14标量场的梯度

1、1.4 标量场的梯度标量场的梯度一、等值面一、等值面1 1、等值面、等值面标量场标量场: )(ru用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为： 标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。 例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。由电位相同的点构成等位面。 2 2、等值面方程、等值面方程 czyxu),( 常数常数c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形取一系列不同的值，就得到一系列不同的等

2、值面，形成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相交。交。 二、方向导数二、方向导数 1 1、方向导数的定义、方向导数的定义 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面 , u uu标量函数标量函数 ( , , )u x y z沿给定方向沿给定方向 le的变化率：的变化率： 00limlimuuuuuuulpmpm upnlemuu ne称为标量函数称为标量函数 ( , , )u x y z在在p沿方向沿方向 le的方向导数。的方向导数。 2 2、方向导数在直角坐标系中的表示、方向导数在直角坐标系中的表示 coscosco

3、szuyuxulu其中，其中， coscoscoszyxleeeecos,cos,cos是是 le的方向余弦：的方向余弦： dldzdldydldxcos,cos,cos3 3、方向导数的性质、方向导数的性质 方向导数是标量场在点方向导数是标量场在点p处沿方向处沿方向le对距离的变化率。对距离的变化率。 标量场中，在给定点标量场中，在给定点p处沿不同方向处沿不同方向le的方向导数不相同。的方向导数不相同。 二、梯度二、梯度 1 1、梯度的定义、梯度的定义 标量场标量场 )(ru的梯度的梯度 gradu：是一个矢量，其方向为标量场：是一个矢量，其方向为标量场 )(ru变化率最大的方向、大小则等于

4、其最大变化率，即变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即 maxluegradul2 2、梯度在坐标系下的表示、梯度在坐标系下的表示 coscoscoszuyuxulucoscoscoszyxzyxeeezueyuexuelegradu记为记为 ugradu在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示zueyuexueuzyx在圆柱坐标系中的表示在圆柱坐标系中的表示zueueueuz1在球坐标系中的表示在球坐标系中的表示uerurerueursin113 3、梯度的性质、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。标量场的梯度是一个矢量场。标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。

5、标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向)(ru增加的方向。增加的方向。 4 4、梯度运算的基本公式、梯度运算的基本公式 0cuccu)(vuvu)(vuuvuv)(2vvuuvvuududfuf)(rerrr231rerrrr【例题【例题1】求证】求证 231rerrrr【证明】在球坐标系下：【证明】在球坐标系下： uerurerueursin11所以所以 34144rrqrqrqu【例题【例题2】求无界空间中的点电荷】求无界空间中的点电荷q所产生的电位的梯度。所产生的电位

6、的梯度。 【解】无界空间中的点电荷【解】无界空间中的点电荷q所产生的电位为：所产生的电位为： rqu4所以所以 34144rrqrqrqu【例题【例题3】求数量场】求数量场 =(x+y)2-z 通过点通过点m(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。 【解】点【解】点m的坐标是的坐标是 x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为0)(2zyx2)(yxz【解【解】 l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 【例题【例题4】求数量场求数量场 在点在点m(1, 1, 2)处沿处沿l=ex+2ey+2ez方向的方

7、向导数。方向的方向导数。 zyxu22312211cos222322212cos222322212cos222而而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu数量场在数量场在l方向的方向导数为方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点在点m处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 324232132131ml 【例题【例题5】设标量函数设标量函数r是动点是动点m(x, y, z)的矢量的矢量r=xex+yey+zez的模，即的模，即 ， 证明：证明： 222zyxrrrrgradr【证【证】zyxezreyrexrrgradr因为因为 rxzyxxzyxxxr222222同理同理 rzzr，ryyr所以所以 zyxerzeryerxrgradrrrrzeyexerzyx)(1 【例题【例题6】求求r在在m(1，0，1)处沿处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导方向的方向导数。数。【解【解】)(1zyxezeyexrrgradr点点m处的坐标为处的坐标为x=1, y=0, z