高中数学人教A版必修四教学案：2.2 平面向量的线性运算 含答案

1、起第 1 课时向量加法运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 p80p83的内容，回答下列问题(1)观察教材 p80图 2.21，思考：某对象从 a 点经 b 点到 c 点，两次位移的结果是什么？与从 a 点直接到 c 点的位移有什么关系？提示：从 a 点经 b 点到 c 点，两次位移的结果是位移，与从 a 点直接到c 点的位移相等(2)观察教材 p80“探究”的内容，思考：力 f 对橡皮条产生的效果，与力 f1与 f2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同力 f 与力 f1、f2有怎样的关系？提示：力 f 是 f1 与 f2的合力力 f 在以 f1、f2为邻边

2、的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，f 可以认为是 f1与 f2的什么运算？提示：f 可以认为是 f1与 f2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法2归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 a，作a，b，则向量叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即 ab_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有 a00aa平行四边形法则以同一点 o 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作oac

3、b，则以 o 为起点的对角线_就是 a 与 b 的和我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.(3)向量加法的运算律交换律：abba；结合律：abc(ab)ca(bc)问题思考(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则(2)当两非零向量 a，b 共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用(3)式子0 正确吗？课前反思(1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交

4、换律：；(5)向量加法的结合律：思考 1求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则思考 2三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的如图所示，(平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1(1)如图，利用向量加法的三角形法则作出 ab；(2)如图，利用向量加法的平行四边形法则作出 ab.尝试解答(1)如图所示，设a，a 与 b 有公共点 a，

5、故过 a 点作b，连接即为 ab.(2)如图，设a，过 o 点作b，则以 oa、ob 为邻边作oacb，连接 oc，则ab.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即 n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单练一练1如图，已知 a、b、c，求作向量 abc.解：作法：在平面内任取一点 o，如图所示作abc.思考向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换

6、律：abba；向量加法的结合律：(ab)ca(bc)讲一讲2化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0.练一练2如图，在abc 中，o 为重心，d、e、f 分别是 bc、ac、ab 的中点，化简下列三式：讲一讲3在某地抗震救灾中，一架飞机从 a 地按北偏东 35的方向飞行 800 km 到达 b 地接到受伤人员，然后又从 b 地按南偏东 55的方向飞行 800 km 送往 c 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和尝试解答如图所示，

7、设分别表示飞机从 a 地按北偏东 35方向飞行 800km，从 b 地按南偏东 55的方向飞行 800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有8008001 600 (km)又35，55，abc355590. 80028002800 2(km)其中bac45，所以方向为北偏东 354580.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3轮船从 a 港沿东偏北 30方向行驶了 40 km 到达 b 处，再由 b 处沿正北方向行驶40 km 到达 c 处，求此时轮船与

8、a 港的相对位置解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且.cad60，即此时轮船位于 a 港东偏北 60，且距离 a 港 40 3 km 处课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用2要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲 1；(2)向量加法运算，见讲 2；(3)向量加法的应用，见讲 3.3求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”课下能力提升(十四)学业水平达标练题组 1求作向量的和1 如

9、图，已知两个不共线的非零向量 a，b，求作 ab.解：在平面内任取一点 o，2已知两非零向量 a，b(如图所示)求作 ab.解：如图所示：在平面内任取一点 o，作题组 2向量加法运算4下列等式错误的是()aa00aaa2 5b4 5c12d66根据图示填空解析：由三角形法则知7 已知正方形 abcd 的边长为 1，a，c，b， 则|abc|为_解析：|abc|2 2.答案：2 28如图，o 为正六边形 abcdef 的中心，根据图示计算：解：(1)因为四边形 oabc 是以 oa，oc 为邻边的平行四边形，ob 为其对角线，所以题组 3向量加法的应用9若 a 等于“向东走 8 km” ，b 等

10、于“向北走 8 km”则|ab|_，ab 的方向是_解析：如图所示，设a，b，则ab，且abc 为等腰直角三角形，则|8 2 km，bac45.答案：8 2 km北偏东 4510雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以4 33m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度以，为邻边作平行四边形 oacb，就是雨滴下落的实际速度在 rtoac 中，|4，|4 33，aoc30.故雨滴着地时的速度大小是8 33m/s，方向与垂直方向成 30角向东.能力提升综合练1设 a，b 是任

11、一非零向量，则在下列结论中，正确的为()ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.abcd解析：选 ca0，是正确的2 已知 d，e，f 分别是abc 的边 ab，bc，ca 的中点， 则下列等式中不正确的是()解析：选 d由向量加法的平行四边形法则可知，3如图，四边形 abcd 是梯形，adbc，则()4已知abc 的三个顶点 a，b，c 及平面内一点 p 满足，则下列结论中正确的是()ap 在abc 的内部bp 在abc 的边 ab 上cp 在 ab 边所在的直线上dpp 在abc 的外部解析：选 d，根据平行四边形法则，如图，则点 p 在abc 外答案：6若 p 为abc

12、 的外心，且，则acb_解析：，则四边形 apbc 是平行四边形又 p 为abc 的外心，因此acb120.答案：1207 在 四 边 形 abcd 中 ， 对 角 线 ac、bd 交 于 点 o 且 | 0，cosdab12.求又 cosdab12，dab(0，)， dab60，abd 为正三角形8已知船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解：作出图形，如图船速 v船与岸的方向成角，由图可知 v水v船v实际，结合已知条件，四边形 abcd 为平行四边形，在 rtacd 中，|v水|10 m/min，60

13、，从而船与水流方向成 120的角故船行进的方向是与水流的方向成 120的角第 2 课时向量减法运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 p85p86的内容，回答下列问题(1)一个数 x 的相反数是什么？一个向量 a 有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数 x 的相反数是x.一个向量 a 有相反向量，记为a.(2)任何一个数 x 与它相反数的和为 0，那么向量 a 与它的相反向量的和是什么？提示：a(a)0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量 a 与 b 的差 ab 吗？提示：可以，先作b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出 a(b)即可2归纳总结，

14、核心必记(1)相反向量与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a规定：零向量的相反向量仍是零向量；(a)a；a(a)(a)a0；若 a 与 b 互为相反向量，则 ab，ba，ab0(2)向量的减法定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：以 o 为起点，作向量a，b，则_ab，如图所示，即 ab 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量问题思考(1)若两个非零向量 a 与 b 互为相反向量，则 a 与 b 应具备什么条件？提示：长度相等；方向相反(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量

15、是指两个向量方向相反，模相等(3)若 abcd，则 adbc 成立吗？提示：成立移项法则对向量的运算是成立的课前反思(1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和；起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用练一练1化简下列各式：思考 1已知两个非零向量 a，b，如何作 ab?名师指津： 求作两向量的差可以转化为两个向量的和， 也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量思考 2ab 的几何意义是什么？名师指津

16、：ab 的几何意义是：当向量 a，b 的始点相同时，从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量讲一讲2(1)四边形 abcd 中，若()aabcbb(ac)cabcdbac(2)如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc.尝试解答(1)acb.(2)法一：如图所示，在平面内任取一点 o，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二： 如图所示， 在平面内任取一点 o， 作a，b， 则ab，再作c，连接 oc，则abc.答案：(1)a求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如 ab，可以先作b，然后作 a(b)即可(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的

17、起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量练一练2如图，o 为abc 内一点，a，b，c.求作：(1)bca；(2)abc.如图所示(2)由 abca(bc)，如图，作obec，连接 oe，连接 ae，则a(bc)abc.讲一讲3如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)三点注意注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；注意在封闭图形中利用多边形法则练一练课堂归纳感悟提升1本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利

18、用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量2要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲 1；(2)向量减法及其几何意义，见讲 2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲 3.3掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果课下能力提升(十五)学业水平达标练题组 1向量的减法运算1已知非零向量 a 与 b 同向，则 ab()a必定与 a 同向b必定与 b 同向c必定与 a 是平行向量d与 b 不可能是平行向量解析：选 c若|a|b|，则 ab 与 a 同向，若|a|b|，则 ab

19、 与b 同向，若|a|b|，则 ab0，方向任意，且与任意向量共线故 a，b，d 皆错，故选 c.3给出下面四个式子，其中结果为 0 的是()abcd题组 2向量减法及其几何意义4若 o，e，f 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()解析：选 b由减法法则知 b 正确a3，8b(3，8)c3，13d(3，13)6如图，在正六边形 abcdef 中，()7已知菱形 abcd 边长都是 2，求向量的模题组 3利用已知向量表示未知向量8如图，向量，则向量可以表示为()aabcbabccbacdbac解析：选 cbac.故选 c.9已知一点 o 到abcd 的 3 个顶点 a，b，c 的向量分别

20、是 a，b，c，则向量等于()aabcbabccabcdabc解析：选 b如图，点 o 到平行四边形 abcd 的三个顶点 a，b，c 的向量分别是 a，b，c，结合图形有abc.10如图，已知 abcdef 是一正六边形，o 是它的中心，其中b，c，则等于_解析：bc.答案：bc11如图，在五边形 abcde 中，若四边形 acde 是平行四边形，且a，b，c，试用 a，b，c 表示向量能力提升综合练1有下列不等式或等式：|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|b|0 时，与 a 方向相同，当0 时，与 a 方向相反.特别地，当0 或 a0 时，0

21、a0 或00(2)向量数乘的运算律设，为实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab特别地，()a(a)(a)，(ab)ab(3)共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量 a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b问题思考(1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如a，2b 无法运算(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没

22、有方向(3)0 时，a0；a0 时，a0，这两种说法正确吗？提示：不正确，a0 中的“0”应写为“0”课前反思(1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：思考向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号 共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”， 这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数讲一讲1化简下列各式：(1)3(6ab)9a13b；(2)12（3a2b）a12b212a38b；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.尝试解答(

23、1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式122a32ba34ba34ba34b0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项” “公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算练一练1设向量 a3i2j，b2ij，求13aba23b(2ba)解：原式13aba23b2ba1311a1232b53a53b

24、53(3i2j)53(2ij)5103 i10353 j53i5j.讲一讲2.已知在abcd 中，m，n 分别是 dc，bc 的中点若，试用 e1，e2表示尝试解答m，n 分别是 dc，bc 的中点，mn 綊12bd.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量， 应结合已知和所求， 联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用练一练2.如图所示，四边形 oadb 是以向量 oaa，obb 为邻边的平行四边形又bm13bc，cn13cd，试用 a，b 表示思考 1如何证明向量 a 与 b 共线？名师指津：要证向

25、量 a 与 b 共线，只需证明存在实数，使得 ba(a0)即可思考 2如何证明 a，b，c 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3(1)已知 e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：a，b，d 三点共线(2)已知 a，b，p 三点共线，o 为直线外任意一点，若求 xy 的值ab 与 bd 有交点 b，a，b，d 三点共线(2)由于 a，b，p 三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数使故 x1，y，即 xy1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2

26、)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则共线，又有公共点 a，从而 a，b，c 三点共线，这是证明三点共线的重要方法练一练3如图所示，已知 d，e 分别为abc 的边 ab，ac 的中点，延长 cd 到 m 使 dmcd，延长 be 至 n 使 been，求证：m，a，n 三点共线证明：d 为 mc 的中点，且 d 为 ab 的中点，m，a，n 三点共线课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用2掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲 1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲 2；(3

27、)共线向量定理及应用，见讲 3.3本节课的易错点当 a、b、c、d 四点共线时，共线；反之不一定成立4要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时， 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程5注意以下结论的运用(1)以 ab，ad 为邻边作abcd，且则对角线所对应的向量ab，ab.课下能力提升(十六)学业水平达标练题组 1向量的线性运算1.1312（2a8b）（4a2b）等于()a2abb2bacbadab解析：选 b原式16(2a8b)13(4a2b)13a43b43a23ba2b2ba.2已

28、知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若 mamb，则 ab；若 mana，则mn.abcd解析：选 b和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若 m0，则不能推出 ab，错误；中，若 a0，则 m，n 没有关系，错误题组 2用已知向量表示未知向量ar12p32qbrp2qcr32p12qdrq2p12p32q.4在abc 中，点 p 是 ab 上一点，且则 t 的值为()a.13b.23c.12d.535如图所示，在abcd 中，a，b，an3nc，m 为 bc 的中点，则_(用 a，b 表示)12b14(ab)14b14a14

29、(ba)答案：14(ba)6如图所示，已知abcd 的边 bc、cd 的中点分别为 k、l，且e1，e2，试用 e1，e2表示y12xe1，x12ye2.2得12x2xe12e2，解得 x23(2e2e1)，即23(2e2e1)43e223e1，同理得 y23(2e1e2)，即43e123e2.题组 3共线向量定理的应用7对于向量 a，b 有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e125e2，be1110e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量 a，b 一定共线的有()abcd解析： 选 a对于， ab； 对于， a12b； 对于， a4b； 对于， 若 ab(0)，则 e1e2(2e12e2)，即(12)e1(12)e20，所以 12120，矛盾，故中a 与 b 不共线8已知向量 a，b，且7a2b，则一定共线的三点是()aa，b，dba，b，ccb，c，dda，c，d解析：选 a(5a6b)(7a2b)2a4b2，所以 a，b，d三点共线9已知 e1，e2是两个不共线的向量，而 ak2e1152ke2与 b2e13e2是两个