三重积分概念北工大

1、1一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、重积分的计算二、重积分的计算三、三重积分的换元三、三重积分的换元四、简单应用四、简单应用2一、三重积分的概念一、三重积分的概念设三元函数设三元函数 在有界闭体在有界闭体v v有定义，有定义，用分法用分法t t将将v v分成分成n n个小体个小体,21nvvv设它们的体积分别是设它们的体积分别是 , ,在小体在小体nvvv ,21kv上任取一点上任取一点),2 , 1)(,(nkpkkkk 作和作和,),(1knkkkkvf 称为函数称为函数 在体在体v v的积分和。的积分和。 令令).(,),(),(max21nvdvdvdt ),(zyxf),(zy

2、xf3若当若当 时，三元函数时，三元函数 在在v v0t的积分和存在极限的积分和存在极限j(j(数数j j与分法与分法t t无关，也与无关，也与点点 的取法无关的取法无关) )，即，即kp,),(lim10jvfknkkkkt 则称函数则称函数 在体在体v v可积，可积，j j是函数是函数在体在体v v的的三重积分三重积分，记为，记为dvzyxfv ),(或或 ,),(dxdydzzyxfv ),(zyxf),(zyxf),(zyxf4其中其中v v称为称为积分区域积分区域， 称为称为被积函被积函 数数, ,dvdv 或或dxdydzdxdydz称为称为体积微元体积微元。),(zyxf三重积分

3、的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数, 1),( zyxf vvvd1则区域则区域v v 的体积为的体积为设有界体设有界体 上每一点的密度是上每一点的密度是v).,(zyx 则则 的质量为的质量为v vxmdydz.z)dy,(x, 5二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分设积分区域设积分区域v为为 ),(),(),(21yxzzyxzzyxv bxaxyyxy ),()(216如如 图，图，xyzovdab)(1xyy )(2xyy 1s),(1yxzz 2s),(2yxzz ),(yx1z2z),(:),

4、(:2211yxzzsyxzzs dyx ),(,1穿入穿入从从 z过点过点穿出穿出从从2z闭区域闭区域v v在在xoyxoy平面的投影为闭区域平面的投影为闭区域d.d. bxaxyyxy ),()(217 ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxf,),()(:21bxaxyyxyd ),(yxf再计算再计算上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间 dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf dyxf d),( d d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd则则vz 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这时平

5、行于这时平行于注注sv 的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域相交不多两点情形相交不多两点情形. .8 vdvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdzzyxfyxzyxz ),(),(21),(表示当表示当 固定时固定时, ,ryx ),(z对对 积分积分, , 的变化由的变化由 到到z),(1yxz).,(2yxz其次其次, ,当当 固定时固定时, ,对对 积分积分. .,bax y,),(),(),()()(2121dzzyxfdyyxzyxzxyxy 即即9最后对最后对 积分积分, ,x的变化从的变化从 到到

6、.y)(1xy)(2xy即即.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxx的变化从的变化从 到到 . .ab10 x0z yz=z2(x,y)i = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf dyxddp dz=z1(x,y)zyxzyxfiddd ),( 11例例1 1 计算平面计算平面 与与0, 0, 0 zyx1 zyx所围成的四面体的体积所围成的四面体的体积. .例例2 2 计算三重积分计算三重积分，上半椭球体：上半椭球体：, vzdxdydz. 0, 1222222 zczbyax其中是其中是12z =0y = 0 x =00y xv：平面平面

7、 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域x0z y1121dxydxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成121 yxxzyxxddd 481 例例3 3 计算三重积分计算三重积分x + 2y + z =1dxyzyxxivddd yxdzxyxxydddi =解解13 2.2.截面法截面法( (红色部分红色部分) )(1)(1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域 )(轴轴如如z投影投影, ,得投影区间得投影区间;,21cc(2)(2),21ccz 对对, 的平面去截的平面去截轴且平行轴且平行用过用过xoyz;zd得截面得截面(3

8、)(3)计算二重积分计算二重积分 zdyxzyxfdd),();(zfz的的函函数数其其结结果果为为(4)(4).d)(21 cczzf最后计算单积分最后计算单积分xzoy 1c2czzd.dd),(d),(21 zdyxzyxfccdzvzyxf即即14 cczz d2 zdyxddzyxziddd2 dz 所所围围成成的的闭闭区区域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyax.bczyxziddd2 cczzczabd1222 3154abc =例例4 计算计算x0yzd0a1)1()1(22222222 czbyczax 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz

9、15三三. . 三重积分换元法三重积分换元法定定理理若三元函数若三元函数 在有界闭体在有界闭体 连续连续, ,),(zyxfv则三重积分则三重积分 存在存在. .dxdydzzyxfv),(设函数组设函数组 ),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx在在 空间有界闭体空间有界闭体 有定义有定义. .若满足若满足下列条件下列条件: :uvwv)1(161) 1) 函数函数),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx 所有的偏导数在所有的偏导数在 连续连续; ;v2) 2) ;0),(),( pwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyx, ),( vwvup 17vzyxzyxfd

10、dd),(.ddd),(),(),(),(),( vwvuwvuzyxwvuzwvuywvuxf则有三重积分的换元公式则有三重积分的换元公式3)3)函数组函数组(1)(1)将将 空间中的空间中的 一一对一一对uvwv应地变换为应地变换为 空间中的空间中的 . .xyzv18例例5 5计算六个平面计算六个平面 ,333322221111hzcybxahzcybxahzcybxa, 0333222111 cbacbacba所围成的平行六面体所围成的平行六面体v v的体积，其中的体积，其中iiiihcba,是常数，且是常数，且).3 , 2 , 1(0 ihi19例例6 6 计算计算 其中其中 是由曲面是由曲面 ,2dxdydzxixzxzbaybyzayz ,),0 , 0(,22)0(),0( hhz 所围成的区域所围成的区域. .解解 作变换作变换,:2zwxzvyzut ,0 ,| ),(hwvbuawvu ：变变成成则则* 20而而由公式由公式, ,1),(),(),(),( zyxwvuwvuzyx