引导学生反思解题过程培养学生思维品质

1、引导学生反思解题过程，培养学生思维品质?36?数学教育研究2005年第4期引导学生反思解题过程,培养学生思维品质储岩(江苏省常州市小河中学213138)一个数学问题的解决,并不是解题思维活动的结束,而是深入认识的开始.因此,在解题结束后,教师应引导学生对解题过程进行深刻反思,寻求问题解决的更合理,简洁途径,充分挖掘问题的内涵,只有这样,才能做到既提高学习效率,又使学生深入理解数学知识,有利于对学生思维品质的培养.一题解完之后,教师应引导学生思考些什么?1引导学生反思结果的正确性,培养学生思维的严密性在解题过程中,由于各种原因,可能会出现这样那样的错误.因此,在解完之后,应引导学生进行必要的反思

2、,我们可以先撇开解题的具体求解过程,换一个角度,从总体上对结果作一定的考察,也可以把结论再往前推进一步,即在假定结果为真的前提下作一些推论,看是否会得出一些荒唐或与熟知结果不符的结论,有时也可用一些特例,对结果作必要的验证等等,从而来检验解题过程是否考虑不全,是否忘了讨论等等,常此进行训练和培养,无疑对学生形成良好的思维品质将大有益处.例1过点P(1,一2)作圆z+Y一1的切线,求切线的方程.错解:设过点(1,一2)的直线方程为Y+2=k(一1),代入圆方程,令一0,那么得k一一00÷,故所求切线方程为Y+2一一0(z1),L士思考:先不必检查求解的具体过程,先从总体上想一想,点P在

3、什么位置,过它作圆的切线才只有一条?答案是明显的,点P须在圆外,故应有两条切线,画张图,原来过P(1,一2)存在一条不存在斜率的直线z一1为圆的切线.2引导学生反思对条件有没有作适当的讨论,培养学生思维的深刻性思维的深刻性表达在善于深入地钻研,追究问题,善于从复杂的现象中抓住事物的本质并把握其规律,在学生的解题过程中,很多同学往往被题目的表象所迷惑,不去深刻挖掘题目中条件的内涵,而造成错解.例2,R,且.+4+.=5,求2z.+的最/J,值.一一一4-z+5.'.2.+一z一4z+5一(z一2).+1当一2时,2z+Y.有最小值1.这是学生易犯的典型错误,我们先不必去检查求解的具体过程

4、,假设结论为真,就可知当z一2时,由z.+4x+Y.一5,使得Y一一7,显然是不成立.错误的原因在哪儿呢?通过反思题目的条件,不难发现:在.+4x+一5中,z,Y是相互制约的,也就是说此时z的范围应该为Y.一-.7C.一4x+50,得一5z1,所以在z一5,1的前提下,2z.+.)'.一(一2)+1的最小值为2,此时z1.3引导学生反思有无更简单的解法,培养学生思维的批判性数学思维的批判性表现为善于区分是非,评价优劣,善于自我检查,改正错误,对自己做题方法要敢于挑剔,修正甚至抛弃重来,以追求深刻与完美.如果一次未到达目标,应仔细想想,设法改良."世上最糟糕的事,莫过于只有一个

5、注意了".这是法国哲学家爱密勒?查蒂埃的名言.例3等差数列t/,中,a>0,S一s.,当S最大时,求,z的值.法一:设公差为d,由S:S.,得4口+d=lOal+2005年第4期数学教育研究?37?.一n.1+丛旦一一譬na+?sna十口一十一(z一14),当一7,最大.法二:由解法一,.=一d,当s最大,.即al-(.,n-1得n-?>O,上述三种方法,法-N用了函数观点,思维简单,但较繁琐.法二利用了不等式的观点,法三利用了等差数列的性质,解法较简洁.4引导学生反思能否进行推广和引申,培养思维的迁移性在解完一题后,最好能提出一些与此题有关的新问题进行讨

6、论,如解决此题的思路方法能否用来解决别的问题,做到用一道题而通一串题,以利于扩大战果,培养学生思维的迁移能力.例4n>6>c,求证+>O.解决此题,学生并不困难,但教师应引导学生作进一步反思,此题即1_+>1,注意到这里不带等号,是否能把命题进一步加强?学生结合原题的证法,经过探索,不难得到结论:1+4.教师再作进一步引申:假设n>6>c,且+blck,求是的取值范围.再引申:实数a,a.,a.,a,满足口l>口2>a3>>口,求满足一+一+的实数是的取值

7、范围.这样,一道源于课本又高于课本的习题就产生了,培养了学生思维的迁移性及探索创新的能力.5引导学生回忆解题的不同方法,培养学生思维的广阔性对于同一道题,从不同角度去分析,可能得到不同的启示,从而引出不同的解法,通过不同角度观察,使我们的思维触角伸向不同的方向,不同的层次,突破知识的固定范围,从而培养学生思维的广阔性.例5解不等式:/2一1>一2分析1多数学生通过分类讨论来求解,即原不等式等价于不等式组:2x-lx-2>02.分别解(1)和(2)得原不等式的解为÷<5;分析2换个角度思考,首先考虑的取值范围:zl寺,+.).而不等式,/2z一1a72的解集为A一l5,所以不等式/2一1>x-2的解集为Az<5;分析3假设借助图形,那么更直观明了,在同一直角坐标系中画出两个函数Y一,二T,Y一2的图象(图1),并求出两函数图象的交点的0/25x/_(图1)横坐标z一5,得原不等式的解为÷<5.厶对这道题,我们运用常规解法后再回忆思考后用补集方法,数形结合法来解,思考领域扩大,思维面更宽阔,解题更富有灵活性.杰出的数学家波利亚在他的&q