引导学生解题后的反思 提高学生思维品质

1、引导学生解题后的反思 提高学生思维品质2002年10月第23卷第5期郴州师范高等专科学校JournalofChenzhouTeachersCollegeOct.,2(X)2V01.23No.5文章编号:10082042(2002)050o2604引导学生解题后的反思提高学生思维品质杨永茂(资兴市立中学,湖南郴州423400)摘要:在数学的解题教学中,向学生提出研究性问题,引导学生反思,让学生在研究问题中探究,求索,可提高学生思维的深刻性,广阔性,创造性.关键词:反思性学习;思维品质;深刻性;广阔性;创造性中图分类号:O122;0533.65文献标识码:B解题教学是数学教学的一个重要组成局部,在

2、解题教学中如何培养学生解决问题的能力,提高学生思维品质?笔者认为一种有效的方式是,提出研究性问题,引导学生进行反思,让学生在研究问题中学习,深层次,多角度地思考问题,从而到达提高思维品质的目的.“反思,在当代认知心理学中属于元认知的范畴,它是指对自身的思维过程,思维结果进行再认知和检验的过程.反思性学习是一种有效的学习方式,它的根本特征是探究性,即在考察学习活动的经历中探究其中问题的条件,结论和解答,重构自己的理解,激活个人的智慧,并在活动中所涉及的各个方面的相互作用下,产生超越已有信息之外的信息,从而帮助学生学会学习,提高能力.下面就这个问题谈点个人的体会.1研究问题的本质特征,培养思维的深

3、刻性能透过现象看到本质是一个有创造能力的人的显着特点,但如果没有追根求源的探索精神就无法实现这一目标.因此,在解题教学中要坚决摒弃注入式,结论式,而应该善于创设情境,提炼问题,引发学生强烈的认知冲突,然后通过环环相扣,深入研究,引导学生进行反思,深入思考问题,全面地,深刻地认识事物的本质和内在规律性.例1,椭圆c:2+丢:1(.>6>0)的长轴两端点为A,又点c是椭圆上异于A,的一点,使得A=20P,这是一道我们熟悉的解析几何题目,解答完此题后,本人提出了这样的研究问题:椭圆上是否存在一点C,使A=121Y,应该取决于椭圆本身,那么,A的大小与椭圆有什么关系呢?请同

4、学们研究以下问题:椭圆C+:1(n>b>0)的长轴两端点为A,B,点C是椭圆上异于A,B的任一点,问是否存在点c,使A=7?请证明你的厂/旦()【o,Y.)(0x结论.通过同学们的认真研究,得到如下的答案:不存在点C使A:7,证明如下:设A(一口,0),(口,0),c(,Yo),(其中±口)收稿日期:20020720作者简介:(1962一),男,湖南资兴人,资兴市市立中学一级教师?26?焦距为2c,由椭圆对称性不妨设Y0>0,即0<Y0b显然(y,<ACB<18(y,直线AC,c的斜率分别为c=,=,

5、又.?一1,(否那么将有口=b),.ACB9I),?.ACB是直线AC到BC的角?=群一<0J故9I),<ACB<18IT,.?.不存在点C使c8=7通过以上的研究,同学们清楚地看到:(1)当C点位于短轴的端点处时,ACB最大.且离心率e在区间(0,1)上越来越小时,椭圆越来越圆,ACB由钝角趋向直角;e在区间(0,1)上越来越大时,椭圆越来越扁平,ACB越来越大,趋向平角.(2)假设口=b,那么方程代表的曲线为圆,此时ACB=9I),也就是初中学习过的圆的直径所对的圆周角是直角.(3)假设A,B是短轴的两端点,那么ACB应为锐角.通过以上的研究,加深

6、了对问题的本质特征和内在联系的理解和领悟,并获得一系列思维成果,很好地培养了学生思维的深刻性.2研究问题的一般性规律.培养思维的广阔性由于知识,经验的局限,学生问题的认识常表现出孤立,浅薄,片面的思维特征,为此,在解题教学中不应该把解决当前的问题当成教学的唯一目标,而应该引导学生拓广思考的视角,从多个角度发散,在广阔的空间搜寻,从而有新的发现,使学生的知识网络化,形成体系,完善认知结构,使知识得以升华.例2:函数)=_等,函数g()的图象与函数Y=厂(+1)的图象关于直线Y=对称,那么g(2)=.这是笔者在一次测试中所选用的一道题目,当时大局部同学所用方法不当,做题耗时太多而造成了隐性失分.讲

7、评时,本人提出了如下研究问题:设函数Y=)的反函数是Y=厂(),试研究以下问题:(1),:一)的反函数是什么?(2)Y=+1)的反函数是什么?(3),=厂(一)的反函数是什么?(4)Y:厂(+1)的反函数是什么?),=厂(+1)一1的反函数是什么?通过研究探索,同学们发现了求此类函数的反函数的一般方法,如对于(4):由Y=厂(+1)可得+1=(厂)一(Y)=Y)一1将,Y互换得Y=)一1故Y=厂(+1)的反函数为Y=)一1用此种方法可以很快解决例2:依题意:g(x)是Y=厂(+1)的反函数而Y=厂(+1)的反函数是Y=)一1故g()=.厂()一1,.?.g(2)=2)一1=一2通过研究,同学们

8、对反函数的概念有了更深刻的理解,而且由于研究了此种问题的一般性规律,象同学们感到比拟困难的抽象函数的反函数问题也可以迎刃而解了,如:例3:假设函数y:I)的反函数是Y=厂(zI),那么以下等式正确的选项是()(A)=1)(B),()=一,(1).27.(c)一一1)=1(D)一一1)=一1分析:由Y=厂(一1)得一1=(厂)一(Y)j=Y)+1,故Y=厂(一1)的反函数是Y=f().+1又知Y=厂(1)的反函数是Y=一1),所以)+1=一1),即)一一1)=一1应选(D)例4-把函数Y:ax(.>0且.1)的图象绕原点顺时针方向旋转9后,新的图象表示的函数是()?l()=一口(B

9、)Z:口一(c)z=logo.()=一甑囊此题可用数形结合的方法解答,笔者教学本例时,用数形结合法解答完后,提出了如下的研究问题:试研究以以下图象绕原点旋转9(),后所得图象对应的方程问题:(1)把函数Y=a(a>0且a1)的图象绕原点逆时针方向旋转90后,新的图象所对应的解析式是什么?(2)把抛物线=4(一1)绕原点顺时针方向旋转9后,新的图象对应的方程是什么?(3)把椭圆号+Y4=1绕原点逆时针方向旋转9(),后,新的图象对应的方程是什么?(4)一般地,将方程,Y)=0的图象绕原点逆时针方向旋转9(),后,新的图象对应的方程是什么?能证明你的结论吗?如果是顺时针方向转9(),

10、呢?经过几天的研究,同学们一一解决了以上问题,对于(4)有几位同学给出了两种证明方法,一是用三角函数的定义,二是用复数的几何意义,如用复数的几何意义解答如下:将方程f(,Y)=0的图象绕原点逆时针方向旋转9(),所得图象对应的方程是Y,一)=0证明:设P(,Y)是旋转后的图象上的任一点,该点对应于未旋转之前的点为P(,y),(,Y,Y均为实数)点P对应的复数为=+yi,点P对应的复数为:+yi由复数的几何意义知,点P对应的复数应为一i(+yi)=Yxi于是+,i=Yxi.?.由于点P在方程,Y)=0的图象上,故有y,一)=0同样,假设是绕原点顺时针方向旋转9(),后,对应的方程应为一Y,)=0

11、研究了以上问题后,对这类图象绕原点旋转9(),的问题,解起来就可以得心应手了.如:例5:函数y=)有反函数y:厂(),把y=)的图象在直角坐标系内绕原点顺时针方向旋转90后,得到另一个函数的图象,这另一个函数是()()y=厂()(B)r=厂(一)(c)r=一厂()(D)Y=一厂(一)分析:Y=.厂()的图象顺时针旋转9(),后得到的图象对应的方程为:?=一Y),从中解出Y得一Y=厂()且口Y=一厂()应选(C)我们常常要求同学们要能举一反三,做一个通一类,要真正做到这一点,就必须在研究题目的一般性规律上狠下功夫,从提高学生思维的广阔性人手.3研究问题的一题多解,培养思维的创造性.培养学生的创新

12、能力是时代的要求,教育目的的所在.笔者认为,在解题教学中,对题目的一题多解的研究特别能调动学生学习的积极性和培养思维的创造性.在教学中不要追求学生的思路跟教材一致,跟教师一致.教师要创设态度民主型,思维开放型的课堂气氛,鼓励学生打破常规,克服保守,勇于探索,积极寻找解决?2?问题的不同方法,促使学生的思维活动向高层次开展.笔者这几年在解题教学中一直致力于引导学生一题多解,实践证明我所做的工作是有益的.例如:例6:假设实数x,y满足+xy+y2=1,求+y2的取值范围.教学时,笔者用两种常规的均值不等式法解答完后还要学生在课后认真研究其他的解法,结果同学们又另外找到了两种解法,其中有名数学成绩中

13、等的学生给出了以下的三角代换的解法:由+xy+Y=1得:(+y)+y)=1令+百1y:sinO,等y=伽那么2+y=(si一1?cosO)+(2c):sn一c.s胡+c.s+号伽:1cos20一s20+了4=了2s(620)+了4.?.号2笔者在班上对这位同学进行了表扬,要她再接再厉更上一层楼,这位同学学习数学的积极性和自信心得到了很大的提高,数学成绩有了明显的进步,尤其在研究数学问题的一题多解方面更是一发不可收拾?例如:例7.:如图,抛物线y2:4x的焦点弦仙被焦点F分为长为m,n的两局部,求证:m4-n=舢.笔者在教学该例时,用的是设(,y,),B(,y)利用抛物线的定义来证明的一般证法.

14、该生没有满足于此,通过钻研,又找到了一个用平面几何知识来证明的方法:设准线与轴的交点为R,分别过,B作准线的垂线,垂足分别为M,连结A交轴于D,.?AM轴BN.?.BNR.一【丁丌INMIIABIf=mF?=In+n,J十,.【m=mRI=+n,J十,.10,FI:10RI,.?.0是FR的中点.即0,与坐标原点重合.v=4xM,一一mRnF(1,0)X1N从而IDFI=1,得=1?即m+/1.=m/t.不难看出,用这个方法完全可以证明2001年全国高考数学试题的第19题(该生告诉笔者,她就是用这种方法证明第19题的).我们看到,实施研究性解题能让学生以研究者的身分在研究中主动地汲取知识,能增

15、强学生的主体意识,促进学生学会学习,提高思维品质.当教师的应当为学生提供研究的材料,时间和空间,让学生在研究中学习,到达提高学生综合素质的目的.(下转第32页)?29?参考文献:1c.K.HongandL.Mande1.I-IishrOrdersqueezingofaQuantumFieldJ.Phys.Rev.Lett1985,(54):323.2HillerysgueezingofthesquareofthefieldamplitudeinsecondharmonicqenerafionJ.Opt uln.1989,62(2):1353al1get.a1.Anewkindofhigher-

16、onrsqueezingofradiationfieldJ.Plays.Lett.A1990,(150):27.45郭光灿.量子光学M.北京:高教出版社,1990.131134;175176.TheAmplitudecubedSqueezinginaEvenCoherentStateYAOMin,LEIDa-jun(PhysicalDepartmentofChenzhouTeachersCollege,Chenzhou423000,China)Abstract:Accordingtothedefmitionofhigher-order-squeezinggivenbyZhangetc,thep

17、ropertionoftheanlplitudecubedsqueezinginaevencoherentstatealestudied.Itsfoundthattheamplitudecubedsqueezingcanexistinde6nitconditions.Keywords:evencoherentstate;amplitudecubedsqueezing;squeezingparameter(上接第29页)参考文献:1毛鸿翔.数学学习心理学M.桂林:广西师范大学出版社,1992.2周根龙.让学生在研究中学习J.中学数学教学参考,2001,(4):1819CarryoutResearchesintoSolvingProblems,ImprovetheStudentsQualityofThinkingYANGYong-rruw(ZiXingMunicipalMiddleSchool,Chenzhou423400,China)Abstract:Inthetea