第三节函数的最大值和最小值

1、第三章导数的应用第三章导数的应用第三节函数的最大值和最小值第三节函数的最大值和最小值例例 1试求函数试求函数 f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30 x2 24x + + 4在区间在区间 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60 x 24 令令 f (x) = 0，得驻点，得驻点 x = = 1， x = = 2， 它们为它们为 f (x) 可可能的极值点，能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：= 12( (x - - 1) )2( (x - - 2) )，f (0)

2、 = 4，f (1) = - - 3，f (2) = - - 4，f (3) = 13，将它们加以比较将它们加以比较 可知在区间可知在区间 0, 3 上上 f (x) 的最大值的最大值为为 f (3) = 13， 最小值为最小值为 f (2) = - - 4.例例 3设圆柱形有盖茶缸容积设圆柱形有盖茶缸容积 v 为常数，求表为常数，求表面积为最小时，底半径面积为最小时，底半径 x 与高与高 y 之比之比. .解解( (1) )建立目标函数建立目标函数茶缸容积为茶缸容积为 v = x2 y， 设表面设表面积为积为 s，则，则 s = 2 x2 + + 2 x y，因为因为 v 为常数为常数，所以

3、，所以，,2xvy 由此可得目标函数由此可得目标函数 茶缸茶缸表面积的表达式表面积的表达式. 0 ,2222)(222 xxvxxxvxxsxy( (2) )求求 s(x) 的最小值的最小值. .因为因为,24)(2xvxxs 令令 s (x) = 0, 得可能极点值得可能极点值,2且唯一且唯一 vx3. 2)(处取得最小值处取得最小值在在所以所以 vxxs3，又又 02,44)(3 vsxvxs3( (3) )求底半径与高之比求底半径与高之比. .因此，因此， 当底半径与高之比为当底半径与高之比为 ，即当其直，即当其直径与高相等时，茶缸的表面积最小径与高相等时，茶缸的表面积最小. .21可以

4、算得可以算得和和由由 2 2vxxvy3.22222xvvvy 33例例 4某厂有一个圆柱形油罐，其直径某厂有一个圆柱形油罐，其直径为为 6 m，高为，高为 2 m，想用吊臂长为，想用吊臂长为 15 m 的吊的吊车车( (车身高车身高 1.5 m) ) 把油罐吊到把油罐吊到 6.5 m 高的平台高的平台上去，试问能吊上去吗？上去，试问能吊上去吗？解解 ( (1) )建立目标函数，建立目标函数， 设油罐吊起高度为设油罐吊起高度为 h，h = bc = be de cd,be = aesinj j，de = fdtanj j . .h = 15sinj j 3tanj j 2，.20 j j因为因

5、为 ae = 15, fd = 3，cd = 2 ，所以目标函数为所以目标函数为吊杆与水平线的夹角为吊杆与水平线的夹角为 j j，由图可知由图可知hfcdj jj jea15 m2 m1.5 mbchj j( (2) )求目标函数的最大值求目标函数的最大值.因为因为,sec3cos15dd2j jj jj j h, 0dd j jh令令即即15cosj j 3sec2j j = 0，得得 cos3j j = 0.2，于是于是,5848. 02 . 0cos3 j j查表可得查表可得j j 54 . .由实际问题可知由实际问题可知 h 的最大值是存在的，的最大值是存在的， 所以可以断言当所以可以断言当 j j 54 54 时，时，h 取得最大值，取得最大值，且最大值为且最大值为 而在而在 内目标函数的驻点又只有一个，内目标函数的驻点又只有一个， 2, 0h |j j 54 54 15sin 54 3tan 54 2 6 (m).由于车身高由于车身高