微积分基本定理

1、微积分基本定理北京师范大学珠海分校欧阳顺湘copyleft 声明：为传播数学，鼓励复制，发布，修改，但不得用于商业用途, 并禁止任何其它阻碍传播的行为从此将达微积分基本定理 定积分计算： 按定义计算 微积分基本定理注 定积分定积分 与积分变量所选取的字母无与积分变量所选取的字母无关关,即即badxxf)(abbadttfdxxf)()( 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx变上限定积分变上限定积分 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变

2、变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，变上限定积分积分上限函数积分上限函数.)()( xadttfx同理，可定义变下限定积分积分下限函数积分下限函数bxdttfx)()(只需考虑变上限积分.)()( xadttfxxababxdttfdttfdttfx)()( )()(因为变限定积分的性质连续性a,b上可积函数 f(x) 的变限定积分 (x), (x)是a,b上的连续函数. 变限定积分的性质可导性abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数

3、dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 微积分基本定理（微分形式）微积分基本定理（微分形式）xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x注 微积分基本定理表明： 如果 f 连续，则它的变上限积分是它的一个原函数。( )(

4、 )xaf x dxf x dxc定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 2 2（牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式）如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(a

5、fbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xf是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，cxxf )()(,bax 证证微积分基本微积分基本定理定理积分形式令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxf)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它

6、的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.从不定积分到定积分table of indefinite integralsxndx xn1n 1 cexdx ex csinxdx cosx ccosxdx sinx csec2xdx tanx c1xdx lnx caxdx axlna ccsc2xdx cot x csecxtanxdx secx ccscxcot xdx cscx ctable of indefinite int

7、egralscxdxxcxdxxckxdxk1212sin11tan11example：definite integrals111()1bnnnadxnxba221()2badxxba01bbaadxdxxba2331()3badxxba11 (1)1nndxcnnxx table of definite integrals微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例1 计算20sin dxx微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例1计算20sin dxx20sin dxx20cos x (coscos0)2 coscos00 112 微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例1计算20sin dx

8、x2020sin dcos (coscos0)2 coscos00 112xxx 微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例1 20sin d1xx微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例2设 x0, 求11dxtt微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例2111dlnlnln1lnxxttxxt设 x0, 11dlnxtxt微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例3回忆 211yx微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例3211yx 求蓝色部分面积微积分基本定理应用微积分基本定理应用 例3211yx蓝色部分面积=1201 d?1xx1201 d1xxarctan1 arctan010arcta

9、n x0441201 d1xx4无穷等比递缩数列求和2461?xxx2462111xxxx 120124601 1(1)dxxxxxdx111124600001dxx dxx dxx dx1201 d1xx111124600001dxx dxx dxx dx1201 d1xx圆周率归来23451 ttttt 同理：请思考11 tln(1)?ln2?x例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1

10、上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 3.微积分基本公式微积分基本公式1. 变上限变上限积分积分 xadttfx)()(2. 变上限积分函数的导数变上限积分函数的导数)()(xfx )()()(afbfdxxfba

11、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系习题 p111 2 更多。below 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxfxbxa )()()()(的的导导数数)(xf 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxf例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)( xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxf00)()()(在在), 0( 内为单调增内为单调增加函数加函数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xx