(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)

1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a, b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1) 求 f'(2) 在定义域内解不等式f'x)>0或f'刈<0.根据结果确定f(x)的单调区间.3. 函数的极大值在包含x0的一个区间(a, b)内，函数y= f(x)在任何一点的函数值都 x0点的函数值,称点Xo为函数y= f(x)的极大值点，其函数值f( Xo)为函数的极大值.4. 函数的极小值在包含xo的一个区间(a, b)内，函数y = f(x)在任何一点的函数值都 Xo点

2、的函数值,称点Xoxo为函数y= f(x)的极小值点，其函数值f( X。)为函数的极小值极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为极值点.5. 函数的最值与导数1. 函数y= f(x)在a, b上的最大值点 Xo指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f( Xo).2 函数y= f(x)在a, b上的最小值点 Xo指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f( Xo ).二、自我查验1 .函数f(x) = X + elnx的单调递增区间为()A . (0, + )B . ( , 0)C . (, 0)和(0,+ )D . R2. 若函数f(x)= X3+ X2+ mx+ 1是R上的单调增函数

3、，则m的取值范围是 .3函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数f '(X)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值点()4.若函数 f(x)= X3+ ax2+ 3x 9在 X=3时取得极值,A .2B . 3C.4D . 55函数yIn XX的最大值为X( )A .1 eB.eC .2 eD.10TC. 3个D . 4个则 a等于(【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性3【例1】(2015髙考全国卷 )已知函数f(x)= In x+ a(1 x).(1)讨论f(x)的单调性;当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围

4、.【变式训练1】已知f X x3 ax2 a2x 2.(1) 若a 1时，求曲线y f X在点1,f 1处的切线方程;(2) 若a 0,求函数f X的单调区间.导数在研究函数中的应用考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数f X In X ax 3,a R .(1) 当a 1时，求函数的极值；(2) 求函数的单调区间.【变式训练2】(2011安徽)设f(X) = 1J2,其中a为正实数当a = 4时，求f(x)的极值点;考点三利用导函数求函数最值问题2【例3】已知a为实数，f X (X 4)(x a).(1) 求导数f X ；(2) 若f 10 ,求f X在 2,2上的最大值和最小值【

5、应用体验】1函数y XIn X的单调递减区间为()A .1,1B.0,C .1,D.0,15导数在研究函数中的应用2.函数1Ir X Xe X的单调递减区间是（)A.(1,)B. ( I 1)C.(,1)D. ( 13.函数f XX3 ex的单调递增区间是（)A.0,3B .1,4C.2,D ,24.设函数f X-XInx,则（）A.X1为f X2的极大值点B.X1为f X2的极小值点C.X2为f X的极大值点D.X2为f X的极小值点5.函数f(x) 2x323x a的极大值为6 ,那么a的值是（A.0B.1C.5D.6)【复习与巩固】A组夯实基础、选择题,其导函数f X的大致图象如图所示，

6、则下列叙述正确1.已知定义在R上的函数f的是（）A . f bB. f b20D.f C2.函数f X2 aln x在 X1处取得极值，则a等于（）A . 2B.2C . 4D.43. 函数f Xex X( e为自然对数的底数)在区间 1,1上的最大值是()B.1A.1C.e + 1D.e 1、填空题4.若函数f XX3 X3 XaX5. 若函数f XX 在X0处取得极值，则a的值为e6. 函数f(x) eX X在1,1上的最小值是 .三、解答题 27已知函数f X-X2 Inx,求函数f X的单调区间 8已知函数f Xax, X 1 .Inx(1) 若f X在1, 上单调递减，求实数 a的取

7、值范围;(2) 若a 2 ,求函数f X的极小值. mx 1是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是B组能力提升、选择题2n数，则实数a的取值范围是3、在其定义域内的一个子区间a 1, a 1内不是单调函2)B.514D.2.若函数yX32ax0,1内无极值，则实数 a的取值范围是(A .0,32B.,0,0D.3.若函数fX31,1上有最大值3 ,则该函数在 1,1上的最小值是()A .12C . 12二、填空题1 14. 已知函数f(x)= x2 + 2ax In x,若f(x)在区间2上是增函数，则实数 a的取值范围为5. 设X1, X2是函数f(x) = X6. 若函数f(x)= X2

8、 ex ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 .三、解答题a7. 已知函数 f(x)= x 2ln x X+ 1, g(x)= ex(2ln x x).(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值. 2ax2+ a2x的两个极值点，若 X1<2<X2,则实数a的取值范围是& 设函数 f(x)= (X- 1)ex- k2(其中 k R).(1) 当k= 1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 当k 0,+ )时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点.导数在研究函数中的应用标准答案一自主归纳1. ( 1)f'(x)

9、>O (2) f'(x)<O(3) f'(x) = 03. 小于4. 大于极值5. 不超过不小于二自我查验e1. 解析：函数定义域为(0 , +) , f '(x) = 1 + x>0,故单调增区间是(0 , +) 入答案：A2. 解析：T f (x) = x3+x2+ mx+ 1,. f '(x) = 3x2+ 2x + m1 又T f (x)在R上是单调增函数，. f'(x) 0恒成立，= 4 12m0,即m3.3答案：1当X a,+时，f '()<0.所以f(x)在0, a单调递增，,+3. 解析：导函数f '

10、;(X)的图象与X轴的交点中，左侧图象在X轴下方，右侧 图象在X轴上方的只有一个，故选A.答案：A4. 解析：f '(x) = 3x2+ 2ax+ 3,由题意知 f ' ( 3) = 0,即卩 3× ( 3)2+2× ( 3)a+ 3= 0,解得 a = 5.答案：D5.A【解析】 y lnx y -lnx ,令 y -鉴 0 X e ,当 X (0,e)时函 XXX数单调递增，当X (e,)时函数单调递减，ymax丄e1故选Ae ，三典型例题1【例题 U (1) f (X)的定义域为(0 ,+), f '(x) =C a.若 a0,则 f'

11、(x)>0 , 入1 所以f(x)在(0 ,+)单调递增若a>0,则当X 0, a时，f '(x)>0 ;a1在a,+单调递减.a1 由 知，当a0时，f(x)在(O, +)无最大值；当a>0时，f(x)在X=-处a111取得最大值，最大值为fa = na+ a 1-a =- In a+ a-1.aaa1 因此f匚>2a 2等价于In a+ a-1<0.a令 g(a) = In a+ a- 1，贝U g(a)在(O ,+)单调递增，g(1) = O.于是，当 0<a<1 时，g(a)<O; 当 a>1 时，g(a)>O.

12、因此，a的取值范围是(O,1).【变式训练 U (1)当 a 1 时，f X3 2 X 2， f X3x2 2x 1，切线斜率为14 ,又 f 13，切点坐标为1,3，所求切线方程为,即 4x y 1(2) f X3x2 2ax a23x a ,由 fQa o, 3a.由fX a 或 X -3 a 3.函数f X的单调递减区间为巧，单调递增区间为【例题2】(1)当a1时，f1In X X 3, f XX11X所以当XO ,解得OO ,解得XX 1 ,所以函数f X在(O,1)上单调递增;1 ,所以函数f1时取极大值，极大值为X在1,上单调递减;12 ,无极小值.当a O时,1 f (X)-Xa

13、 O 在 O,上恒成立，所以函数fO,上单调递增;当a O时,1丄，所以函数f X在a上单调递增;11令f X 0 ,解得X 1 ,所以函数f X在-，上单调递减aa综上所述，当a 0时，函数f X的单调增区间为0,;当a 0时，函数f X11的单调增区间为0,-,单调减区间为-，aa【变式训练2】解 对f(X)求导得1 I a22ax4f '(x) = e 1 + a22.当 a=3时，若 f '(x) = 0, 则 4x2_ 8x + 3 = 0,31解得X1=2， X2= 2结合，可知X(_,12)121(2,32)323(0，+)f '(X)+00+f(x)极大

14、值极小值/ I31所以X1=2是极小值点，X2= 2是极大值点【例题3】1) f' X2x(x a) (x24) 3x2 2ax 4.1(2)由 f 10 得 a 1 ,2I2 4X 2，故 f(x) (x2 4)(X 1) X32则 f' X 3x2 X 4 Xt94由 f(2)f(2)0 , f (I)2，f 31620 5509 627故 fmax(x)fmin (X)5027f(x)在R上单调递增,【变式训练3】1)当a 0时，函数f(X)ex 2a 0 , 当 a 0 时，f (x) ex 2a ,令 ex 2a 0,得 X ln( 2a),所以当 X ( ,ln(

15、2a)时，f(X)0,函数f(x)单调递减；当X (ln( 2a),)时，f (x)0,函数f(x)单调递增(2)由(1)可知，当a 0时，函数f (x) ex 2ax 0 ,不符合题意.当a 0时，f(x)在(，ln( 2a)上单调递减，在(ln( 2a),)上单调递增.当ln( 2a) 1 ,即 ；a 0时，f(x)最小值为f(1) 2a e.e解2a e 0，得a -，符合题意.2当ln( 2a) 1 ,即a e时，2解 2a 2al n( 2a)0,得 a综上，a e.2应用体验：1. D【解析】函数的定义域为0,令y所以X 0,1 ,故选D.考点：求函数的单调区间.2. A【解析】导

16、数为f X ex X ex区间为1,.考点：利用导数求函数的单调区间3. C【解析】f X ex x 3 ex ex x 所以函数f X的单调增区间为2,4. 【解析】f X 纟丄 J2 ,由fXXX当0 X 2时，f Xf(x)最小值为 f(ln( 2a) 2a 2aln( 2a)，e ,不符合题意.0 , f X递减，当X 2时,1 X 11 0,解得X 0,1 ,又X 0 ,X X1 X e X ,令f X 0 ,得X 1 ,所以减2 ,令 fxex X 20 ,解得 X 2,.故选C.X 0得X 2 ,又函数定义域为0,f X 0, f X递增，因此X 2是函数f X的极小值点.故选D

17、.考点：函数的极值点.5. D【解析】Q f (x) 2x3 3x2 a,6x2 6x 6x X 1 ,令 fX 0,可得X 0,1 ,容易判断极大值为考点：函数的导数与极值.复习与巩固A组1.C【解析】由f X图象可知函数f,c上单调递增，在c,e上单调递减,在e,上单调递增，又a,b,c,c ,且 a考点：禾U用导数求函数单调性并比较大小.2. B【解析】f X 2x-,由题意可得f 1X2.故选B.考点：极值点问题.3. D【解析】f X1,令f X0,得X0.又 f 0e0 01,f 1e 1 1,f11,且所以fXmax1,故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值4. 3,【解析

18、】由题意得f(x) 0在R上恒成立，则f3x22x因为gm3x2 2x 恒成立.令 g X3x2 2x ,则 m2 113x x2 1f X X ,令 f X 0,则 X 1 或 1 (舍去).X X当0x1时，f X 0, f X递减，当X 1时，f X 0, f X递增，f X的递减区间是0,1 ,递增区间是1,考点：利用导数求函数的单调区间.8. (1) a 1 (2) 4上4X【解析】(1)函数f Xax,xIn Xf X 0在X 1,上恒成立， a 22x为R上的二次函数，所以g X g -3-max332 -,则m的取值范围是-,.3 335.0X2X26x a e3XaXe3x

19、6 a x a【解析】f x2-exe由题意得f 0 a 0.考点：导数与极值.6. 1【解析】因为 f (X) ex 1 , f (X)0 X 0, f (X)0 X 0 ,所以 f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，从而函数f(x) ex X在1,1上的最小值是f(0) e00 1 .考点：函数的最值与导数.7. 【解析】f X 1X2 InX的定义域为0,In X11 ,则 f X.2a ,由题意可得InX21 1111In X In XIn X24，X 1, In X 0,21a1导数在研究函数中的应用222(2)当a 2时，f X2x, f XInx2In X 1 2ln X2

20、，In X0 ,得 21 n2In X1 0 ,解得In X-或 In X21 (舍去),即X . e.e 时，f X的极小值为f ', eB组1.D【解析】因为函数f x x2 1nx 2在区间a1,a 1上不单调，所以X 2x丄2x4x2 12x在区间a 1,a1上有零点,0,121, 得1 a32 ,故选D.考点：函数的单调性与导数的关系2.C【解析】y 3x2 2a ,当 a0时,0 ,所以y3F ”X 2ax a 在 0,1上单调递增，在0,1内无极值，所以0符合题意;a 0时，令y0 ,即3x2 2a解得X1于M2乎，当X6a 11-6aU 33时,y 0 ,当 X-6a

21、6a33时,y 0,所以yX32ax a的单调递增区间为.6a3.6a3,单调递减区间为爭呼,当 X数取得极大值, 时，原函数取得极小值，要满足原函数在30,1内无极值，需满足一6a 1 ,解得a -.综合得，a的取值范围为,032故选C.考点：导函数，分类讨论思想3.C导数在研究函数中的应用【解析】f X 32 3x 3x X 1 ,当f X 0时，X 1或x 0,当f x 0时，0 X 1 ,所以f X在区间1,0上函数递增，在区间0,1上函数递减，所以当X 0时，函数取得最大值f0 a 3 ,则fxx3 3 x2 3 ,所以215 1f 1-, f 1,所以最小值是f 1-.2 2 2考

22、点：利用导数求函数在闭区间上的最值1 1一 14.解析：由题意知f (X) x+ 2a X 0在3， 2上恒成立，即2a x+-在X3X118843，2 上恒成立，. 一x+ X max 3，二 2a3,即卩 a3.答案：4,+.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法.由f'(x) 3x2-a>2,2a4ax+ a 0 得 X1 , X2 a.又 X1<2<×2, a° 2<a<6.3 一 <23 ，答案：(2,6)6. 解析：I f (X) X2-ex-ax, f ' (x) 2x ex-a,.函数f (X)

23、 X2- ex ax在R上存在单调递增区间， f' (x) 2x e a0,即 a2x e 有解，设 g(x) 2x e ,则 g'(x) 2 ex,令 g'(x) 0,解得 X In 2,则当 XVln 2 时，g'(x)>O , g(x)单调递增， 当X>ln 2时，g'(x)<O , g(x)单调递减，当X In 2时，g(x)取得最大值， 且 g(x) max g(ln 2) 2ln 2 2,° a 2ln 2 2.答案：(一, 2ln 2 2)2 a7. 解：(1)由题意得 x>0, f'(x) 1 -

24、 + -2.X X由函数f (X)在定义域上是增函数，得 f '(x) 0,即a2x X2 (X- 1)2+1( x>0).因为一(X 1)2+ 1 1(当x 1时，取等号)，所以a的取值范围是1 , +).X 22 g'(x) = e X 1+ 2ln X-X ,由得 a = 2 时，f (x) = X 2ln X-X + 1,XX且f(X)在定义域上是增函数，又f(1) = 0,所以，当 X (0,1)时，f (X)VO ,当 X (1，+)时，f(x)>0.所以，当 X (0,1)时，g'(x)>0 ,当 X (1，+)时，g'(x)<O.故当X = 1时，g(x)取得最大值一e.8. 解： 当 k= 1 时，f (X) = (X 1)ex X2, f '(x) = ex+ (X 1)ex- 2x = XeX-2x=x(eX 2),令 f '