第三节一阶线性微分方程

1、复复 习习2.可分离变量的方程可分离变量的方程:(1)分离变量分离变量;(2)两端积分两端积分1.一阶微分方程一阶微分方程0),( yyxf解法解法:(分离变量法分离变量法) )()(ygxfxy dd)()(xqyxpdxdy 或或定义定义6.2 形如形如例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.,:的的一一次次方方程程是是关关于于特特点点yy )()(xqyxpy , 0)( xq当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xq当当第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性

2、微分方程. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xqyxpdxdy 讨论讨论,)()(dxxpyxqydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为为设设 ,)()(ln dxxpxvy.)()( dxxpxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(x

3、cc 解法解法常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质: 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxc原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换,设设 dxxpexcy)()(,)()()()()( dxxpdxxpexpxcexcy是是 的解的解 )()(xqyxpdxdy 代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(cdxexqxcdxxp ),()()(xqexcdxxp 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxpdxxpecdxexqy)()

4、()(dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解定理定理6.1 (一阶非齐次线性方程的解的结构一阶非齐次线性方程的解的结构)一阶非齐次线一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和次线性方程的一个特解之和 常数变易法的求解步骤：常数变易法的求解步骤：,. 1)( dxxpcey通通解解求求出出相相应应的的齐齐次次方方程程的的),(. 2xcc变变为为函函数数将将上上式式中中的的常常数数),(. 3xc程程）求求出出代代入入原原方

5、方程程（非非齐齐次次方方 dxxpexcy)()(. 4 得得非非齐齐次次方方程程的的通通解解：xyxy112 02 yxyxxyydd2 2cxy 把所给方程写成把所给方程写成 这是一阶非齐次线性方程这是一阶非齐次线性方程解解先求对应的齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解再用常数变易法求式的通解，再用常数变易法求式的通解， 1)(2)(2)(22 xxxcxxcxxcx化简得化简得3211)(xxxc cxxxc 2211)(212 xcxy积分可得积分可得即得所给方程的通解即得所给方程的通解这是一阶非齐次线性方程，这是一阶非齐次线性方程， 可用公式，可用公式，解解2)(,1)(xxqxx

6、p ，其通解为，其通解为 cxxyxxxxdeedd121 )(ln2lncxxxxdee )(12cxxxxd)2(2cxx cxx 321其中其中方法一方法一 公式法公式法 解解 xxpxxpcxxqyddede)()()(22e d2edee2d2d2xxxxxxcxxcxx 2e )(2xcx 由公式得原方程的通解由公式得原方程的通解方法二方法二 常数变易法常数变易法xxyydd2 cxylnln2 2xcy erc 所以通解为所以通解为 22222)(2)(2)(xxxxxxxcxxcxc eeeexxc2)( cxxc 2)(2)(2xcxy e化简，得化简，得 积分可得积分可得

7、由此得到原方程的通解为由此得到原方程的通解为 yxyx dd )(cyyxyydeedd )(cyyyydeeycye 1解解 将将x看作未知函数，看作未知函数， y看作自变量，这是一阶线看作自变量，这是一阶线性微分方程，性微分方程， 按一阶非齐次线性方程的解法可求按一阶非齐次线性方程的解法可求出其通解为出其通解为把方程变形为把方程变形为解解排出盐的速率为排出盐的速率为tytytv 10021002)(2(克克/分分) 从而桶内盐的变化率为从而桶内盐的变化率为,10026)()(21tytvtvty dd. 61002 tytydd即即 解解 上面的微分方程，得其通解为上面的微分方程，得其通解为 ctyttttdeedd100210026 .)100()100(2)100(2)100(1232tctctt ,1001002502c .1501002 c,)100(1500000)100(22tty ).(1711301500000260230克克 ty由此得由此得所以所以 这就是这就是30分钟时桶内所存盐水的含盐量分钟时桶内所存盐水的含盐量2.线性非齐次方程线性非齐次方程 dxxpexuy)()(令令 小结小结1.齐次方程齐次方程.)( dxxpcey常数变易法：常数变