2015届海淀一模理科数学附答案

1、海淀区高三年级第二学期期中练习学(理)2015.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)设集合 A x R|x 1, B x R|x2<4,则 AUB ()(A) 2,)(B) (1,)(C) (1,2(D)(,)(2)抛物线x2 =4 y上的点到其焦点的最短距离为()1(A) 4(B) 2(C) 1(D)2(3)已知向量a与向量b的夹角为60 , |a| |b| 1,则|a b ()(A) 3(B)

2、M(C) 2 73(D) 1(4) “sin 0”是“角是第一象限的角”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件x 1. 2 cos . (5)圆, (为参数)被直线y 0截得的劣弧长为()y 12 sin(A)(B)冗(C) 2近氏(D) 4九x(6)若x,y满足xx2y 0,1, 则下列不等式恒成立的是(B) x 2(D) 2x y 1 0y 0,(A) y 1(C) x 2y 2 0(7)某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是(正视图(A)(B)(8)某地区在六年内第 x年的生产总值y (单 位：亿元)与x之间的关系如

3、图所示，则下列 四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是()(A)第一年到第三年(C)第三年到第五年(B)第二年到第四年(D)第四年到第六年二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。i是虚数单位，那么实数ai(9)已知1 i ,其中1 i(10)执行如图所示的程序框图,输出的 i值为(11)已知m,4,n是等差数列,那么晨2)m晨2)n =；mn的最大值为(13)在ABC中，若a J2,c 底,A则B的大小为4社区主任要为小红等 4名志愿者和他们帮助的 2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 答).(用数字作3x , x(14)设 f

4、(x)2x ,xa,右存在实数b ,使得函数g (x) f (x) b有两个零点，则 a的 a.取值范围是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)(本小题满分13分)已知函数f(x) sin2(x)(I)求f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(D)求_ .九 f ( x)的单调递减区间.3(16)(本小题满分13分)某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按0, 10, (10, 20, ( 20, 30, ( 30, 40, ( 40, 50分组，得到频率分布直方 图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售

5、且日销售量相互独立.（I）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s2, s；,试比较s2与s2的大小；（只需写出结论）（n）估计在未来的某一天里， 甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（出）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于 20箱的天数，以日销售量落入各 组的频率作为概率，求 X的数学期望.(17)(本小题满分14分)如图1,在直角梯形 ABCD中，ADPBC, AD DC, BC 2AD 2DC ,四边形ABEF是正方形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABEiFi平面A

6、BCD, M为AFi的中点，如图2.(I)求证：BE1 DC ;(n)求BM与平面CE1M所成角的正弦值；(出)判断直线 DM与CEi的位置关系，并说明理由.(18)(本小题满分13分)1已知函数 f (x) a ln x (a 0).x(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若x f(x) 0 b,c(其中 bc),求a的取值范围，并说明b,c(0,1).(19)(本小题满分13分)1(a b 0)过点(0, 1),且离心率e(I)求椭圆M的方程；(n)是否存在菱形 ABCD,同时满足下列三个条件:点A在直线y 2上;点B, C , D在椭圆M上；直线BD的斜率等于1.如果存在，求出 A点坐标

7、；如果不存在，说明理由（20）（本小题满分14分）有限数列 An : a1,a2, an.(n3）同时满足下列两个条件:对于任意的i, j （ 1aiaj ；对于任意的i, j,k （1n）, aaj, 3j3k , aak三个数中至少有一个数是数列A中的项.(i)若 n 4,且 a11, a22 ， a3（n）证明：2,3,5不可能是数列An中的项;（出）求n的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考2015.4、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）(1) A(3) D(4) B(5) A(6) D(8) A二、填空题（共每小题5分，共30分。有两空的小题,第一空2

8、分，第二空3分）(9) 2(10) 4(11)16,16-c、 九f 5冗（12）或1212三、解答题（共6小题，共(13) 2480分)(14)(,0)U(1,)(15)(共 13 分)解:(I)因为 f(x)cos2(x )21 sin2x2_2九所以T 2冗.-兀令 2x k：t (kZ),得:k九 九八x (kZ).6分22 4所以f(x)的最小正周期为 久,对称轴的方程为kjtx 24(k Z).sin 2( x) 1(n) f ( x) 332gsin(2x 2令 2k：t得：kjt冗c2 7tc.Tt Z1r、2x2k it (kZ),232九 I 77t/Ix k 九(k Z)

9、.1212-,冗、Tt .所以f (- x)的单调递减区间为 水九 一出九312(16)(共 13 分)Z).13分解：(I) a 0.015；分22§ S2 .分(n)设事件 A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱;事件B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;事件C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个11分不高于20箱.则P(A) 0.20 0.10 0.3,P(B)0.10 0.20 0.3.所以 P(C) P(A)P(B) P(A)P(B)0.42 .(m)由题意可知,的可能取值为0, 1,2, 3.P(X0)C；0

10、.3°0.730.343,_ 1_ _1_2一P(X1) C30.30.70.441,_2_2_1_P(X2)C30.30.70.189,_3_3_0_P(X3)C330.330.700.027.所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027所以 X 的数学期望 EX 0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 0.9.13分另解:由题意可知 X B(3,0.3).所以X的数学期望EX 3 0.3 0.9.13(17)(共14分)证明:(I)证明：因为 四边形ABEiFi为正方形,所以BE1AB.因为平面ABCD 平面 ABE1F1,平面 A

11、BCD平面 ABE1F1 AB, BE1面 ABE1F1,所以BE1平面ABCD.因为DC平面ABCD,所以BE1DC .(H)解：如图，以点B为坐标原点，分别以 BC,BE1所在的直线为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz.B(0,0,0),C(2,0,0),Ei(0,0,、,2), M(1,1,2分uuuu 2 uuuu所以 BM(1,1,学)，CE1(一 uuuuu2,0, V2) , E1M、2(1,1,万).设平面rCE1M的一个法向量为n(x, y,z).r n 由rnuuurCE1 ummE1M0,得0,2x,2z2 z20,0.(1,0, , 2)设BM与平面CE1

12、 M所成角为uuuu r则 sin cos BM , nuuuu r BM n uuur r BM n2,30152.30所以BM与平面CE1M所成角的正弦值为1510分（出）解：直线DM与直线CE1平行.理由如下:11分由题意得,uuuur. 2 uuuuD(2,1,0), DM ( 1,0,), CE1(2,0, ,2).uuuu uur所以 CE1 2DM .uuur uuuir所以 CE1 / /DM .分因为DM , CE1不重合,13所以 DM / CE1. 14 分另解：直线DM与直线CE1平行.理由如下：取BC的中点P , CEi的中点Q ,连接AP , PQ , QM1 所以

13、 PQ/BE1 且 PQ - BE1.2因为 M为AFi的中点，四边形 ABEiFi是正方形,1 所以 AM/BE1 且 AM -BE1.所以 PQ/AM 且 PQ AM .所以APQM为平行四边形.所以 MQ/AP且 MQ AP.因为 四边形ABCD为梯形，BC 2AD ,所以 AD/PC且 ad pc.所以四边形APCD为平行四边形 所以 CD/AP 且 CD AP.所以 CD/MQ 且 CD MQ.所以CDMQ是平行四边形.14所以 DM / CQ,即 DM / CE1.分(18)(共 13 分)a1ax 1斛：()f'(X) - (x 0). 2 分X XX(i)当a 0时，f

14、'(x) 0,则函数f (x)的单调递减区间是(0,).3分1(ii)当 a 0 时，令 f'(x) 0 ,得 x -. a当x变化时，f '(x), f(x)的变化情况如下表x(0,1) a1 a(1,) af '(x)0f(x)极小值、I1、一、I 1所以f(x)的单调递减区间是 (0,1),单调递增区间是 (1,). 5aa分(n)由(I)知：f (x)至多存在一个当a 0时，函数f (x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数6分要使7分零点，不符合题意.当a 0时，因为f (x)在(0,1)内是减函数，在(，)内是增函数，所以 aax f(x) 0 b,

15、c,必须 f(1) 0,即 alna 0. aa所以 a e.， 一 1122当 a e时，f () aln() a 2aln a a a (a 2ln a). a a2x2令 g(x) x 2ln x(x e),则 g'(x) 1 - (x e).x xx e时，g'(x) 0,所以，g(x)在e,)上是增函数所以当 a e时，g(a) a 2ln a g(e) e 2 0.一， 1所以 f(-2) 0. 9分a11. 1一. 一因为二一1, f(-)0, f(1)1 0,a a a1 11.所以f (x)在(=，一)内存在一个零点，不妨记为 b ,在(一，1)内存在一个零点

16、，a aa不妨记为c. 11分11.因为 f(x)在(0,)内是减函数，在(一，)内是增函数，aa所以xf(x) 0 b,c.1213分综上所述，a的取值范围是(e,+ ).分因为 b (-y,-) , C (- ,1), a a a所以b,c (0,1).(19)(共 13 分)b 1,解：(i)由题意得：-,a 3222a b c .解得:a2 3, b2 1.2所以椭圆M的方程为y21.3(n)不存在满足题意的菱形ABCD ,理由如下:4分 5假设存在满足题意的菱形 ABCD.设直线BD的方程为y x m, B(x1,y1)，D(x2, y2),线段BD的中点Q(x°, y&#

17、176;),点 A(t,2).因为所以因为所以所以因为所以3y222myiyoV2yi3,得 4y2 2my16m2_y22m2 30.m2 302 m 2.ii分四边形ABCD为菱形,Q是AC的中点.C点的纵坐标yC 2y0点C在椭圆M上,yc 1.这与yc1矛盾.所以 不存在满足题意的菱形ABCD.21.12分13(20)(共 14 分) 解：(I)由，得2 a 6.由，当i 2, j3, k 4时.2a,6a,12中至少有一个是数列1, 2, a, 6中的项，但6a 6, 12 6,故2a 6,解得a 3.经检验，当a 3时，符合题意. 3分(n)假设2,3,5是数列An中的项，由可知：

18、6, 10, 15中至少有一个是数列 An中的项，则有限数列 An的最后一项an 5,且n 4.由，an an 1 an 2 an 3 1. 4分对于数an2，an1，an，由可知： 4241 2口 ；对于数203冏1®,由可知：an 3an 1an.分所以an 2an 3 ,这与矛盾所以2,3,5不可能是数列 An中的项. 7分(山)n的最大值为9,证明如下：8分人一一 .11 - 1一一一(1)令 A9 : 4, 2, 1, -, ,0, ,1,2,则 A 符合、.11242分(2)设 An : a1, a2,©(n 3)符合、，则:(i) An中至多有三项，其绝对值大于1.假设An中至少有四项，其绝对值大于1,不妨设ai, aj , ak, ai是An中绝对值最大的四项，其中1 | ai | | ak | | al |.则对 ai, ak ,al有|aial