七3第三节向量的坐标

1、一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uabuuab.abababuuabuabab ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数第三节第三节 向量的坐标向量的坐标证证例例 1 1 在在u轴上取定一点轴上取定一点o作为坐标原点设作为坐标原点设ba,是是u轴上坐标依次为轴上坐标依次为1u, 2u的两个点，的两个点，er是与是与u轴轴同方向的单位向量，证明同方向的单位向量，证明euuabr)

2、(12- - .只须证明两个向量的模相只须证明两个向量的模相等且方向相同。等且方向相同。空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0rr a, 0rr barbr 向向量量ar与与向向量量br的的夹夹角角),(barr ),(abrr 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u aa 过过点点a作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点a 即即为为点点a在

3、在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uaa bb 已知向量的起点已知向量的起点a和终点和终点b在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为ba ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段ba 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.abjupr向量向量ab在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量ab在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：abjupr cos| ab 证证uaba b b abjuprabju pr cos| ab u 定理定

4、理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uarbrcr(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .prpr)(pr2121a ja jaajrrrr aa bb cc （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1ar2ar二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标上的投影分别为点上的投影分别为点在轴

5、在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设212121,ppummumma r上的坐标依次为上的坐标依次为在轴在轴又设又设2121,uuupp1m1p2m2puo.)(12euur- - 由例由例1知知pp21如果如果er是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量，设设ar是是以以),(1111zyxm为为起起点点、),(2222zyxm为为终终点点的的向向量量，过过21, mm各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21mm为为对对角角线线的的长长方方体体. 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影 向量在向量在

6、轴上的投影轴上的投影 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影kzzjyyixxmmrrr)()()(12121221- - - - - - 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyxrrr向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa r,12121221zzyyxxmm- - - - 特殊地：特殊地：,zyxom 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa r,zyxbbbb r,zzyyxxbabababa rr,z

7、zyyxxbabababa- - - - - -rr,zyxaaaa r;)()()(kbajbaibazzyyxxrrr ;)()()(kbajbaibazzyyxxrrr- - - - - - .)()()(kajaiazyxrrr 解解,111zzyyxxam- - - - ,222zzyyxxmb- - - - 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxa和和),(222zyxb为两已知为两已知点，而在点，而在ab直线上的点直线上的点m分有向线段分有向线段ab为为两部分两部分am、mb，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1(- -

8、，即，即 mbam，求分点的坐标，求分点的坐标.abmxyzo由题意知：由题意知：mbam ,111zzyyxx- - - -,222zzyyxx- - - - 1xx - -)(2xx - - 1yy - -)(2yy - - 1zz - -)(2zz - - ,121 xxx,121 yyy,121 zzzm为为有有向向线线段段ab的的定定比比分分点点.m为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的的方向角方向角：ar非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1

9、m 2m 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1m 2m 由图分析可知由图分析可知 cos|aaxr cos|aayr cos|aazr 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa rpqr向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121rmqmpmmm 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特

10、征方向余弦的特征0a|aarr .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjiarrrr676- - 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向ar222)6(76|- - ar,11 |aarr 0a,116117116kjirrr- - 或或0a|aarr- - .116117116kjirrr - - - 例例 4 4 设有向量设有向量21pp，已知，已知221 pp，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1p的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2p的坐标的坐标.解解.32,3 设设2p的坐标为的坐标为),(zyx,1cos- - x 21pp21- -x21 , 2 x0cos- - y 21pp20- -y22 , 2 y3cos- - z 21pp23- -z, 2, 4 zz2p的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例 5 5 设设kjimrrrr853 ，kjinrrrr742- - - ，kjiprrrr45- - ，求向量，求向量pnmarrrr