微积分基本运算

1、 边际、弹性、利润问题边际、弹性、利润问题求经济学上的边际、弹性、利润等问题实际上求经济学上的边际、弹性、利润等问题实际上就是求函数的导数、极值、积分以及级数的部分就是求函数的导数、极值、积分以及级数的部分和、常微分方程的数值解等问题。和、常微分方程的数值解等问题。二、实验目的二、实验目的 学会用学会用matlabmatlab软件求高等数学中的计算问软件求高等数学中的计算问题以及微分方程的数值解，并解决一些函数的作题以及微分方程的数值解，并解决一些函数的作图问题。图问题。一、问题一、问题三、预备知识三、预备知识1 1、高等数学中函数的图形、函数的极限、导数、高等数学中函数的图形、函数的极限、导

2、数、极值、不定积分、定积分、广义积分、无穷级数极值、不定积分、定积分、广义积分、无穷级数以及常微分方程的数值解等有关知识。以及常微分方程的数值解等有关知识。（1 1）常用的创建符号命令：）常用的创建符号命令： sym sym varvar； % %创建单个符号变量创建单个符号变量 symssyms var1 var2 var1 var2 ； % %创建多个符号变量创建多个符号变量 f=sym(f=sym(符号表达式符号表达式) )； % %创建符号表达式，赋予创建符号表达式，赋予f f equequ= =sym(equationsym(equation) )； % %创建符号方程创建符号方程

3、limit(limit(表达式表达式, ,var,avar,a);); % %求当求当varavara, ,表达式极限表达式极限2 2、本实验中所用、本实验中所用matlabmatlab命令提示：命令提示： diff(fdiff(f, , varvar,n),n)；% %求函数求函数f f对对varvar的的n n阶阶导数导数 y=y=diff(xdiff(x) )； % %计算计算x x相邻两元素的差分相邻两元素的差分 int(f,varint(f,var,); %,); %求函数求函数f f的不定积分的不定积分 int(f,varint(f,var, ,积分下限，积分上限积分下限，积分上限

4、);); % %求函数求函数f f的定积分或广义积分的定积分或广义积分 dsolvedsolve； % %求解常微分方程求解常微分方程( (组组) )命令命令 symsum(fn,n1,n2)symsum(fn,n1,n2)；%fn%fn是求和的通项，记为是求和的通项，记为21nnnnftaylor(f,n,xtaylor(f,n,x0 0);%f);%f在在x x0 0的泰勒展开式的泰勒展开式,n,n是项数是项数(2)(2)求函数的极值点求函数的极值点:xminxminfmin(fmin(f f,x1, x2),x1, x2)；(3)(3)绘图命令：绘制二维图形的调用格式：绘图命令：绘制二维

5、图形的调用格式：plot （x x轴变量，轴变量，y y轴变量，选项）轴变量，选项） 绘制三维图形的调用格式：绘制三维图形的调用格式：plot3dplot3d（x x轴变轴变 量，量，y y轴变量，轴变量，z z轴变量，选项）。轴变量，选项）。(4)(4)控制循环语句：控制循环语句：while(while(条件式条件式) ) 循环体语句组循环体语句组 end end区间区间范围范围111121kkyi11axaxyxxxyaxx)tan()tan(lim,)1sin()53(lim3232四、实验内容与要求四、实验内容与要求1.1.设一个整值寿命为设一个整值寿命为k k的投保人所付年缴保费的投

6、保人所付年缴保费 现值之和在他得到赔付时为：现值之和在他得到赔付时为：（其中：（其中：每年所缴保费为每年所缴保费为p=1p=1单位。）单位。）求：当求：当 i=0.05i=0.05，k=80k=80时，时，y y1 1 =？称为贴现因子称为贴现因子,i,i为年利率为年利率, ,2.2.求极限求极限3.3.设成本函数设成本函数 c(xc(x)=1000+7x+50)=1000+7x+50 x，求边际成本函数，求边际成本函数 ppq313ln1000)(单位）元/(50200)(xxr10)0(1000yxyy4.已知边际需求为已知边际需求为 5.已知边际收益函数已知边际收益函数为为6.6.求微分

7、方程满足所给初始条件的求微分方程满足所给初始条件的特解，作出解曲线的图形特解，作出解曲线的图形8.8.将将f=ef=ex x在在x x0 0=0=0点作点作5 5阶泰勒展开，阶泰勒展开，x x0 0=1=1点作点作4 4阶泰勒展开。阶泰勒展开。，求需求量，求需求量q q与价格与价格p p的函数关系式的函数关系式，求生产，求生产x x单位时总收益单位时总收益r(xr(x) )7.7.同第一题，当同第一题，当k=80k=80和等于无穷时的值。和等于无穷时的值。 五、操作提示五、操作提示(1)(1)计算过程：计算过程：sum=sum=1+(1/1.05)+(1/1.05)2+sum=sum=1+(1

8、/1.05)+(1/1.05)2+(1/1.0+(1/1.05)80;5)80; disp(sumdisp(sum) ) sum=0;i=0; sum=0;i=0; while(iwhile(i=80)=80) sum=sum+(1/1.05)i; sum=sum+(1/1.05)i; i=i+1; i=i+1; end end sum sum(1)(1)计算结果：计算结果： sum=1+(1/1.05)+(1/1.05)2+ sum=1+(1/1.05)+(1/1.05)2+(1/1.05)80+(1/1.05)80 sum =20.5965 sum =20.5965（单位）（单位）(2)(

9、2)计算过程：计算过程： symssyms x a x a y2=limit(3 y2=limit(3* *x-5)/(x3x-5)/(x3* *sin(1/x2),x,inf)sin(1/x2),x,inf) y3= y3=limit(tan(x)-tan(a)/(x-a),x,alimit(tan(x)-tan(a)/(x-a),x,a) ) (2)(2)计算结果：计算结果： y2 =3 y2 =3 y3 =1+tan(a)2 y3 =1+tan(a)2 (3)(3)计算过程：计算过程： sym x sym x c=sym(1000+7 c=sym(1000+7* *x+50 x+50*

10、*sqrt(xsqrt(x) diff(c,xdiff(c,x) )(3)(3)计算结果：计算结果： ansans =x =x c =1000+7 c =1000+7* *x+50 x+50* *sqrt(xsqrt(x) ) ansans =7+25/x(1/2) =7+25/x(1/2) （为边际成本函数）（为边际成本函数）(4)(4)计算过程：计算过程： symssyms p p int(-1000 int(-1000* *log(3)log(3)* *(1/3)p,p)(1/3)p,p)(4)(4)计算结果：计算结果：ansans = = 603968492904095/5497558

11、13888/log(3)603968492904095/549755813888/log(3)* *(1/3)p(1/3)p(5)(5)计算过程：计算过程： sym x sym x r=int(200-x/50,x,0,x) r=int(200-x/50,x,0,x) (5)(5)计算结果：计算结果： ansans =x =x r =200 r =200* *x-1/100 x-1/100* *x2x2 （为生产（为生产x x单位时总收益单位时总收益r(xr(x) )）(6)(6)计算过程：计算过程：y=y=dsolve(dy+ydsolve(dy+y=0,y(0)=10,x)=0,y(0)=

12、10,x)x=0:0.2:10; y =10 x=0:0.2:10; y =10* *exp(-x); exp(-x); plot(x,y,+rplot(x,y,+r)(6)(6)计算结果：计算结果： y = y = 10 10* *exp(-x)exp(-x)(7)(7)计算过程：计算过程： symssyms n n fn=(1/1.05)n; fn=(1/1.05)n; s80=symsum(fn,n,0,80); s80=symsum(fn,n,0,80); sinfsinf=symsum(fn,n,0,inf);=symsum(fn,n,0,inf); s80,sinf s80,sin

13、f(7)(7)计算结果：计算结果：s80 =s80 =123405970463101469709682519646396993781924854087123405970463101469709682519646396993781924854087897873550413500214540284704192612790133635243620897873550413500214540284704192612790133635243620957813457621957813457621599161057630146324090927960220938059916105763014632409092

14、79602209380656282135908947517788114928581644775462104410132656282135908947517788114928581644775462104410132863506440172426562545601863506440172426562545601（约等于（约等于20.59648520.596485，效果与第一题接近），效果与第一题接近） sinfsinf = 21 = 21(8)(8)计算过程：计算过程： symssyms x x f= f=exp(xexp(x);); p5=taylor(f,5,0); p5=taylor(f,

15、5,0); p4=taylor(f,4,1); p4=taylor(f,4,1); p5,p4 p5,p4（8 8）计算结果：）计算结果： p5 = p5 = 1+x+1/2 1+x+1/2* *x2+1/6x2+1/6* *x3+1/24x3+1/24* *x4x4 p4 = p4 = exp(1)+exp(1) exp(1)+exp(1)* *(x-1)+1/2(x-1)+1/2* *exp(1)exp(1)* *(x-1)2+1/ (x-1)2+1/ 6 6* *exp(1)exp(1)* *(x-1)3(x-1)3 ),(,(,)3cos(222yxgyxfxxedxdxdxedxed

16、xxxdzzxyxx210222221,231,)sin(或7186223xxx0)/(, 1)0(,2 apiyyyay六、上机练习六、上机练习1.求导数：求导数：2.求积分：求积分：3.3.求函数的极值：求函数的极值：f(xf(x)=)=4.求求的二阶特解。的二阶特解。x-5,5x-5,5并作图并作图上机练习参考答案上机练习参考答案（1 1）f =exp(-2f =exp(-2* *x)x)* *cos(3cos(3* *x(1/2)x(1/2) ansans =-2 =-2* *exp(-2exp(-2* *x)x)* *cos(3cos(3* *x(1/2)-3/2x(1/2)-3/2

17、* *exp(-2exp(-2* *x)x)* * sin(3 sin(3* *x(1/2)/x(1/2)x(1/2)/x(1/2) g = g =g(x,yg(x,y) ) f = f =f(x,y,g(x,yf(x,y,g(x,y) ansans =d1,1(f)(x,y,g(x,y)+d1,3(f)(x,y,g(x,y) =d1,1(f)(x,y,g(x,y)+d1,3(f)(x,y,g(x,y)* * diff(g(x,y),x)+(d1,3(f)(x,y,g(x,y)+ diff(g(x,y),x)+(d1,3(f)(x,y,g(x,y)+ d3,3(f)(x,y,g(x,y) d3

18、,3(f)(x,y,g(x,y)* *diff(g(x,y),xdiff(g(x,y),x)* * diff(g(x,y),x)+d3(f)(x,y,g(x,y) diff(g(x,y),x)+d3(f)(x,y,g(x,y)* * diff(g(x,y),$(x,2) diff(g(x,y),$(x,2)（1 1）symssyms x y x y f=sym(exp(-2 f=sym(exp(-2* *x)x)* *cos(3cos(3* *x(1/2)x(1/2) diff(f,xdiff(f,x) ) g= g=sym(g(x,ysym(g(x,y) %) %建立抽象函数建立抽象函数 f

19、=f=sym(f(x,y,g(x,ysym(f(x,y,g(x,y) %) %建立复合抽象函数建立复合抽象函数 diff(f,x,2) diff(f,x,2) 上机练习参考答案上机练习参考答案（2 2）y4 =-y4 =-cos(xcos(x* *y+zy+z) ) y5 =1/2 y5 =1/2* *atan(2(1/2)atan(2(1/2)* *2(1/2)-1/22(1/2)-1/2* *atan(1/2atan(1/2* *2(1/2)2(1/2)* * 2(1/2) 2(1/2) y6 =7186705221432913/18014398509481984 y6 =71867052

20、21432913/18014398509481984* *2(1/2)2(1/2)* *pi(1/2)pi(1/2)( (注注: 7186705221432913/18014398509481984: 7186705221432913/18014398509481984* *2(1/2)2(1/2)* * pi(1/2)0.9999999) pi(1/2)0.9999999) 或：或：ansans=pi=pi* *(1/2)(1/2)（2 2）symssyms x y z x y z y4= y4=int(sin(xint(sin(x* *y+z),zy+z),z) ) y5=int(1/(3+2 y5=int(1/(3+2* *x+x2),x,0,1)x+x2),x,0,1) y6=int(1./(2 y6=int(1./(2* *pi)(1./2)pi)(1./2)* *exp(-x.2./2),-inf,inf) exp(-x.2./2),-inf,inf) 或：或：symssyms x; f=exp(-x2); x; f=exp(-x2); int(f,x,-inf,infint(f,x,-inf,inf) )上机练习参考答案上机练习参考答案（3 3）建立建立a7.ma7.m函数文件：函数文件：