函数单调性与导数

1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(c)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1复习回顾：复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 2.导数的运算导数的运算法则（1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数

2、的商的导数）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。uv2u vuvv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+uv/.函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 g 上，当上，当 x 1、x 2 g 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在g 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在g 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在g上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在g上具有严格的单调性。上具

3、有严格的单调性。g 称为称为单调区间单调区间g = ( a , b )复习引入复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定

4、义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0 时时,函数函数y=f(x) 在区间在区间(2, +)内为增函内为增函数数. y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜切线的斜率为负率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在这个区间内是在这个区间内是增函数增函数;如果如果 0,解得解得x1,因此因此,当当 时时,f(x)是增函是增函数数;), 1( x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,当当 或或 时时, f(x)是增函数是增函数.), 3( x)1 ,(

5、 x令令3x2-12x+90,解得解得1x0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf )(xf 练习练习1 1:求函数求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间的单调区间.答案答案:递增区间是递增区间是 和和 ;递减区间是递减区间是(-2,1). )2,( ), 1 ( 将图中将图中t与与h 换成换成h和和v对应的图是哪一个呢对应的图是哪一个呢?解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( x

6、xxf注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间的递增区间是是(1,+);由由 解得解得-1x0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a()0只是函只是函数数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不函数的充分不必要条件必要条件.)(xf 2.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函则当函数数f(x) 时在闭区间时在闭区间a,b上连续上连续,那么单调区间可那么单调区间可以扩大到闭区间以扩大到闭区间a,b上上.4.利用导数的符