多元函数微分法

1、一、链式法则一、链式法则 定定理理 如如果果函函数数)(tu 及及)(tv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数， 则则复复合合函函数数)(),(ttfz 在在对对应应点点t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算： dtdvvzdtduuzdtdz 8.3 多元函数的微分法多元函数的微分法.)1(dtdvvzdtduuzdtdz 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz )2()(),(),(),(twwtvvtuuwv

2、uzz zuvwt以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz (3) 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数， 且函数的偏导数， 且函数),(vufz 在在对应点对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个的两个偏偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzy

3、z . , ,xxu v z证 ： 给 一 增 量则都 有 一 偏 增 量),(),(yxuyxxuux ),(),(yxvyxxvvx ),(),(vufvvuufzxx 可微，可微，又又),(vufz )()(22vuovbuazxxxx )( ovvfuufxx 由偏导定义可得：由偏导定义可得： xz)(lim0 xoxvvfxuufxxx xoxvvfxuufx )(lim0 000( )( )limlimlimxxxooxx 而2200( )limlimxxxuvox 2200( )limlimxxxuvoxx 0 xvvzxuuzxz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz

4、uzxu vz,xv yz uzyu vzvy),(vufz ),(yxu ),(yxv 从而从而zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似zyxuyx例例 1 1 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数

5、数dtdz. 解解:tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 2 2 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . 解解: xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例3. 设设f，g为为连续可微函数连续可微函数),(),(xyxgwxyxfz 求求xwxz 解解 设设 xy令zffyxx).()1(21yffgyxwxz (1) ,wy

6、gx),(),(21xyxyfxyxf 例例 4 4 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf 12fyzf zxw2)(21fyzfz 122ffyfyzzz zf1zvvfzuuf 111112fxyf zf2zvvfzuuf 222122fxyf于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 例例5 设设,

7、),(yxeuyxufz 其中其中f具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求yxz 2解解xyuxufeffxufxz xyxuyuyuyuufyufefefyufyxz )(2xyyxuyuyuyyuufxefefefxef 2的的偏偏导导数数。练练习习：求求),(22yxxyfz xyxxyfyyxxyfzx2),(),(222221 解：解：)2(),(),(222221yyxxyfxyxxyfzy 。、的的二二阶阶偏偏导导数数求求222222),(yzxzyxxyfz yxyxxyfyyxxyfzxx2),(),(22122211 解：解：xxyxxyfyyxxyf2)2(),()

8、,(22222221 2),(222 yxxyfxyyxxyfxyxxyfzyy)2)(,(),(22122211 22222122(,)(,) ( 2 )( 2 )fxy xyxfxy xyyy 2),(222 yxxyf 练习练习 设设),sin,2(xyyxfz 其中其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求具有连续的二阶偏导数，求yxz 2解解,cos2vuxfyfxz )sin(coscos)sin(22vvvuvuvuuxffxyxfxffyxz vvvuvuuxfxfxyfxyxfcoscossin)cossin2(2 vvvuvuvuuxfxyxfyxfxffsincoscosc

9、ossin22 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz .,arctan1yxzzxyz求求、设、设例例 222)(1)(1)(arctanxyxydxxdyxyxydxyddz 解：解：22yxydxxdy 2222,yxxzyxyzyx 利用全微分求偏导数是求偏导数利用全微分求

10、偏导数是求偏导数的一个比较简捷的技巧的一个比较简捷的技巧 .,),(2zyxuuuzxyzxyfu求求：设：设例例 ),(zxyzxydfdu 解：解：)()()(321zxdfyzdfxydf )()()(321zdxxdzfydzzdyfxdyydxf dzxfyfdyzfxfdxzfyf)()()(322131 )(31zfyfux )(21zfxfuy )(32xfyfuz 3( , , ),( , ),( , )uf x y zyx t tx z例 ：求的偏导数。123 (1)duf dxf dyf dz解：12 (2)dydxdt12 (3)dtdxdz利用一阶微分形势不变性利用一

11、阶微分形势不变性121212()dydxdtdxdxdz 12122()dxdz 12121223()duf dxfdxdzf dz xu则则12121()ff zu2223ff 称含有未知函数偏导数的方程为偏微分方程；满足偏微分方程的多元函数称为偏微分方程的解.根据题意对已知的变量进行适当的或者规定的变量代换，来简化所给的表达式或者达到求解方程的目的；解题思路：将新变量作为中间变量，原来变量作为自变量，采用多元复合函数求偏导公式写出各偏导，再结合题意继续后续过程.三、变量代换：三、变量代换：22,0ux vxyzzyxxy例1：在自变量变换下，求方程的解。为中间变量。为中间变量。为自变量，为

12、自变量，解：视解：视vuyx,xvvzxuuzxz .xvzuz2 2zzyyv 且有 yzxxzyxyvzyuz2 vzxy 2, 0 uz22( )()zf vf xy为所求.2: 设变换设变换 可把方程可把方程 ayxvyxu20622222 yzyxzxz简化为简化为 ，求常数，求常数a。02 vuz解法一解法一 ,vzuzxz ,2vzauzyz ,22222222vzvuzuzxz ,4422222222vzavuzauzyz .)2(2222222vzavuzauzyxz 将上述结果代入原方程，经整理后得将上述结果代入原方程，经整理后得. 0)6()510(2222 vzaavuza062 aa依题意依题意a应满足应满足0510 a且且解之得解之得 a=3。解法二解法二 将将z视为以视为以x，y为为中间变量的中间变量的u，v的二元复合函数的二元复合函数由题设由题设可解得可解得2,22 avuyavaux从而从而,2 aaux,2 aavx,2 aauy,2 aavyyzaxzaauyyzuxxzuz 212)(21)(22222222vyyzvxxyzavyyxzvxxzaavuz 22222222)2(1)2(2)2(2yzayxzaaxzaa 依题意依