空间向量与立体几何知识点与例题

1、名师总结优秀知识点空间向量与立体几何知方法总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)运算律：加法交换律：abba加法结合律：数乘分配律：(ab)ca(bc)(ab )ab运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向

2、量或平行向量， a 平行于 b ，记作 a / b 。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在实数 ，使 a b 。（3）三点共线： A、B、 C 三点共线 <=><=>（4）与 a 共线的单位向量为aaABACOCxOAyOB(其中 xy1)4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。x, y 使（ 2）共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线， p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数pxayb 。（3）四点共面：若 A、 B、 C、 P 四点共面 <=&

3、gt; APx ABy AC<=> OPxOAyOB zOC (其中 x y z1)5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使 pxaybzc 。若三向量 ab,c不共面，我们把 a, b , c 叫做空间的一个基底，a, b, c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z ，名师总结优秀知识点使 OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标

4、系中的坐标：在空 间直 角坐 标系 Oxyz 中， 对空 间任 一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有 序实 数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角 坐标系 Oxyz 中的坐标，记作A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个

5、基向量互相垂直， 且长为 1，这个基底叫单位正交基底， 用 i , j , k 表示。空间中任一向量 axiy jzk =（ x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：若 a (a1, a2 , a3 ) ， b(b1,b2 ,b3 ) ，则 a b (a1b1 ,a2b2 , a3b3 ) ，a b (a b , a b , a b ) ， a ( a1,a2 , a3)(R) ，112233a b a1b1a2 b2a3b3 ，a / b a1b1, a2b2 ,a3b3 ( R) ，a b a1b1 a2b2a3b30 。若 A( x1, y1, z1 ) ， B( x2 , y2 ,

6、 z2 ) ，则 AB ( x2x1, y2y1 , z2z1 ) 。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定 比 分 点 公 式 ： 若 A( x1, y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， AP( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推导：设P（）则 (xx yy ,z111x,y,z1,1显然，当 P 为 AB 中点时， P( x12x2 , y1y2 , z1z2 )22ABC中， A（x, y , z）,B(x, y , z),C( x, y, z )，三111222333P( x1x2 x3 , y1 y2

7、y3 , z1z2 z3 )322ABC的五心：PB，则点P坐标为z1)(x2x, y2y,z2z),角形重心P坐标为内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP( ABAC ) （单位向量）ABAC名师总结优秀知识点外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。 PAPB PC垂心 P：高的交点： PA PB PA PCPBPC （移项，内积为0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP1(AB AC)3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 a(a1, a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，则 | a |a aa 2a2a 2， | b |b bb12b

8、22b32123（5）夹角公式： cos a ba ba1b1a2b2a3b32 。| a | | b |22222a1a2a3 b1b2b3ABC中 ABAC0<=>A为锐角 ABAC0 <=>A为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若A(x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则|AB|2(x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2 ，AB或 dA, B( xx )2( yy )2( zz )22121217. 空间向量的数量积。（ ）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量a, b，在空间任取一点O，作 OA1则AOB 叫 做 向

9、 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 作a, b ； 且 规 定 0a, ba, OBb ，显然有a,bb, a；若a, b2，则称 a 与 b 互相垂直，记作： ab 。（2）向量的模：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： | a | 。（ ）向量的数量积：已知向量a,b，则 | a | | b | cosa, b叫做a,b的数量积，记作 a b ，3即 a b|a | | b | cosa,b。（4）空间向量数量积的性质： ae | a | cosa, e。 a ba b0 。 | a |2a a 。（5）空间向量数量积运算律： (a) b(ab )a(

10、 b ) 。 a bb a （交换律）。 a (b c ) a b a c （分配律）。不满足乘法结合率：(a b)ca(b c)二空间向量与立体几何(高考答题必考 )1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直名师总结优秀知识点2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角两条异面直线所成的角：1、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线 a/ / a,b/ / b ，则 a/与 b/ 所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角022、范围：

11、两异面直线所成角 的取值范围是cos | cosa b|3、向量求法：设直线 a、 b 的方向向量为 a 、 b ，其夹角为，则有a b4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角3-2 线面夹角0O ,90 O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与P面的法向量 n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹n角. sincos AP, n,0A2A3-3面面夹角（二面角） 0O,180O （ ）若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱 l 垂:1直的异面

12、直线，则二面角的大小就是向量AB 与 CD 的夹角（如图（ a）所示）（2）设 n1 、 n2 是二面角l的两个角 、的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1 , n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1 , n24 点面距离 h ：如图（ a）所示， BO平面 ，垂足为 O，则点 B 到平面 的距离就是线段 BO 的长度若 AB 是平面 的任一条斜线段，BABOcosABORtBOABOBAcos ABO=则在中，cosABOBO名师总结优秀知识点如果令

13、平面 的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面的距离为AB nh=BOn4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离应用举例：例 1：如右下图 , 在长方体 ABCDA B C D 中 ,已知 AB= 4, AD1111=3,AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1.(1)求二面角 CDE C1 的正切值 ;(2)11求直线 EC与 FD 所成的余弦值 .解：（I ）以 A 为原点， AB, AD , AA1 分别为 x 轴， y 轴 ,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0) 、D1(

14、0,3,2) 、E(3,0,0) 、F(4,1,0) 、 C1(4,3,2)于是， DE(3,3,0), EC1 (1,3,2), FD1( 4,2,2)设法向量 n( x, y,2) 与平面 CDE垂直，则有1nDE3x3y0x y1nEC1x3 y2z0n( 1, 1, 2),向量 AA1(0, 0, 2) 与平面 CDE 垂直 ,n与 AA1 所成的角为二面角 CDEC1的平面角cosnAA11 0 102 26| n | | AA1 |1 1 40 0 432tan2（II ）设 EC1 与 FD1 所成角为，则EC1 FD11( 4)3 2 2221cos123222( 4)2222

15、214|EC1| |FD1 |0例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是菱形，DAB=60，PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB中点，点 F 为 PD中点。（1）证明平面 PED平面 PAB；（2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值0证明：（1）面 ABCD是菱形， DAB=60， ABD是等边三角形，又E 是 AB中点，连结 BD名师总结优秀知识点000 EDB=30， BDC=60， EDC=90，如图建立坐标系1，ED=3，D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD=22 P （0，0，1），E（ 3 ，0，0），B（ 3 ， 1 ，0）222PB=

16、（ 3 ， 1 ，-1）， PE= （ 3 ，0，-1），222平面 PED的一个法向量为 DC =（0，1，0） ，设平面 PAB的法向量为 n =（ x, y, 1)nPB(x, y,1)(3 , 1, 1)03x1 y 1 022由2 222x n =（,0,1)nPE3 ,0, 1)333(x, y,1)(0x1 0y 022 DC · n =0 即 DC n平面 PED平面 PAB(2) 解: 由 (1) 知平面 PAB的法向量为 n （= 23, 0, 1), 设平面 FAB的法向量为 n 1 （=x, y, -1) ，由（ 1）知： F（0，0， 1 ）， FB =（3

17、，1，-1 ），FE=（3 ，0，- 1 ），2222223113111nFB( x, y, 1) (, ,2) 0xy0x由1222223n1FE3131( x, y,0,0y01) ()0x2222 n 1=（- 1 , 0,- 1)3二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos = |cos<n,n 1n n15 7>| =114n n例3：在棱长为 4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O是正方形 A1 B1C1D1的中心，点 P在棱 CC1上，且CC1=4CP.( ) 求直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；( ) 设O点在平面

18、 D1AP上的射影是 H，求证： D1 HAP；( ) 求点 P到平面 ABD1的距离 .解: ( ) 如图建立坐标系 D-ACD1, 棱长为 4 A（4，0，0），B（4， 4，0）， P（0，4， 1） AP = (-4, 4, 1) ,显然 DC =（0，4，0）为平面 BCC1B1的一个法向量直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的正弦值sin =名师总结优秀知识点|cos< AP , DC >|=16433424233421为锐角，直线 AP与平面 BCC1B1所成的角为 arcsin4 3333( ) 设平面 ABD的法向量为n=（x, y, 1)，1 AB =（0，4，0）， AD1 =（-4 ，0，4）由 n AB ， n AD1得 y 00 n =（1, 0, 1)，4x4点 P到平面 ABD1的距离 d =AP n3 2n 2例 4：在长、宽、高分别为 2，2，3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，