2013年全国卷数学试题及答案(理)

1、2013全国卷（理科数学）1. 设集合 A=1 , 2, 3 , B = 4, 5, M = x|x= a+b, a£A, b C B,则 M 中元素 的个数为()A. 3 B. 4C. 5 D. 61. B 解析1, 2, 3与4, 5分别相加可得5, 6, 6, 7, 7, 8,根据集合中元素的互 异性可得集合M中有4个元素.2. (1 + 何3=()A. - 8 B. 8C. 8i D. 8i2. A解析(1 +/1)3= 13+3X 12(5i)+3X 1X(V3i)2+G/3i)3= 1 + 3731937 =一 8.3. 已知向量=(计1, 1),=(入+ 2, 2),若

2、(+)( ),则 壮()A. - 4 B. - 3C. - 2 D. - 13 . B 解析(+)，( )？(+)() = 0? 2=2,所以(计 1)2+仔=(入+ 2)2+22,解得入= -3.4 .已知函数f(x)的定义域为(一1, 0),则函数f(2x+1)的定义域为(),1A. (-1, 1) B. T, -21,C. (-1, 0) D. 2, 1 .一14 . B 解析对于 f(2x+ 1), 1<2x+1<0,解得1<x<-,即函数 f(2x+1)的te义域为-1 , - 2 .5 .函数 f(x)=log2 1 + 1 (x>0)的反函数 f 1

3、(x)=()x11A.2xT7 (x>0) B.2C! (xw0)C. 2xT(xC ) D . 2x1(x>0). 一1115. A解析令 y=log2 1 + x ,则 y>0,且 1+x=2y,解得 x = 2Z7 ,父换 x, y 得 f111(x) = 2xT7(x>0) 46. 已知数列an满足3an+1 + an=0, a2=-则an的前10项和等于()3A. - 6(1-3 10)B.9(1-310)C. 3(1 -3 10) D, 3(1 + 3 10)6. C 解析由3an+1 + an=0,得an w 0(否则a2=0)且；=一；，所以数列an是公

4、比10,4X 1 - -1, 10为一1的等比数列，代入a2可得a1 = 4,故&0=3X14=3(1-3 10).3131 + o37. (1 + x)8(1 + y)4的展开式中x2y2的系数是()A. 56 B. 84C. 112 D. 1687 . D 解析(1+x)8展开式中x2的系数是C8, (1+y)4的展开式中y2的系数是C2,根 据多项式乘法法则可得(1 + x)8(1+y)4展开式中x2y2的系数为C2c2= 28X 6= 168.x2 y28 .、椭圆C: % 十4=1的左、右顶点分别为 A1, A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2, 1,那么直线PA1

5、斜率的取值范围是()3-4 13- ,00 3 7BD.3一4 112 1- 2A C8. B 解析椭圆的左、右顶点分别为 (一2, 0), (2, 0),设P(x0, y0),则kPAikPA2=x0y0i= £ 而4+y°=1，即 y2=3(4x0)，所以 kpA1kpA2=，所以kPAi 一赢3 3 8' 4 .一 1 . 19. 、若函数f(x)=x2 + ax+1在+8 是增函数，则a的取值范围是()x 2A. -1, 0 B. -1, +8)C. 0, 3 D. 3, +8)9. D.一 ,1、-1， 一解析f(x) = 2x + a 乒>。在 2

6、, +°0上恒成立，即、1 c 1,a>-2-2x在-,+oo 上x22 '恒成立，由于y=42x在；，+°°上单调递减，所以y<3,故只要a>3. x210.已知正四棱柱弦值等于()ABCD A1B1C1D1中，AA1 = 2AB,则CD与平面 BDC1所成角的正23A3 B.yc 21 1C.V D.q 3310. A 解析如图，联结 AC,交BD于点O.由于BOXOC, BOXCCi,可得BOL平 面OCCi,从而平面 OCC/平面BDCi,过点C作OCi的垂线交OCi于点 巳 根据面面垂 直的性质定理可得 CEL平面BDCi, Z

7、 CDE即为所求的线面角.设 AB=2,则OC = p, OCi=Vi8=3 而 所以 CE=CCCOC = 4 = 3，OCi 3 : 2 3所以 sin/CDE = CE = 2CD 3ii.、 已知抛物线 C: y2=8x与点M(-2, 2),过C的焦点且斜率为 k的直线与C交于一， ，.7 ，A, B 两点.若 MA MB = 0,则 k=()1 2A.2 B. 2C.m D, 211. D 解析抛物线的焦点坐标为(2, 0),设直线l的方程为x=ty + 2,与抛物线方 程联立得 y2 8ty i6= 0.设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 yiy2=i6, yi +

8、y2=8t, xi + x2=t(yi + y2)+ 4= 8t2 + 4, xix2 = t2yiy2+2t(yi+ y2) + 4= 16t2+ 16t2+4= 4. ,MAMB = (xi + 2, yi 2)(x2+2, y22) = xix2+2(xi +x2)+4+yiy22(yi +y2)+4= 4+16t2+8 + 41616t + 4= 16t216t+4=4(2t1)2=0,解得 t=；,所以 k = ； = 2.12.、 已知函数f(x)= cos xsin 2x,下列结论中错误的是 ()A. y=f(x)的图像关于点(兀，0)中心对称B. y=f(x)的图像关于直线x=

9、2对称3C. f(x)的最大值为丁D. f(x)既是奇函数，又是周期函数12. C 解析因为对任意 x, f(兀一x) + f(兀+ x)= cos xsin 2x cos xsin 2x= 0,故函数 f(x)图像关于点(国0)中心对称；因为对任意 x恒有f(兀-x) = cos xsin 2x= f(x),故函数f(x)图 兀一一.一 像关于直线x=2对称；f(-x) = -f(x), f(x+ 2=f(x),故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项 C 中，f(x) = 2cos2xsin x=2(1 sin2x)sin x,令 t= sin xC1, 1,设 y= (1 t2)t =

10、t3 + t,y'= 3t2+1,可得函数y的极大值点为t =、/g，所以y在1, 1上的极大值为一 看J3 + *= 2-93,函数的端点值为0,故函数y在区间1, 1的最大值为293,函数f(x)的最 大值为 警，所以选项C中的结论错误.913. 已知a是第三象限角，sin a=.,则c0t "=-313. 2 脏 解析cos a=1 sin2 后22,所以 cot a= cos-= 2 42. 3sin a14.、 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字 作答)14. 480 解析先排另外四人，方法数是A4,再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是

11、A5,根据乘法原理得不同排法共有A4A5 = 24X 20 = 480种.x> 0,15. 记不等式组 x+ 3y>4,所表示的平面区域为 D.若直线y= a(x+1)与D有公共点,3x + y< 4则a的取值范围是116. 2, 4 解析已知不等式组表木的平面区域如图1 2中的三角形ABC及其内部,直线y=a(x+1)是过点(1, 0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值1-0为MA的斜率，最大值为 MB的斜率，其中点A(1 , 1), B(0, 4),故MA的斜率等于 1(1) MB的斜率等于 一J0 =4,故实数a的取值范围是 1, 4 .20- ( 1

12、2'. 一 一一 一. . . 一 一 . 一 .316.、已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK=,且圆。与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于 .16. 16 % 解析设两圆的公共弦 AB的中点为D,则KD ± DA, ODXDA, / ODK即 为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以/ ODK = 60°.由于。为球心，故 OK 垂直圆K所在平面，所以 OKLKD在直角三角形 ODK中，0K = sin60 °,即OD = 3X-2 =OD2.3V3,设球的半径为r,则DO邛r,所以当

13、r = <3,所以r=2,所以球的表面积为 4 <2 = 16兀.17 .、等差数列an前n项和为Sn.已知S3=a2,且S1，S2,S4成等比数列，求an的通项公式.18 .解：设an的公差为d.由 S3= a2,得 3a2= a2,故 a2 = 0 或 a2= 3.由S1, S2, S4成等比数列得 S2=SS4.又 S=a2d, S2= 2a2 d, S4=4a2+2d,故(2a2 d)2= (a2 d)(4a2 + 2d).若 a2=0,则 d2= 2d2,所以 d=0,此时Sn=0,不合题意；若 a2=3,则(6 d)2=(3 d)(12 + 2d),解得d = 0或d

14、= 2.因此an的通项公式为 an= 3或an = 2n 1.19 .、 设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, (a+b+ c)(a b+c)=ac.求B；,y3 1(2)若 sin Asin C=,求 C.18.解：(1)因为(a+b+c)(ab+c) = ac,所以 a2+c2b2= ac.2 c2- b21由余弦7E理得 cOS B =2ac2因此 B=120°.(2)由(1)知 A+C=60°,所以cos(A C) = cos Acos C + sin Asin C=cos Acos C sin Asin C+ 2sin Asin C=

15、cos(A+ C) + 2sin Asin C= 1+2X 上2472，故 AC = 30°或 A-C=- 30°,因此 C= 15°或 C=45°.19.、 如图，四棱锥 P ABCD 中，/ ABC = /BAD = 90°, BC = 2AD, PAB 和 PAD 都是等边三角形.(1)证明：PBXCD;(2)求二面角 A-PD-C的大小.19.解：取BC的中点E,联结DE,则四边形 ABED为正方形.过P作POL平面 ABCD,垂足为 O.联结 OA, OB, OD, OE.由 PAB和 PAD都是等边三角形知 PA=PB = PD,所

16、以OA = OB=OD,即点。为正方形ABED对角线的交点，故 OELBD,从而 PBXOE.因为。是BD的中点，E是BC的中点，所以 OE/CD.因此PBLCD.(2)解法一：由(1)知 CDPB, CDXPO, PB nPO = P, 故CD,平面PBD.又PD?平面PBD,所以CDXPD.取PD的中点F, PC的中点G,连FG.贝U FG / CD, FGXPD.联结AF ,由 APD为等边三角形可得 AF± PD.所以/ AFG为二面角A-PD-C的平面角.联结 AG, EG,贝U EG / PB.又 PB± AE,所以 EGXAE.1设 AB=2,贝U AE=2

17、2, EG = 2PB=1,故 AG =，AE FG AF+ EG2 = 3,1 一一在4AFG 中，FG = 2CD=V2, AF = V3, AG = 3.,63 .所以 cos/AFG =FG2+AF2AG2因此二面角 A- PD C的大小为解法二：由（1）知，OE, OB, OP两两垂直.以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.设|AB|=2,则A(-也 0, 0), D(0,-也 0), C(2 & - V2, 0), P(0, 0, V2),PC=(2 2ft,-卡，-® PD = (0,-串,一串),AP=(V2, 0,

18、® AD=(V2, -R 0).设平面PCD的法向量为i=(x, y, z),则i PC = (x, v, z) (2 声-8-72)=0,i PD=(x, y, z) (0, V2, >/2) = 0,可得 2x y z=0, y + z= 0.取 y = 1,得 x=0, z= 1,故 i =(0, 1, 1).设平面PAD的法向量为2= (m, p, q),则2AP = (m, p, q)(72, 0,小)=0,2AD =(m, p, q) (遮成，0)=0,可得 m+q = 0, m p= 0.取 m= 1,得 p= 1, q= 1,故 2= (1, 1, - 1).n

19、 n26于是 cos <, 2> = . .=- . .|n1|n2|3A-PD-C的大小为兀一由于，2等于二面角 APDC的平面角，所以二面角6arccos 3 .1 ，一 一 ，一 ,2,各局比赛的结果相互独20 .、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求 X的数学期望.20.解：(1)记Ai表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”.则 A=

20、 Ai A2.1P(A)=P(Ai A2)=P(A1)P(A2)=4.(2)X的可能取值为0, 1, 2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.1则 P(X=0)=P(B B2 A3)= P(B1)P(B2)P(A3)=g，81P(X=2)= P(B1 B3)= P(B1)P(B3)=4，1 1 5P(X= 1)= 1-P(X=0)-P(X = 2)= 1 -8-4= g，9E(X)=0 P(X=0)+1 P(X= 1)+2 P(X= 2) = 8

21、.21 .、已知双曲线 C: a2-b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为 乖.(1)求 a, b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于 A, B两点，且|AF1|=|BF1|,证明：|AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列.22 .解：(1)由题设知 c=3,即 02 = 9,故 b2= 8a2. aa所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y = 2代入上式，求得x= aJa2+-2.由题设知，2、21 = J6,解得a2= 1.所以 a=1, b= 2 j12.(2)证明：由(1)知，F1(-

22、3, 0), F2(3, 0), C 的方程为 8x2y2=8.由题意可设l的方程为y=k(x- 3), |k|<2代入并化简得(k2-8)x2-6k2x+ 9k2+8=0.设 A(X1, y1), B(x2, y2),则x1< 1 , x2> 1,6k29k2+8x1+x2=k2-8, x1x2= k2-8.于是 |AF1|= yj (x1+3) 2 + y2 =y(x1 + 3) 2+ 8x2 8 = (3x1+ 1),|BF11=弋(x2+3) 2+y2 = 7 (x2+3) 2+8x28 = 3x2+1.由 |AF1|= |BF1|得一(3x1+1)=3x2+1,即 x+x2= |.3故黑一 2解得Y从而x1x2=4由于 |AF2|= yj (x13