第三章第二节幂级数DAI

1、3.2 幂级数幂级数(一一) 幂级数定义幂级数定义(二二) 幂级数收敛的判别法幂级数收敛的判别法 重要概念：收敛圆、收敛半径重要概念：收敛圆、收敛半径(三三) 收敛幂级数的性质收敛幂级数的性质(一一) 幂级数定义幂级数定义通项是幂函数的函数项级数。通项是幂函数的函数项级数。以以z0为中心的幂级数为中心的幂级数：20010201., 3.2.1kkkazzaazzazz其正项级数为：其正项级数为：2 . 2 . 3.0202010kkzzazzazzaa以以z0为中心的幂级数：为中心的幂级数：(二二) 幂级数收敛的判别法幂级数收敛的判别法1.正项级数的比值判别法正项级数的比值判别法(达朗贝尔判别

2、法达朗贝尔判别法)如果如果1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk则则(3.2.2收敛收敛)01., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz3 . 2 . 3,.lim1kkkaar绝对收敛1 . 2 . 3.1limlim,101010raazzazzarzzkkkkkkkk 引入引入r, 收敛圆，收敛半径收敛圆，收敛半径以以z0为圆心，为圆心，r为半径画圆周为半径画圆周 ， 则有在圆内则有在圆内rcrzz001., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz1limkkkaar 以以z0为圆心，为圆心，r为半径画圆周为半径画圆周 ， 则在圆

3、外则在圆外发散1 . 2 . 3.1limlim,101010raazzazzarzzkkkkkkkkrc因此，圆因此，圆 叫叫收敛圆收敛圆，r叫叫收敛半径收敛半径。对应圆周上的点，幂级。对应圆周上的点，幂级数或收敛或发散。数或收敛或发散。rcrzz001., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz3 . 2 . 3,.lim1kkkaar以以z0为圆心，为圆心，r为半径画圆周为半径画圆周 ， 其中其中r 与幂级数的收敛有关与幂级数的收敛有关rc因此，圆因此，圆 叫叫收敛圆收敛圆，r叫叫收敛半径收敛半径。对应圆周上的点，幂级。对应圆周上的点，幂级数或收敛或发散。数或收敛或发散。

4、rcrzz020010201., 3.2.1kkkazzaazzazz2.正项级数的根值判别法正项级数的根值判别法因而发散各相的模则如果绝对收敛收敛，则如果, 11 . 2 . 3, 1lim1 . 2 . 32 . 2 . 3, 1lim00kkkkkkkkzzazza收敛半径收敛半径r的另一公式的另一公式6 . 2 . 3.1limkkkar01., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz(三三) 收敛幂级数的性质收敛幂级数的性质 u 性质性质1：幂级数：幂级数(3.2.1)在收敛圆内不仅绝对且一致收敛在收敛圆内不仅绝对且一致收敛kkkkrazza1001kkkazzcr1

5、r1z0kkkra1011limlim1111111rrraararakkkkkkkk根据上一节最后的内容：根据上一节最后的内容：对于上式右边的级数：对于上式右边的级数：可以证明其收敛，因为：可以证明其收敛，因为：收敛，则复变项级数在区域收敛，则复变项级数在区域b (或曲线或曲线 l )上绝对且一致收敛。上绝对且一致收敛。如果对于某个区域如果对于某个区域b (或某根曲线或某根曲线 l )所有的点所有的点z，复变项级数，复变项级数(3.1.6)的各项的模的各项的模 而正的常数项级数而正的常数项级数 ,kkmzw,1kkm可得可得幂级数幂级数(3.2.1)在收敛圆内不仅绝对且一致收敛。在收敛圆内不

6、仅绝对且一致收敛。例一例一 求幂级数求幂级数 的收敛圆，的收敛圆，t 为复变数。为复变数。解：解：.12kttt111limlim1kkkkaar下面举例说明：幂级数在收敛圆内不仅绝对且一致收敛下面举例说明：幂级数在收敛圆内不仅绝对且一致收敛12011.1kkkktttttt 收敛圆是以收敛圆是以t=0为圆心，以为圆心，以1为半径的圆。因为为半径的圆。因为211.1 . 3.2.71kttttt ，1011limlim11kkkkktttt在收敛圆内部，即在收敛圆内部，即1t 即，在收敛圆内部，级数是收敛的，且收敛于即，在收敛圆内部，级数是收敛的，且收敛于11 t基本公式：基本公式：例二，求幂

7、级数例二，求幂级数的收敛圆，的收敛圆，z为复变数。为复变数。解：解：.1642zzz8 . 2 . 3.1,11.1. 1. 11lim.1,26421322zzzzzzrzaartttttzkkk可表示为收敛圆的内部平面的收敛半径为平面的收敛半径为则有令u 性质性质2：幂级数：幂级数(3.2.1)在收敛圆内部可以表示为连续函数的在收敛圆内部可以表示为连续函数的回路积分、可以逐项求导任意多次回路积分、可以逐项求导任意多次 201020., 3.2.9waazaz为了应用柯西公式，将为了应用柯西公式，将(3.2.1)中的中的z改为改为01kkkazz柯西公式柯西公式:112 iz 取收敛圆内的任

8、一内点取收敛圆内的任一内点z，用有界函数，用有界函数遍乘上式遍乘上式 100111.,222wazaiziziz 201020., 3.2.9waazaz为了应用柯西公式，将为了应用柯西公式，将(3.2.1)中的中的z改为改为01kkkazz 12010201.2rccauchywdaazzazziz根据公式有 1111001211.,22rrrcccwdizazaddiziz 这就是说，幂级数这就是说，幂级数(3.2.1)可以表示为连续函数的回路积分。可以表示为连续函数的回路积分。 .21dzfizfl 这就是说，幂级数这就是说，幂级数(3.2.1)在收敛圆内可以逐项求导任意多次。在收敛圆内可以逐项求导任意多次。1!12nniz将将(3.2.9)式式得得 201020., 3.2.9waazaz两边同乘以两边同乘以 1!2nnl