材料力学第七章应力和应变分析强度理论

1、王 培 荣 2021年年11月月13日日教学要求1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌握单元体最大剪应力计算方法。2.掌握广义胡克定律及其应用。3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状改变比能和体积改变比能的一些主要结论和公式。75 三向应力状态 s szs sxs syt txyt tyx至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知s syt txyt tyxs sxs sz三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形s s1s s2s s320050 sss30050st30050ss sst*76位移与应变分量 自 学*77 平面应变分析 n当构件内某点处的变形

2、均平行于某一平面时，则称该点处于平面应变状态。一、任意方位的应变分析研究正应变cos)(dxobxxsin)(dyobyycos)(dyobxyxy)()(obdlxyyxobobob)()()(cossincos)(dydydxdlxyyxcossincos)(dldydldydldxdldlxyyxcossinsincos22xyyx2sin22cos22xyyxyx研究剪应变sincossinxxdldxsincoscos yydldy2 sinsinxyxydldy2cos2sin)(xyyx2cos22sin22xyyx二、应变圆2sin22cos22xyyxyx2cos22sin2

3、2xyyx)2(2sin2)2()2(22xyyxyxs sxt tx y rxyxy 12422s ss st trs ss sxy 2c应力圆应变圆c2)0 ,2(yxcr22)2()2(xyyxr三、最大应变与主应变)()(2122minmaxxyyxyxyxxytan02)(2122maxxyyx 四、通常采用测定一点处沿a、b、c三个方向的线应变的方法，来确定该点处的主应变l、2及其方向。a、b、cx、y、xy1、21 单向应力状态的虎克定律单向应力状态的虎克定律 轴向拉伸轴向拉伸或压缩时或压缩时 或或 sese1由于轴向变形还由于轴向变形还引起横向变形引起横向变形 es2 2 纯剪

4、切应力状态的虎克定律纯剪切应力状态的虎克定律 或或 tgtg1一般情况一般情况下，描述下，描述一点处的一点处的应力状态应力状态需要九个需要九个应力分量应力分量 3 3复杂应力状态的广义复杂应力状态的广义虎克定律虎克定律 在小变形及线弹性范围内，线应变在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。力无关，满足应用叠加原理的条件。 所以，我们利用单向应力状态和纯所以，我们利用单向应力状态和纯剪切应力状态的虎克定律，分别求剪切应力状态的虎克定律，分别求出各应力

5、分量相对应的应变，出各应力分量相对应的应变， 然后，再进行叠加。然后，再进行叠加。xsyszsxyzxes1xesxesyesyes1yeszeszeszes1 正应力分量在不同方向对应的应变正应力分量在不同方向对应的应变 )(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxeeesssssssss得出得出 、 和和 方向的线应变表达式为方向的线应变表达式为 xyz根据剪切虎克定律，在根据剪切虎克定律，在 、 和和 三个面内的三个面内的 剪应变分别为剪应变分别为 xy yzzxzxzxyzyzxyxygggttt111三、三个弹性常数之间的关系三、三个弹性常数之间的关系12eg4 4 主单元体时的广义虎

6、克定律主单元体时的广义虎克定律 xyz1s2s3s1ssx2ssy3ssz0 xyt0yzt0zxt)(1)(1)(1213313223211ssssssssseee 当单元体为主单元体时，且使 、 和 的方向分别与 、 和 的方向一致。这时 二、体积应变及应力的关系 1体积应变体积应变 变形前单元体的体积为变形前单元体的体积为 dxdydzv 变形后，三个棱边的长度变为变形后，三个棱边的长度变为 dzdzdzdydydydxdxdx)1 ()1 ()1 (332211由于是单元体，变形后三个棱边仍互相由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为垂直，所以，变形后的体积为 dx

7、dydzv)1)(1)(1 (3211dxdydzv)1 (32113211vvv于是，单元体单位体积的改变于是，单元体单位体积的改变 2体积应变与应力的关系体积应变与应力的关系 )(21321321sssekemssss3)21 ( 3321)21 (3ek)(31321ssssm称为体积弹性模量称为体积弹性模量体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为体积虎克定律。平均应力成正比，称为体积虎克定律。 是三个主应力的平均值是

8、三个主应力的平均值 例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线成-45o方向正应变-45o，试求力偶矩m之值。材料的弹性常数e、均为已知。此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。n 解题思路：寻找已知量-45o和未知量m间的联系。n1.本题已知正应变-45o,通过广义胡克定律可将正应变-45o和正应力-45o (45o)联系起来。n2.再通过应力状态分析，找到正应力-45o (45o)和横截面上的剪应力的关系。n3.而是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力偶矩m的大小。解:tss0

9、04545tsseeooo11454545由此得0451te由圆轴扭转应力公式:ttwmwtt所以oedwmt453116t101010pyxz解解：60mpamn1060ap26y 00,zz 0.0,xx0)(e1zyxx18mpa)(yzyx60mpa18mpa, 0,3216321z110334)/e(0 x26213y310780)/e(解解: tssssxy3102zss4102 . 5/)(ezyxxsss4102 . 5/)(exzyysss0/)(eyxzzsss0)(ez 79 复杂应力状态的应变密度 1、微元应变能、微元应变能(strain energy)dydxdzxz

10、yddd11 s syzxddd22 s szxyddd33 s s2s s1s s3s s变形变形(应变应变)比能比能 zyxzyxyzxxzydddddd21ddd21ddd21332211332211 s s s s s s s s s s s s dw=2、应变比能、应变比能(strain-energy density) zyxzyxvwudddddd21dd332211 s s s s s s 33221121 s s s s s s 3、体积改变比能与形状改变比能、体积改变比能与形状改变比能+2s s1s s3s ss ss ss ss ss s 3s ss s 2s ss s 1

11、)(31321ssss令vduuu du: strain-energy density corresponding to the distortionvu: strain-energy density corresponding to the change of volume vuuuuvd 21323222161sssssse du 2321621s ss ss s e作作 业业n719（a）、（b）n726n728 例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若立方体的上表面受到均布压力 p=150 mpa。试求列各种情况时钢质立方体中的三个主

12、应力。设钢材的弹性模量e=200gpa,泊松比=0.3。解：;150mpapys0zx)(0)(1)(0)(1beaeyxzzzyxxssssssmpayzx5 .641sssmpampa1505 .64321sss一、横向变形与泊松比一、横向变形与泊松比xsexxsexxys对于各向同性材料对于各向同性材料-泊松比泊松比二、三向应力状态的广义胡克定律二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法2s3s1s32111ssse13221ssse21331ssseyzxxyt t)(1zyxxesssgxyxyt t ys sxs sgyzyztgzxzxt)(1xzyyesss)(1yxzzess

13、s三、三个弹性常数之间的关系三、三个弹性常数之间的关系12eg第六节第六节 复杂应力状态的应变比能复杂应力状态的应变比能 在轴向拉伸或压缩时，根据外力功在轴向拉伸或压缩时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为出比能的计算公式为 eu2212ss本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能 在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点

14、。 （1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。 （2）应变能的计算不能采用叠加原理）应变能的计算不能采用叠加原理 这是因为应变能与载荷不是线性关系这是因为应变能与载荷不是线性关系

15、，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。一、应变比能一、应变比能假定应力按假定应力按 ： ： 的比例同时从零增加至最终值的比例同时从零增加至最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 计算，于是，复杂应力状态下的比能是计算，于是，复杂应力状态下的比能是 1s2s3ss21u332211212121sssu)(1)(1)(1213313223211ssssssssseee)(221133221332221ssssssssseu二、体积改变比能和形状改变比能二、体积改变比能和形状改变比能对于单元体的应变能对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：也可认为是由以下两部分组成：因体因体积改变而储存的比能积改变而储存的比能 。称作体积改变比能。称作体积改变比能。体积不变，只体积不变，只因形状改变而储存的比能因形状改变而储存的比能 。称作形状改变比能（或歪形能）。称作形状改变比能（或歪形能）uvufufvuuu对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应