不定积分的求法

1、5.2.3 分部积分法分部积分法 . 种方法种方法积分时应用较广泛的一积分时应用较广泛的一分部积分法是计算不定分部积分法是计算不定 :导公式相对应该方法与函数的乘积求 , )( ),( 则有上可微在区间设函数ixvxu . )()()()() )()(xvxuxvxuxvxu , )()( )()( 对上式两的原函数存在与如果函数xvxuxvxu , 便得到积分边关于 x . d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分部积分公式该公式称为不定积分的定理 )()( . )( , )( xvxuixvxu若函数上可微在区间设函数 , 则上的原函数存在在区间 i . d)()(

2、)()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分部积分公式该公式称为不定积分的 . 函数的积分计算一个数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑运用分部积分法进行计算:多项式与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 多项式与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 ,例1解 . dsin xxx计算xxu)(1)( xuxxvsin)(xxvcos)(xxxxxxxd)cos()cos(dsinxxxxdcoscos . sincoscxxx例2解 . sindcos

3、 3xxxx计算x1xx3sincosx2sin21 xxxxxxxx223sind21sin2sindcos . cot21csc22cxxx 333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx . sin212122cxcu) sin (xu 例3解 . darccos xx计算x1xarccos21 1x 1 darccosdarccos2xxxxxxx . 1 arccos2cxxx例4解 . dsin 2xxx计算xcosxsin2xx2xxxxxxxxdcos2cosdsin22xsinxcosx1)dsinsin(2cos2xxxxxx . cos2sin2cos2cxxxx

4、x . , , , 用分部积分法可以连续使只要条件允许与换元法一样该例说明例5解xsinxcosxexe . dcos xxex计算 dsinsindcosxxexexxexxxxcosxsinxexe)dcoscos(sinxxexexexxx dcoscossinxxexexexxx . )cos(sin21dcos cxxexxexx故 :,可能会出现下列关系式在运用分部积分法时该例显示 . ) 1 ( d)()(d)(axxfaxxxf , ,便可得出后任意常数经移项并在等式右端加此时c 所求的不定积分 . )(11d)(cxaxxf例6解x122ax 22axx . d 22xaxi

5、计算 dd2222222axxxaxxxaxi d)(2222222axxaaxaxx dd2222222axxaxaxaxx|ln 22222axxaiaxx . |ln221d 2222222caxxaaxxxaxi故例7解 . ,d)(ln znxxn计算x1nx)(lnxxnn1)(ln1 ,d)(ln 则记xxinn d)(ln)(lnd)(ln1xxnxxxxinnnn . )(ln1nninxx : , 得到一个递推关系式于是 . )(ln1nnninxxi利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. . d)(ln ,33xxi求例如 ,3)(ln233ixxi

6、 ,2)(ln122ixxi ,ln01ixxi ,dd)(ln00cxxxxi)(ln1cxxxi)(ln(2)(ln22cxxxxxi . 6ln6)(ln3)(ln 233cxxxxxxxi故例5.2.33解xcosxsinxn 1sinxxnncossin) 1(2 . dsin xxn计算 ,dsin 则记xxinnxxxxxinnndsinsindsin1 dcossin) 1(cossin221xxxnxxnn dsin) 1(dsin) 1(cossin21xxnxxnxxnnnxx22sin1cosnnnininxx ) 1( ) 1(cossin21 . 1cossin1

7、21nnninnxxni故 . d0cxxi 如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用。例9解 . 1 d xxexxe计算 1d2d ) 1ln( 1 22，故，则令uuuxuxeuxuuuuuuuuexxexxd) 1(ln 21d2) 1() 1ln( 1 d2222 , d)1ln() 1ln( 2uuu1d) 1ln(d) 1ln(uuuuuuuuuuuud11) 1() 1ln(, | 1|ln) 1ln(1cuuuu类似地，有 | 1|ln) 1ln(d) 1ln(2，cuuuuuucuuuuuexxexx| 1| 1|ln24) 1ln(2 1 d

8、 2故 . 11 11 ln21 )2(2ceeexxxx例10解 . d1arctan 22xxxx计算 d1arctan) 11( d1arctan2222xxxxxxxx d1arctandarctan2xxxxx )d(arctanarctan1darctan2xxxxxxxx1xarctan211x . arctan21)1ln(21arctan22cxxxx例5.2.34.)(,sin)(dxxf xxxxf求的原函数为设解,sincos)sin()(2xxxxxxxf,sin)(cxxdxxf)()(xxdfdxxf xdxxfxxf)()(cxxxxxxsinsincos.si

9、n2coscxxx5.3.1 有理函数的积分法有理函数的积分法 部分分式法部分分式法式的商构成的函数：有理函数是由两个多项 )( 为有理真分式；时，称当xrmn . )( 为有理假分式时，称当xrmn )()()( 11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxpxr为一个多项式与一个运用除法可将假分式化 . 有理真分式的和的形式我们只需讨论有理真分式的积分方法我们只需讨论有理真分式的积分方法.5.3 几类特殊初等函数的积分几类特殊初等函数的积分由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：, )( , , )( , 22kkqpxxbaxqpxxb

10、axaxbaxa . 04 2qprqpabazk，且，常数其中，高等代数有关定理简介，则，若0)()()()( . 111aqzkxqaxxqk , )( )( )()( )( )(11111xqxpaxaaxaaxaxqxpkkkk . )( )( 11为有理真分式其中，xqxp，则，且，若04 )()()( . 2222qpzkxqqpxxxqk , )( )( )()( )( )(2221112112xqxpqpxxbxaqpxxbxaqpxxbxaxqxpkkkkkk . )( )( 22为有理真分式其中，xqxp有理真分式可以分解为部分分式例11解 . 2422 1322)( 23

11、452写成部分分式形式将xxxxxxxxr ) 1)(2(2422 222345，故令因为xxxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xedxxcbxxa通分、比较分子的系数2342)22()2()(1322xedabxdexdaxx)22()22(ecaxedbc得到代数方程组0 da02 de222edab222edbc1322eca , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程组得：edcba . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx例12解 . d431 232xxx

12、x计算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xcxbxaxxx 通分，比较系数，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxcxbxax ; 92 , 1 ax得令 ; 35 , 2 bx得令 , 97 , 0 cx得令xxxxxxxxd2197)2(1351192d431 2232故 . |2|ln97)2( 35| 1|ln92cxxx例13)04(d 22qpxqpxxbax解,2)( 2pxqpxxdxqpxxbappxaxqpxxbax222)2(2d qpxxdxapbdxqpxxpxa22)2(22 44)2()2(22 222pqpxdxap

13、bdxqpxxpxa2222)44()2()2(22)ln(2pqpxpxdapbqpxxacpqpxpqabpbqpxxa22242arctan42)ln(2cpqpxpqabpbqpxxa442arctan44122)ln(2222dxqpxxbappxaxqpxxbaxkk)(2)2(2d)( 22kkqpxxdxapbdxqpxxpxa)()2()(22 22kkpqpxpxdapbkqpxxa)44()2()2(221)(222212类似地, 2/)44()2()2(222pxupqpxpxdk可令而积分 的积分来计算。的积分来计算。化为形如化为形如kaudu22例5.3.4 .dx

14、 )3)(1( 4 2 xxxx计算计算解 .31 )3)(1( 422 xxcbxxaxxxx令令两边去分母，得两边去分母，得 )1)()3(42 xcbxxxax；，得，得令令11 ax；，得，得令令cax 340).(2331cbax ，得，得令令. 11 cba，从而可得：从而可得：所以所以 3111 )3)(1( 422，令令 xxxxxxxx )3111( )3)(1( 422 dxxxxxdxxxxx 312 dxxxx而而 32112212 dxxxx）（12)3(2 xxx 31 213122122 dxxxdxxxx 4/11)2/1(1 213)3(21222 dxxdx

15、xxxxd )21(4/11)2/1(1 21)3ln(2122 xdxxx c11/41/2arctan11/4121)3ln(212 xxx c11/41/2arctan11/4121)3ln(212 xxx c1112arctan111)3ln(212 xxx5.3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 , 2tan 积分转化为相应的可将三角函数有理式的令xt 有理函数的积分计算： . 1d2) 11 ,12 (d)cos ,(sin2222ttttttrxxxr , 1 22tan12tan22sec2tan22cos2tan22cos2sin2sin2222ttxxxxxxx

16、xx , 112tan12tan12cos)2tan1 (2sin2coscos22222222ttxxxxxxxxd它将代换”常常被人们称为“万能代换 . 2tan xt 而转化为有理函数积分 , d)( d)cos ,(sinttrxxxr最差的情况也可用部解决了的有理函数的积分是彻底( 换”能够彻底解决从而可以认为“万能代分分式法 , ) . ,法但它不一定是最好的方计算三角函数有理式的积分请记住：请记住： 2tan时：时：xt 21 2sinttx 2211costtx 21d2dttx 21 2tanttx 例13解 . sin45 d xx计算 , 1d2d , 1 2sin ,

17、2tan 22故则令ttxttxxt 5 8 5 d2 sin45 d2tttxx ) 5 8 5 ( 5 d 012ttt223d2uu4 5 tucu3arctan32 . 3 4 2 tan 3 5 arctan 3 2cx 223)45(d2tu例14解 . dcos2sin2 xxx计算 dcos2sincos2d2dcos2sin2xxxxxxxx . )cos2ln(cos2)cos2( ddcos2sin2cxxxxxx , 1d 2d , 11cos , 2tan 222故则令ttxttxxt3d 4cos2d22ttxx 3arctan341ct 2tan31arctan3

18、41cx . )cos2ln(2tan31arctan34dcos2sin2 cxxxxx从而其它三角函数有理式的积分计算 , )cos ,(sin)cos ,sin( ) 1 (xxrxxr若 , , tan 此时则可令xt . 1dd , 11cos , 1sin222222ttxtxttx . cos , )cos , (sin)cos , sin( )2(xtxxrxxr则可令若 . sin , )cos , (sin)cos , (sin )3(xtxxrxxr则可令若 )4(的积分化将一些三角函数有理式运用三角函数恒等式可 . 为适宜的积分计算例15解 . sin2d 2xx计算

19、, 1dd ,1sin , tan 2222故则令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxct2arctan21 . 2tanarctan21cx例16解 . tan2d 2xx计算 , 1dd , tan 2故则令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanctt . 2tanarctan21cxx例17解 . ) 0 , 0 ( cossind 为常数计算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa , )sin(22xba . sin , cos , 2222babbaa其中)sin(

20、d1cossind22xxbaxbxax d)csc(122xxba . | )cot()csc(|ln122cxxba利用恒等变换例18解 . dcos1sin1 xxx计算 d)cos1)(cos1 ()cos1)(sin1 (dcos1sin1xxxxxxxxxxxxxxdsincossinsincos12xxxxxxxd) sincoscscsincoscsc (22 |sin|ln|cotcsc|lnsin1cotcxxxxx . sin|cos1 |lnsincos12cxxxx也没有用变量代换5.3.3简单无理函数的积分简单无理函数的积分主要讨论主要讨论 及及),(nbaxxr)

21、,(ndcxbaxxr例1dxxx1例2321xdx例3xxdx)1 (3dxxxx11例4令11,12txtxx令6tx令tx 32令tx1例19解 . d111 xxxx计算 121 ) 1( d 4d 11 222，故，则令txtttxxxt ) 1)(1( d 4d1121222ttttxxxtttttd) 1)(1( ) 1() 1( 222221d21d222ttttctttarctan2|1 |1 |lncxxxxxx11arctan2|11|11|ln例20解 . 1 d 25 xxx计算 dd 1 1 222，故，则令ttxxtxxtttxxxd) 1( 1 d2225ttt

22、d) 1 2(24cttt353251 . 1 )1 (32)1 (5123252cxxx5.3. 4 分段函数的积分分段函数的积分 由定理可知，若分段函数是连续的，则必存在原由定理可知，若分段函数是连续的，则必存在原函数，且原函数都是连续的（还是可导的，其导函函数，且原函数都是连续的（还是可导的，其导函数等于被积函数）。所以不定积分也应该是连续函数等于被积函数）。所以不定积分也应该是连续函数族。所以，我们可以得到求分段函数不定积分的数族。所以，我们可以得到求分段函数不定积分的一般步骤如下：一般步骤如下： 1.分别求出各区间段的不定积分表达式；分别求出各区间段的不定积分表达式； 2.由原函数的连续性（在分段点处的左右极