),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面积为 ,myxfmdd),(则有7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(d),(),(fdyxfd证证: 由性质6 可知,myxfmdd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点d),(dyxffd),(1),(),(d),(fyxfd在闭区域d上 为d 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此:d)(,d)(32ddyxyx其中2) 1()2( :22yxd解解: 积分域 d 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1(

7、)2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 d 位, 1 yx从而d)(d)(32ddyxyx于直线的上方, 故在 d 上 1y2xo1d判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321ddd则原式 =yxyxddd11322yxyxddd12322yxyxddd133221dddyxyxddd1333)34(2323d32d11dyxo0)21 (3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项10:coscos100ddi22yxdyxyxd解解: d 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200i102200即: 1.96 i 210101010d10011021xyoxyo d设函数),(yxfd 位于 x 轴上方的部分为d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1d在 d 上d),(21dyxf在闭区域上连续, 域d 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,2