一阶隐式微分方程

1、 常微分方程 绵阳师范学院1)(未能解出或相当复杂y一阶隐式方程一阶隐式方程) 1 (, 0),(yyxf求解思想方法求解思想方法 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型主要研究以下四种类型),() 1 (yxfy ),()2(yyfx , 0),()3(yxf, 0),()4(yyf1.6 一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程 常微分方程 绵阳师范学院2有时使当与上的函数如果存在定义在对于微分方程,),(),()(),(, 0),(ttytxdxdyyxf, 0)()(),(),(ttttf.0),(),(,)()(的参

2、数形式解为方程则称dxdyyxfttytx的参数形式通解为同样可定义方程0),(dxdyyxf).,(,),(),(tctyctx定义定义 常微分方程 绵阳师范学院3的方程或可解出一)(xy、1 形如)2(),(dxdyxfy 方程的解法方程的解法,。yxf有连续的偏导数这里假设),(变为则方程引进参数)2(,10yp )3(),(pxfy 得代入并以求导两边对将,)3(20pdxdyx)4(,dxdppfxfp。px的一阶微分方程这是关于变量 , 常微分方程 绵阳师范学院4),(cxp(i) 若求得(4)的通解形式为) 4(,dxdppfxfp将它代入(3),即得原方程(2)的通解。ccxx

3、fy为任常数),(,(ii) 若求得(4)的通解形式为),(cpx则得(2)的参数形式的通解为),(cpx),),(pcpfy., 是任意常数是参数其中cp) 3(),(pxfy 常微分方程 绵阳师范学院5(iii) 若求得若求得(4)的通解形式为的通解形式为0),(cpx则得则得(2)的参数形式的通解为的参数形式的通解为0),(cpx),(pxfy ., 是任意常数是参数其中cp 常微分方程 绵阳师范学院6附注附注1:.,了而不再表示只起参数作用这也表明在通解中的另方面一方面这是习惯所至来替代通常用数在参数形式通解中的参ydxdyptp附注2:.,),(,),(,.),(,),(,),(,1

4、11这显然是不对的与数常中有两个相互独立的任而常数通解中只有一个任意是一阶微分方程因为我们可这样去理解得到分积并进而两边关于即看成中的不应把能解比如在求得通解后cccdxcxyyxfycdxcxyxcxdxdydxdypcxp 常微分方程 绵阳师范学院7解解:则原方程变为令, pdxdy)6(,2)(22xxppy求导得两边对x,2xpdxdpxdxdppp整理化简后得方程整理化简后得方程)7(, 0)2)(1(xpdxdp例例1 求解方程求解方程.2)(22xdxdyxdxdyy 常微分方程 绵阳师范学院8解得解得(7)的通解为的通解为:. cxp将它代入将它代入(6)得原方程的通解得原方程

5、的通解:)8(,222为任常数cxcxcy)6(,2)(22xxppy)7(, 0)2)(1(xpdxdp又从02 xp解得解得(7)的一个解为的一个解为:,2xp 01dxdp从 常微分方程 绵阳师范学院9将它代入将它代入(6)得原方程的一个解得原方程的一个解:.42xy 故原方程的解为故原方程的解为:通解通解:)8(,222为任常数cxcxcy及一个解及一个解:.42xy .)8(,4,4)8(22该点与之相切中的某一条积分曲线在都有积分曲线族处上的每一点且在积分曲线不包含这里通解xyxy的包络为曲线在几何中称曲线)8(42xy 。xy为原方程的奇解在微分方程中称解42 常微分方程 绵阳师

6、范学院1024xy (奇解与包络在第二章第四节中详细讨论奇解与包络在第二章第四节中详细讨论,这里不这里不妨先理解为特殊解与积分曲线族妨先理解为特殊解与积分曲线族) 常微分方程 绵阳师范学院11例例2.求在第一像限中的一条曲线求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.解解:),(xyy 设所求的曲线为的切线方程为则过曲线上任一点),(yx)(xxyyy,),(为切线上的动点其中yx因此因此,切线在坐标轴上的切线在坐标轴上的,:yyxaa为横载距,:xyybb为纵载距 , 0a ,x y 0, b 常微分方

7、程 绵阳师范学院12因所求曲线在第一象限因所求曲线在第一象限,由题意得由题意得2)(21xyyyyx即即24)(yxyy:)0(得解以上方程y,2yxyy:得令py ,2pxpy:求导得两边对x,1dxdppdxdpxpp即即, 0)1(dxdppx 常微分方程 绵阳师范学院13,0时当dxdp, cp 有故得通解为故得通解为:,2ccxy它是直线族它是直线族.,01时当 px得另一特解为得另一特解为:01 pxpxpy2:得消去参数p, 1xy这是双曲线这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线显然这才是我们所要求的一条曲线., 0)1(dxdppx,2pxpy0p)1(ppp22)(p 常

8、微分方程 绵阳师范学院142 形如形如)9(),(dxdyyfx 方程的解法方程的解法,。yyf有连续的偏导数这里假设),(变为则方程引进参数)9(,10dxdyp ),(pyfx 得代入并以求导将上式两边对,1,20pdydxy)10(,1dydppfyfp。py的一阶微分方程这是关于变量 ,pfyfpdydp1 常微分方程 绵阳师范学院15)10(,1dydppfyfppfyfpdydp1若求得若求得(10)的通解形式为的通解形式为0),(cpy则得则得(9)的参数形式的通解为的参数形式的通解为., 是任意常数是参数其中cp0),(cpy),(pyfx 常微分方程 绵阳师范学院16例例3

9、求解方程求解方程. 02)(3ydxdyxdxdy解解:,代入方程得设dxdyp 方程变形为方程变形为:dxdydxdyyx2)(3).0(,23pppyx得代入并以求导上式两边对,1,pdydxy,2)()31 (1232pdydppydydpppp 常微分方程 绵阳师范学院17即即, 023dppydppdy解以上微分方程得解以上微分方程得:,24cpyp因而因而:,24ppcy故方程的通解参数形式为故方程的通解参数形式为22434ppcx223ppcy).,0(为任常数为参数 cp . 0,y还有解此外22434ttcx223ttcy习惯通解记成习惯通解记成:).,0(为任常数为参数 c

10、t 常微分方程 绵阳师范学院18的方程或不显含二)(xy、1 形如形如)11(, 0),(dxdyxf方程的解法方程的解法,。yxf有连续的偏导数这里假设),(,dxdyp 设.),(,或若干条曲线平面上的一条曲线表示从几何上看pxpxf, 0),(:)11(pxf变为则为参数表示若能找到该曲线的参数ttptx),(),(:, 0)(),(ttf即满足即满足: 常微分方程 绵阳师范学院19恒满足的任何一条积分曲线上由于沿方程,0),(pxfpdxdxydy代入上式得把)(),(tptxdy)()(tdtdttt)()(两边积分得两边积分得,)()(cdttty于是得到原方程参数形式的通解为于是

11、得到原方程参数形式的通解为)(tx,)()(cdttty 常微分方程 绵阳师范学院20解的步骤解的步骤:则方程变为设,10dxdyp , 0),(pxf即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,20pxft,)()(tptx并两边积分得代入把,)(),(30pdxdytptx,)()(cdttty,)()()(40cdtttytx通解为“关键一步也是最困难一步关键一步也是最困难一步” 常微分方程 绵阳师范学院21例例4 求解方程求解方程,)(12dxdyxdxdy解解的隐式方程这是不显含y:,则方程变为设dxdyp ,12pxp把方程表为参数形式引入参数 , t代入方程得令,22,tanttp

12、.sintx 常微分方程 绵阳师范学院22故原方程参数形式的通解为故原方程参数形式的通解为txsinctycos得通解为可以消去参数 , t. 1)(22cyx由于由于 pdxdytdttcostan,sintdt积分得积分得dttysinct costxtpsin,tan 常微分方程 绵阳师范学院232 形如形如)12(, 0),(dxdyyf方程的解法方程的解法,。yyf有连续的偏导数这里假设),(解的步骤解的步骤:,10则方程变为设dxdyp , 0),(pyf即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,20pyft)(),(tpty并两边积分得代入把,)(),(30pdydxtpty,)()(cdtttx,)()()(40tycdtttx通解为“关键一步也是最困难一步关键一步也是最困难一步” 常微分方程 绵阳师范学院24例例5 求解微分方程求解微分方程. 1)(1 (22dxdyy解解,0),(类型方程属于dxdyyf:,则方程变为设dxdyp . 1)1 (22 py代入方程得令,costp ,sin1ty由于由于pdydxdttt2sincostcosdtt2sin1积分得积分得 常微分方程 绵阳师范